Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfт. е. |
все известные |
теории пластичности совпадают между собой. |
Все |
известные опыты, |
проведённые при условии простого нагруже |
ния и близкие к простому нагружению, подтверждают соотношение (1.134): главные оси напряжений и деформаций совпадают, и напра вляющие тензоры напряжений и деформаций равны между собой. Кроме того, имеет место закон упрочнения материала: интенсив
ность |
напряжений есть всегда |
определённая |
функция интенсивности |
|||||
деформаций, характерная для данного материала. |
|
|||||||
Как уже |
отмечалось, |
наибольшая |
неточность |
теории, основанной |
||||
на соотношении |
(1.134), |
составляет около |
7% и |
вытекает из срав |
||||
нения |
величин |i |
и V. Эта |
неточность |
не может быть ликвидирована, |
||||
если |
оставаться |
в рамках линейных |
соотношений между тензорами |
|||||
напряжений |
и |
деформаций *). Поэтому |
Прагер ГСв1 предлагает |
|||||
нелинейное |
тецзорное уравнение: |
|
|
|
||||
|
|
(De) = С, (Ов) + |
С8 (Z)8)3+ С6 (D 8)3 |
|
которое из соображений независимости деформаций от среднего нормального напряжения и некоторых теорем тензорного анализа должно иметь вид:
|
(De) = / ( £ » |
Е3) [р(Еа, Е|) 23 (Г) + |
q (£ а, Щ (£>,)]• |
||||
Здесь |
£2, — второй |
и третий |
инварианты |
(Da); тензор же (Т) |
|||
имеет выражение через |
квадрат (Da) и единичный тензор: |
||||||
|
|
|
(Г ) = ( о 8у |
- с S2 (/), |
|
|
|
а р и |
q — однородные |
полиномы. |
Теория, |
основанная на |
этих урав |
||
нениях, получается |
чрезвычайно |
сложной |
и |
является |
обобщением |
теории, основанной на соотношении (1.134). Учитывая малость ошибки последнего, его можно считать главной частью истинного закона. Поэтому уточнение результатов с помощью указанных соот ношений Прагера возможно после того, как задача пластичности
будет решена, |
исходя из (1.134). Этими |
поправками мы |
заниматься |
||
не будем. |
|
|
|
|
|
Возникает |
ещё вопрос: простое нагружение |
возможно |
в |
случае, |
|
если напряжённое состояние в теле является |
однородным, |
т. е. |
|||
напряжения одинаковы во всех точках |
тела; но возможно ли оно, |
||||
если тело имеет произвольную форму, а |
поверхностные и объёмные |
х) Уравнение (1.127) является линейным тензорным уравнением, хотя связь между компонентами тензоров, благодаря входящим в него инвариан там. является, конечно, нелинейной.
9 б |
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ |
[гл I |
|
внешние силы произвольным образом распределены |
по телу. |
На |
|
этот |
вопрос отвечает теорема следующей главы: в |
каждой точке |
произвольного по форме тела деформация будет простой при любом значении параметра А, если произвольные внешние силы от начала их приложения возрастают пропорционально одной из них, которая, например, и может быть выбрана в качестве параметра А. Тем самым полностью устанавливается область применения излагаемой теории пластичности. Поскольку она применима и при состояниях, близких к простому, круг вопросов, решаемых этой теорией, оказы вается очень большим.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ МАЛЫХ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ.
§10. Законы активной упруго-пластической деформации
иразгрузки.
Простую деформацию элемента тела в данный момент будем назы вать активной в том случае, если интенсивность напряжений о{ имеет значение, превышающее все предшествующие её значения. Если а4 меньше хотя бы одного её предшествующего значения, деформацию элемента называем пассивной. Таким образом в случае активной деформации элемента тела за пределами упругости пластическая деформация его возрастает, а в случае пассивной она остаётся по стоянной. Активную деформацию будем также называть процессом нагружения, пассивную иногда — разгрузкой ПЬИ.
Объёмное напряжение элемента тела подчиняется закону Гука и является упругим как при активной, так и при пассивной деформации:
II О |
со II |
|
£ |
причём:
fi — ^ e ~ ex x :J r еуу + егг- \1
(2 .1)
(2 .2)
В случае, если |
упругой деформацией |
можно пренебречь, |
вследствие |
её малости сравнительно с етх или по каким-нибудь другим |
соображе |
||
ниям, модуль |
всестороннего сжатия |
К следует положить равным |
бесконечности и, так как среднее напряжение о является конечным, вместо (2.1) будем иметь:
в = 3« = :е »3»4 - ^ + е м = о. |
(2.Г ) |
Направляющие тензоры напряжений и деформаций совпадают:
1 |
ч |
2 |
или, если произвести замену
Т<==е<V 2.
получим
(2.3')
В проекциях на оси Jt, y f г это равенство даёт:
х а О |
|
Зв* |
(«ват е)> |
X |
__е |
|
|
Лу ~ |
3*i °°У' |
||||
•1 |
II |
t f |
f i |
|
и |
|
|
|
r |
|
|
|
|
z . - ° = |
|
^ |
|
7 |
___ |
aL-е |
|
|
|
— |
гт' |
(2.3)
Закон равенства направляющих тензоров иначе может быть форму лирован так: главные оси напряжений и деформаций совпадают, и отношения главных касательных напряжений к соответствующим главным сдвигам для данного элемента тела постоянны:
|
Ti2 |
_ха |
_ |
*31 _ ai |
|
(2.3") |
|
Tis |
TJS |
|
TSI |
’ |
|
|
|
|
||||
Так |
как сумма трех |
первых |
уравнений |
|
(2.3) даёт тождество |
|
0 s = 0 , |
система (2.3) вместе с |
уравнением |
(2.1) представляет пять |
уравнений, содержащих шесть деформаций и шесть напряжений. Шестое уравнение даёт третий закон активной упруго-пластической деформации. Интенсивность.напряжений:
* , = ^ V ( Х х - ^ ) 2+ ( Yy- Z t? \ - (Z .- Л ^ + б f r j + ^ + Z * ) (2.4)
для каждого материала является вполне определённой и не зависящей от характера напряжённого состояния функцией интенсивности дефор маций:
ei “ ■-X - j / ^ ( * а ^ ) * + ( ^ —О а+ (^ « “ О а+ 1 (е1у+е$2+е1хУ (2.5)
Эту функцию мы будем обозначать двояко; либо по (1.83):
°< = Ф(*<). |
(2 .6) |
либо, выделяя упругую часть:
о, = 3Qei [1 — о> (е4)], |
(2 .6') |
причём в последнем случае функция о> выражается через Ф согласно уравнению:
з Gef — Cf |
|
3Get ’ |
V ' ) |
Кривая о4-е4может быть получена как из опыта на растяжение образца, так и из опыта на кручение тонкостенной трубы или на чистый сдвиг. В последнем случае, пользуясь диаграммой кручения, имеем:
где |
т — касательное напряжение, |
у — сдвиг. |
Принимая |
во |
внимание, |
||||||||
что |
в этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х у = т, |
Х я = Yy = Zz = Хг = Ys = 0 |
|
|
|
|||||||
и аналогично |
еху = 7> |
ехх “ еуу ~ |
ег г ~ ехг = еуя = |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
и потому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кривую а4-е4 получаем |
из диаграммы кручения: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
о( = У З Ф 2(е{У з ) = Ф(е{), |
|
|
|
|||||||
т. е. путём увеличения ординат в |
/ 3 |
и уменьшения абсцисс в такое |
|||||||||||
же число раз. В случае опыта на |
растяжение |
образца наряду с диа |
|||||||||||
граммой растяжения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
°i = |
$ i |
(ei), |
|
|
|
|
|
где |
Oj — осевое напряжение, ei — удлинение, |
необходимо |
в процессе |
||||||||||
опыта определить |
коэффициент Пуассона — *= — — ; |
он |
будет по- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
е\ |
|
|
|
стоянен при |
упругой деформации fдля |
стали ^ - = i V |
а |
за |
пределом |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
1 |
1 |
трТаким |
упругости будет возрастать, приближаясь к значению— = |
|||||||||||||
образом из опыта |
на растяжение будет получена также кривая |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
т — т (ег). |
|
|
|
|
|||
Поскольку в этом |
опыте |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
* . = «1. |
|
Yy — Zz = X y = Xt — У* = о |
|
|
|
||||||
|
еая> |
е1> |
еуу — еа — |
~ |
е1» |
еху — еу*— ешт— |
|
||||||
а потому |
|
|
|
|
„ |
_ |
2 (/и+ 1) |
|
|
|
|
||
|
|
|
°< = |
°i |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
щ — ev |
|
|
|
||||
Из диаграммы растяжения |
получим: |
|
|
|
|
|
|
Поскольку за пределом упругости т да 2, то зависимость а{-е4прибли жённо совпадает с диаграммой простого растяжения образца.
Относительно кривой о* = Ф(*<) будем предполагать, что ома удовлетворяет неравенству (рис. 41)
3 G > ^ > ^ > 0 . ( 2 . 8 )
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция <й(е4) |
представляет |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собой |
отношение |
|
отрезка |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М М ' к отрезку |
М"М'. Она |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равна |
нулю, |
пока деформа |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция является упругой |
и удо |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
влетворяет |
следующему не |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
равенству, |
вытекающему из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! > “ + « < - 3 5 - > « > > 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
doide4 > |
0 . |
|
|
(2.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отмеченные |
свойства |
функ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций |
о4 и |
со |
соответствуют |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данным опыта и очень важны |
|||||||||
|
|
Рис. 41. |
|
|
|
|
для |
теории |
пластичности. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
Обозначая |
через |
а8 |
и е8 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точку, |
до |
которой |
дефор |
||||||
мацию |
тела можно |
считать |
упругой |
(ов мы |
будем |
называть |
про |
|||||||||||
сто |
пределом текучести |
и е8— деформацией |
текучести), |
для |
|
функ |
||||||||||||
ций |
со |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
е4< ё8, |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<*>= |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* > . r |
j |
|
|
|
|
|
|
<2л°> |
|
|
В том случае, когда кривую а4= |
ф (е4) можно |
заменить ломаной |
|||||||||||||||
ОАМВ (рис. 41), |
величины |
ов, е8 будут соответствовать точке |
пере |
|||||||||||||||
лома, |
будет |
постоянна, |
а |
для |
функции со |
|
получим: |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
СО : |
о, |
|
е < < е в, |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
СО :==^(1 |
i f ) ' |
е* ^ е8’ |
I |
|
|
|
|
|
(2.11) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
причем |
постоянная |
X в |
дальнейшем |
будет обозначать |
|
величину*) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
К |
|
1 |
З а |
de4 в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*) Её не следует и в дальнейшем не будет возможности сцешивать с параметром X предыдущей главы, где X означала, нажржмер, время.
В. дальнейшем мы часто будем иметь дело с отношением ^ , кото
рое, согласно (2 .6), можно мыслить себе уже выраженным либо только через eif либо только через о*, поскольку неравенство (2.8) гарантирует возможность решения уравнения о*=Ф (е*) относительно е4\
те случаи, |
когда |
а4постоянна, т. |
е. материал |
не обладает упрочне |
||
нием, будут каждый раз оговариваться особо. |
выражена через ei9 мы |
|||||
Таким |
образом, |
подразумевая, что |
о4 уже |
|||
можем считать, |
что |
уравнения |
(2.1) |
и (2.3) |
устанавливают полно |
стью зависимость между напряжениями и деформациями. Для того чтобы написать их в форме, аналогичной закону Гука, перенесём величину о = 3Ке в правую часть. Тогда получим формулы:
(2.12)
х__q< р
~ Зе4
Если е4< е8У то эти соотношения совпадают с обычным законом Гука в форме Ляме.
Можно выразить также и деформации через напряжения; для этого
заменим £ = —, и разрешим (2.3) относительно деформаций:
__ |
Зе4 у |
/ Зе4 |
1 |
\ |
етт — ~ь{л в — ^ |
— ZK) |
|||
__?£< X |
|
|
(2.13) |
|
|
|
|
||
е*У |
0{ *У> |
|
|
|
причём следует считать, что ~ |
выражено |
через о<. Это возможно, |
конечно, только в том случае, если материал обладает упрочнением. Общая деформация элемента тела состоит из упругой и пла стической (остаточной). Припишем компонентам упругой деформации
индекс «е», а компонентам |
пластической — индекс |
!) |
ехх ~ ехх "Н^ххч |
|
|
(е |
__, |
(2,14) |
Iе х у —е х у \ е ху * |
|
*) Такое разложение предложено Генки и имеется, например, в работах Надан I3], Беляева М и др.
Компоненты упругой деформации выражаются через напряжения по закону Гука:
С2.15)
е[ху —
Здесь v— обычный упругий коэффициент Пуассона и Е — модуль Юнга. Компоненты пластической деформации найдём как разности компонентов полной и упругой деформаций:
е(р) |
е |
|
|
*ху |
ху |
схх |
—°хх &хх |
|
|||
Пользуясь формулами |
(2.13) и |
(2.15), имеем: |
|||
|
~~~Ё“1"ш ) Ха> ~ т ( ^ 7 |
F ~ 9 'к ) ( Yv~ ^Z*)' |
|||
ew» ~~ v <ц |
GJ ЛУ’ |
|
|
|
|
Но между постоянными £ , О, |
v, |
К существуют соотношения, отме- |
|||
ченные в § 6 : |
|
|
|
|
|
|
Г |
Е |
|
К = 3(1— 2v) |
|
и потому: |
|
2(1+ ^ ) ’ |
|||
|
I___1_____2v |
, 2_ _ |
J_ |
||
|
|
Е9К Е * 9/С 3G*
Следовательно, формулы для пластических деформаций принимают вид:
<р) _ |
<р |
(Yy + z S ] , |
ехх |
з Q |
|
|
|
€2.16) |
(р ) _ |
<Р ( ° i ) |
X.ю |
еxv — ~G~ |
где функция 9, аналогичная функции <о, имеет выражение:
_ |
3Ge{— |
ш |
(2Л7) |
|
'Р |
7t |
Г ^ ; > |
||
|
Как видно из (2.16), тензор пластических деформаций есть девиатор:
в'^eO>) j 4_ й<Р)J P |
_ii J |
»P w) =_ оп |
(2 .1 8 ) |
V xx\C yy |
| сгя — V. |
|
|
Подобно тому, как ир деформаций |
ехх |
еху составляется интен- |
сивность деформаций ei (2.5), можно составить"интенсивность упру гих и интенсивность пластических деформаций. Если в формулу
е<6) = “X " j / " ^ехх — евуу)2 -\- {евуу— elzf-{-.. |
. - | (4^* + *$* + |
*«**) |
|
подставить значения деформаций &ХХ• • • ху • |
согласно (2.15) и |
при- |
|
нять во внимание (2.4), легко получим: |
|
|
|
ie) |
к |
(2.19) |
|
е* = |
3G' |
Аналогично для пластических деформаций будем иметь согласно (2.16):
е<^ = З О а<= 3G(1—Ш) °«* ^2,20>
Складывая (2.19) и (2.20) и принимая во внимание (2.6'), получаем интерес ный результат:
е ^ е [ в)+ е(? \ |
(2.21) |
т. е. сумма интенсивностей упругих и пластических деформаций равна интен сивности полной деформации.
Поскольку интенсивности общих, упругих и пластических деформаций обладают такими же аддитивными свой ствами, как и сами деформации.(2.14), мы имеем право считать диаграмму аг е4
эквивалентной диаграмме растяжения образца (рис. 1) не только при активной пластической деформации, но и при разгрузке (рис. 42); если, начиная с некоторого значения Ъ4 в точке М диаграммы о4-е4 интенсивность напряжений начинает убывать и принимать значение
of < Of, то разгрузка следует прямой МО’ параллельной первоначаль ному прямолинейному участку ОС и
O f = ^ Z G { e t — e ^ )) = Z Q e (te). |
(2.22) |
Чтобы получить все необходимые законы разгрузки, к этому необхо димо добавить условие пропорциональности девиаторов напряже-
ний — (D J и упругих деформаций (D |):
2‘<_гп«ч |
/о |
и закон упругости объёмных деформаций:
о = З Л > . |
(2.24) |
Волной наверху обозначены напряжения и деформации, соответствую
щие точке- М в стадии пассивной деформации. Как видим, закон Гука в стадии разгрузки записывается так же, как при первоначальных упругих деформациях на участке ОА с той только разницей, что деформации отсчитываются от нового начала О' и предел пропор циональности является повышенным. В дальнейшем для нас будет более удобной следующая форма закона Гука при разгрузке, экви валентная указанным выше соотношениям:
Х я - Х я = А ( Ь - Ь ) - \- 2 0 ( е х х - 7 |
х х ) , |
||
~ |
~ |
\ |
(2.25) |
Ху Ху === G(&ху |
|
|
|
Здесь через А и О обозначены обычные упругие постоянные Ляме, причём:
А ~ К — у О. |
(2.26) |
Полагая в этих соотношениях
Х х = . . . = Х у = . . . = 0, |
(2.27) |
мы можем найти остаточные' деформации полностью разгруженного элемента:
ехх === |
• • • | ^ху = |
(2.28) |
§ 11. Работа напряжений и потенциальная энергия; потенциалы.
Работа напряжений, совершаемая при переходе элемента тела единичного объёма из недеформированного состояния О в деформи рованное М определяется, как сумма элементарных работ в проме жуточных состояниях:
м
= J*( Х х ^ х х + ^у^еуу ”f"~ ^г^еге X y b e xy -j- Y ^ 6 y Z -f- |
(2.29) |
о