Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

§41]

из которых только четыре являются независимыми, так как, составляя выражение:

Деформация тела называется плоской и происходит в плоскости х, у ,

Плоская деформация может иметь место в цилиндрическом теле, ось которого направлена по г, причём нагрузки, действующие по поверх­ ности, должны быть постоянны вдоль образующей, и торцевые сече­

жения ох, а2 и максимальное касательное напряжение ттах в плоско­ сти (х, у). На косой площадке, нормаль которой ^составляет угол 0

Находя экстремум N y по 6, получим для главных осей напряжений:

т. е. условия пластичности Мизеса и Сен-Венана совпадают.

Найдём направления площа­ док, на которых действуют ма­ ксимальные касательные напря­ жения. Параметры а и р будем

рассматривать, как криволинейные координаты, соответствующие на­ правлениям v и 5 (рис. 98), а угол линии a(v ) с осью к обозначим для этой площадки через 0а. Разыскивая максимум Тч (6.8) по 0, получим:

откуда находим уже известный результат:

т. е. линии а и р наклонены под углом 45° к главным осям. В даль­ нейшем буквой <р (рис. 99) будем обозначать угол наклона линии а, на которой действует максимальное касательное напряжение, с осью х:

9« = ?. 08 = ? + - 0, = ? - Т , 02 = ? + т

§41J

стических деформаций они называются линиями скольжения (рис, 100). Экспериментально они

обнаруживаются в виде линий Людерса при травлении шлифованных образцов, вырезанных из деформированного тела 14.

Все напряжения можно выразить через среднее напряжение о и угол <р. Из (6.11) имеем:

X m— Yy =* — 2Ху tg 2<р,

и потому из условия пластичности (6.7) находим:

Xy — dz-Zg cos 2<р,

а, следовательно:

Х а— Yy — rp 2TS sin 2<р.

Решая последнее уравнение вместе с (6.5), находим:

Х я = aq z хв sin 2ср, Yy = о r t т, sin 2<р.

Выбирая во всех этих формулах верхний знак (он произволен), полу­ чим формулы Леви М :

известными оказываются и все другие напряжения и, в частности, величины а и ср. Пусть нормаль к этой площадке составляет угол 0 с осью х. Тогда справедливы формулы (6,8). Внося в них значения напряжений (6.12), получим:

откуда и находится ср и о.

Рассмотрим дифференциальные уравнения равновесия элемента

вследствие ортогональности при выбранном направлении возрастания а, должны сходиться. Дифферен­ циал угла f наклона касательной к линии а в точке 0 при переходе

после сокращений получим:

Интегрируя эти уравнения, получаем соотношения, которые другим путем впервые были получены Генки Is! и называются интегралами Генки:

Если бы линии скольжения а, р были нам известны, то интегралы Генки представляли бы общее решение задачи о плоской деформа­ ции идеально-пластической среды. Из них ясно, что нагрузки на контуре тела не могут иметь произвольное значение. В самом деле, пусть известна одна линия скольжения семейства а, начинающаяся и кончающаяся на границе тела в точках М и L. Так как на этой линии р постоянно, то значения о и ср в точках М и L связаны соот­ ношением:

ом — 2тв<рм = oL— 2т8<р1в

Если в точках М и L действуют только нормальные напряжения, то последнее уравнение вполне определяет одно через другое.

Уравнение (6.17) показывает, что угол tfcp (рис. 101) между сосед­ ними линиями скольжения р остаётся постоянным при движении вдоль этих линий, так же как drр' остаётся постоянным при движении вдоль а. Этот факт позволяет очень просто геометрически построить всю сетку линий а, р, если известно по одной линии каждого семейства. Построе­ ние принадлежит Каратеодори и Шмидту и также дано в книге Михлина М с большим числом примеров. Основные семейства линий скольже-

ставления течения металла. Это означает, что в правых частях

Исключая о, получим для о> уравнение гиперболического типа:

Отсюда ясно, что 061 семейства характеристик совпадают с семей­ ствами линий скольжения i , р и имеют те же уравнения а = const., Р = const., или, согласно (6.16):

? = const., т) = const.

задать значения а и <р, т. е. нормальные и касательные напряжения 7V„ Г» (6.13), так что при y = f ( x ):

и потребовать, чтобы в окрестности этой части контура тело нахо­ дилось в пластическом состоянии, то, как уже сказано выше, для этого необходимо приложить силы в других частях контура или сечениях тела, причём последние будут некоторыми функциями сил Л/,, Г,. Для определения этих неизвестных сил имеем следующую задачу Коши ГО: в плоскости 5, т) (рис. 102) уравнение (6.28) изображает кусок кривой ab, соответствующий участку АВ контура тела, причём

углами, т. е. к противоречию. Линии АА' и ВВ' являются, конечно,

либо численное интегрирование Массо. Поскольку наиболее интерес­ ные практически частные задачи решены Прандтлем в простой зам­ кнутой форме, мы не будем излагать названных выше способов

-напряжения должны отсутствовать, линии скольжения должны распо­ лагаться под углом 45° к ним). В треугольниках ADC и A'D'C' проведём полярную сетку линий скольжения. Таким образом в окрест­

что при таком значении давления штамп начинает врезаться в тело. Опыты, обработанные Надаи М, показывают, что указанная система линий скольжения наблюдается в действительности. Построенное