Биомеханика - 2014. Материалы XI Всероссийской конференции с международн

Решение задачи строится в виде отдельных мод. Разделяя переменные, функцию wθ1 представим в виде wθ1 = Wθ1(r,t, z1)exp(ikz). Отметим, что

длинные продольные волны вблизи оболочки имеют характер пограничного

течения, а H – поправка к w, которая определена только в области пограничного слоя.

Разделяя переменные, решение представим в виде w = = F(r,k)exp(−int) . Амплитуда F и комплексное волновое число k находятся

из краевой задачи на собственные значения. Последняя задача решалась численно. При εν → 0 вблизи оси цилиндра возникает тонкий критический

слой, в котором локализована часть мод функции F. При каждом фиксированном значении индекса n найдено счетное число собственных функций Fn,m и собственных чисел kn,m, где n, m = 1, 2, 3, ... .

Приведем решение задачи (1) в виде отдельных спиральных мод:

Функция Qn,m получается заменой параметра k на kn,m в формуле для Q.

Функция Fn,m описывает спиральную моду вне области пограничного слоя. Функция Hn,m – малая погранслойная поправка, локализованная в погранич-

ном слое DS и исчезающая вне DS . Численные расчеты показали, что декремент затухания ki = Im (kn,m ) и волновое число kr = Re al (kn,m ) монотонно затухают с ростом параметра R. При m =1, n ≥1 с ростом индекса n увеличиваются значения параметров kr и ki , а функции Fn,m локализуются вблизи оси цилиндра. При εν → 0 вблизи оси симметрии возникает вязкий критиче-

ский слой. При выходе из этого слоя спиральные моды затухают по экспоненциальному закону.

Короткие и длинные спиральные волны изменяют направление вращения жидкости как по сечению, так и со временем. В работе построены асимптотические разложения квазистационарных мод, которые в главном приближении не зависят от времени, а первая мода не изменяет направление вращения жидкости.

Свойства спиральных мод

Приведем результаты расчетов коротких спиральных волн по формуле (2). На рисунке приведены амплитуды спиральных мод в зависимости от

22 Всероссийская конференция «БИОМЕХАНИКА – 2014»

времени в течение систолы. Графики соответствуют сумме амплитуд одной короткой спиральной моды и первой квазистационарной моды при r = 0,5.

На рисунке, а спиральной моде соответствует n =1, m =1, а на рисунке, б – n = 2, m =1. Сплошная линия соответствует значению z =0, а пунктирная –

а б

Рис. 1. Амплитуды спиральных волн в зависимости от времени

Анализ численных расчетов приводит к некоторым выводам. В аорте возможен следующий режим: в течение систолы жидкость вращается в одну сторону, однако направление вращения изменяется на противоположное в течение небольшого промежутка времени. Длина этого промежутка мала по сравнению с продолжительностью сердечного цикла. Этот промежуток может находиться вблизи любой временной точки систолы. Наибольшее значение окружной компоненты скорости достигается во второй половине систолы. В начале систолы существует небольшой временной отрезок, в течение которого окружная компонента скорости изменяется незначительно. Длина этого временного отрезка увеличивается как при удалении от входного сечения цилиндра, так и с ростом индекса m. Высшие моды m >3 возбужда-

ются в конце систолы. При удалении от входного сечения спиральные моды затухают.

Благодарность

Авторы благодарят профессора Ю.А. Устинова за ценные консультации и внимание к работе.

Список литературы

1.Устинов Ю.А. Модель винтового пульсового движения крови в артериальных сосудах //

Докл. РАН. – 2004. – Т. 398, № 3. – С. 71–76.

2.Батищев В.А., Устинов Ю.А. Математическая модель распространения спиральных волн в аорте // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. – 2013. – № 1. – С. 102–110.

УДК 531/534: [57+61]

МЕХАНИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕННОДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ГЛАЗА

И ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВГД ПОСЛЕ ОПЕРАЦИЙ INTRALASIK И LASIK

С.М. Бауэр1, Л.А. Венатовская1, Л.А. Федотова2

1Санкт-Петербургский государственный университет,

Россия, 198504, г. Санкт-Петербург, Университетский пр., 28, s_bauer@mail.ru, l_karamshina@mail.ru

2Чебоксарский филиал ФГУ «МНТК “Микрохирургия глаза” им. акад. С.Н. Фёдорова» Минздрава России,

Россия, 428028, г. Чебоксары, пр. Тракторостроителей, 10, lar.fedotova@mail.ru

Ключевые слова: внутриглазное давление, гиперметропия, аппланационная тонометрия, операция LASIK, операция IntraLASIK.

Введение

Гиперметропия является одной из самых распространенных и сложных аномалий оптической системы глаза, на долю которой в общей структуре рефракционных патологий приходится около 40 % [1–3]. В настоящее время для лечения гиперметропии широко используется кераторефракционная хирургия, одной из задач которой является поиск эффективного и безопасного метода коррекции зрения со стабильным эффектом [3, 4]. В ряде работ отмечается, что лечение гиперметропии, при всем многообразии существующих способов ее коррекции, отстает от лечения миопии по эффективности, безопасности, прогнозируемости и стабильности получаемых результатов [1, 3–5].

Целью данной работы является построение конечно-элементной модели в программном пакете ANSYS, позволяющей оценить изменения напряжен- но-деформированного состояния роговицы и показателей внутриглазного давления (ВГД) после рефракционных операций по коррекции гиперметро-

пии: LASIK (Laser-Assisted in Situ Keratomileusis – «лазерный кератомилёз») и IntraLASIK (Introstromal Laser in Situ Keratomileusis).

При коррекции гиперметропии, после формирования роговичного лоскута (flap), с внутренней поверхности роговицы при помощи лазера удаляется слой роговичной ткани в виде кольца. При операции LASIK роговичный лоскут формируется механическим кератом, а при IntraLASIK – безлезвенным фемтосекундным лазерным кератомом, который позволяет выкраивать роговичный лоскут более точной формы и большего диаметра, чем при LASIK, а следовательно, проводить операцию ближе к периферии, что в значительной степени улучшает рефракционные и функциональные результаты у пациентов с гиперметропией [3].

Материалы и методы

Корнеосклеральная оболочка глаза, как и в работах [6, 7], представляется сопряженными трансверсально-изотропными сферическими сегментами с разными диаметрами и разными упругими свойствами (рис. 1, 2). При этом учитывается различие толщин и упругих свойств основных слоев роговицы: эпителия (L1), боуменовой мембраны (L2), стромы (L3) и десцементовой оболочки (L4). Предполагается, что составная оболочка до нагружения заполнена несжимаемой жидкостью под давлением p.

На упругие коэффициенты трансверсально-изотропных слоев роговицы и склеры накладываются ограничения [8]:

ν′i < (Ei′ Ei )12 , −1 < νi <1−2 (ν′i )2 (Ei Ei′), (Ei > 0, Ei′ > 0), i =1 , ..., 4,

где νi и νi' – коэффициенты Пуассона; Ei и Ei' – модули упругости при растя- жении-сжатии на поверхности изотропии и в направлении, перпендикулярном к ней.

Согласно клиническим данным [3], полагается, что при LASIK удаляет-

ся кольцевой слой (Lablation) с внутренним диаметром 6,0–6,2 мм и шириной не более 1,375 мм, при IntraLASIK – слой той же ширины, но с большим внут-

ренним диаметром – 6,5–6,7 мм.

Измерение ВГД тонометрами Маклакова и Гольдмана моделируется контактными задачами в программном пакете ANSYS. На первом шаге прикладывается внутреннее давление, на втором шаге – сила F = mg, где m – масса груза; g – ускорение свободного падения. В первой задаче к штампу прикладывается сила P, равная 10 г (0,1 Н), и фиксируется площадка контакта. Во второй задаче величина силы давления груза варьируется таким образом, чтобы зона контакта составляла 3,06 мм.

Результаты

На рис. 3 представлены контуры деформированной роговицы после операций LASIK и IntraLASIK. Модули упругости каждого слоя роговицы в направлении толщины оболочки принимаются в 20 раз меньше тангенциальных модулей [9, 10]. Внутреннее давление полагается 15 мм рт. ст. Внутренний диаметр удаляемого кольца (зоны абляции) при LASIK составляет 6,0 мм,

6.Бауэр С.М., Карамшина Л.А., Качанов А.Б. Mеханические модели измерения внутриглазного давления тонометрами Маклакова и Гольдмана после операций по коррекции зрения // Российский журнал биомеханики. – 2012. – № 3(57) – C. 25–31.

7.Бауэр С.М., Качанов А.Б., Семенов Б.Н., Слесорайтите Е. О влиянии толщины роговицы на показатели внутриглазного давления при измерении ВГД аппланационными методами //

Биомеханика глаза – 2007: сб. тр. конф. – М., 2007. – С. 119–124.

8.Родионова В.А., Титаев Б.Ф., Черных К.Ф. Прикладная теория пластин и оболочек. – СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. – 278 с.

9.Иомдина Е.Н. Механические свойства тканей глаза человека // Современные проблемы биомеханики. – М.: Изд-во МГУ, 2006. – Вып. 11. – C. 183–200.

10.Иомдина Е.Н. Биомеханика склеральной оболочки глаза при миопии: диагностика нарушений и их экспериментальная коррекция: дис. ... д-ра биол. наук. – М., 2000. – 319 с.

УДК 539.3

АНАЛИЗ ЗАДАЧИ ЛАМЕ В БИОМЕХАНИКЕ

Е.О. Боденкова

Санкт-Петербургский государственный университет,

Россия, 198504, г. Санкт-Петербург, Петергоф, Университетский пр., 28, Bodenkova23@mail.ru

Ключевые слова: биомеханика, давление, тактильная чувствительность.

Введение

Проблемы, изучаемые в современной биомеханике, отличаются от других задач механики рядом существенных особенностей. Биологические конструкции (сердце, позвоночник, кости), как правило, имеют сложную пространственную форму. Структура биосистем неоднородна, анизотропна,

ивсе параметры взаимозависимы. В живых тканях имеется ростовая деформация, зависящая от многих факторов (температура, химические вещества

идр.) Заметим, что рост костных структур, согласно закону Мейра – Вольфа, происходит по линиям главных напряжений. Поэтому для оценки функционирования биоконструкций необходимо определять напряжённое состояние

исопоставлять с уровнем прочностных характеристик биоматериалов [1].

Задача Ламе

В работе в качестве модельной рассматривается задача определения напряжений в цилиндре (или толстостенной сфере) при действии внешнего и внутреннего давлений. Поскольку в природе действует закон экономии энергии, эта модельная задача оказывается достаточно удобной для расчета на прочность биообъектов. Ее называют задачей Ламе по имени французского математика.

С помощью известных формул анализируется влияние геометрических параметров для моделей головы. Например, уменьшение толщины черепа приводит к увеличению окружного напряжения и к более резкому изменению радиального напряжения по толщине:

Также исследуется влияние изменения давлений (внутреннего и внешнего) в интервале изменений физиологического и атмосферного давлений:

pН =85...105 кПА, pН < pB .

Кости человека очень прочны, но прочность на сжатие в 1,5 раза выше таковой на растяжение. Физико-механические свойства костей представлены ниже.

Полученные результаты при изменении давлений (рис. 1, 2) показывают, что уровень возникающих напряжений значительно ниже предела прочности. Это говорит о том, что колебание давлений не влияет на прочность твердых тканей головы. Но не исключено, что такое колебание давлений действует на поверхностные рецепторы.

Эти изменения характеризуются тактильной чувствительностью. Это разновидность кожной чувствительности, с которой связаны ощущения прикосновения, давления и частично вибрации [2].

Тактильная чувствительность характеризуется порогом интенсивности (абсолютным и относительным), пространственным и временным разрешениями.

Порог интенсивности определяется давлением, при котором испытуемый чувствует воздействие. Пространственное разрешение определяется минимальным расстоянием между двумя точками, прикосновения к которым ощущаются как отдельные. Значения для некоторых участков тела представлены ниже [3].