- •1.1. Моделирование геологических процессов и явлений
- •1.2. Характер геологической информации
- •1.3. Понятие о геолого-математическом моделировании
- •1.4. Принципы и методы геолого-математического моделирования
- •2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •2.1. Сущность и условия применения
- •2.2. Статистические характеристики, используемые в геологии
- •2.3. Точечные и интервальные оценки свойств геологических объектов
- •2.4. Основные статистические законы распределения, используемые в геологии
- •2.5. Статистическая проверка геологических гипотез
- •2.7. Проверка гипотез о равенстве дисперсий
- •2.8. Анализ однородности выборочных геологических совокупностей
- •2.9. Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ
- •3. МНОГОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
- •3.2. Многомерный корреляционный анализ
- •3.3. Статистические методы выделения ассоциаций химических элементов
- •3.4. Кластер-анализ (дендрограммы и дендрографы)
- •3.6. Задачи распознавания образов в геологии
- •3.8. Оценка информативности геологических признаков
- •3.9. Линейные дискриминантные функции
- •3.10. Метод главных компонент
- •4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
- •4.2. Элементы неоднородности, изменчивость и анизотропия гелогических полей
- •4.4. Фон, аномалии и поверхность тренда
- •4.5. Геометрические методы выявления закономерных составляющих признаков
- •4.6. Способы сглаживания случайных полей
- •4.7. Анализ карт
- •4.8. Метод ближайшего соседа
- •4.9. Поверхности тренда
- •4.10. Сравнение карт
- •4.15. Моделирование дискретных случайных полей
- •5.1. Принципы моделирования свойств геологических объектов
- •5.3. Использование автокорреляционных функций для решения геологических задач
- •6. ФАКТОРЫ, ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ ВЫБОР И ЭФФЕКТИВНОСТЬ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
- •6.4. Роль геологического анализа при выборе геолого математической модели
- •7. ПРИМЕНЕНИЕ ЭВМ В ГЕОЛОГИИ
- •7.1. Автоматизация первичной обработки данных
- •7.2. Решение геологических задач с помощью ЭВМ
- •7.3. Автоматизированные системы обработки геологических данных
- •СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Для большинства геологических явлений условие независимо сти не соблюдается, так как геологические образования изменяются в пространстве и во времени. В этом наблюдается определенная за кономерность. Однако существуют геологические объекты, в кото рых отсутствуют закономерности изменения в пространстве и во времени. Это ограничивает применение статистической модели.
2.2.Статистические характеристики, используемые в геологии
Воснове статистического моделирования лежит понятие о ве роятности случайного события:
Р{А) = 1;
ДА) = 0.
Случайные величины могут быть прерывистыми (дискретны ми) и непрерывными. Случайная величина, принимающая только определенные числовые значения, называется дискретной. Напри мер, дискретными величинами являются: количество зерен минера ла (при изучении шлифа под микроскопом), количество скважин, вскрывших залежь, и т. п.
Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать в некотором интервале любые значения. В геологии ши роко распространены случайные угловые величины, например: за меры залегания контактов пород и разрывных нарушений; ориенти ровка осей складок; направление остаточного магнитного поля Земли.
Замеры обычных скалярных величин можно рассматривать как точки на прямой. Угловые измерения удобно рассматривать как точки на окружности или сфере (например, лимб теодолита или компаса).
Число появления события в серии испытаний называется его частотой. Отношение числа появления события к общему числу опытов в серии называется частостью. При увеличении числа опы тов, то есть объема выборочной совокупности, частость события сходится к его вероятности.
Соотношение, устанавливаю
щее связь |
между |
возможным |
значением |
случайной |
величины |
и соответствующими |
вероятно |
|
стями, называется законом или
функцией распределения (рис. 2 ). Функция распределения F(x) вы ражает вероятность того, что вы борочное значение случайной ве личины ^ окажется меньше неко торого предела, ограниченного х, где х - заданная переменная, то есть Р (£> < х).
Функция плотности распреде ления j(x) характеризует вероят ность попадания выборочного зна чения случайной величины в за данный интервал х, причем х + Ах - это вероятность события (рис. 3):
Р (х < £ < х + Ах),
где х - случайная величина, Ах - случайная составляющая
отклонения;
Эти функции связаны соотно-
х
шением F(x) = J/(*)d х, причем
-00
00
Щх), %
Рис. 2. График интегральной функции распределения
/(*),%
Рис. 3. График функции плотности распределения (дифференциальной функции распределения)
fix), %
J/(*)d х = 1
-оо
Эмпирические графики функ |
|
ции плотности распределения на |
|
зываются гистограммами (рис. 4). |
Рис. 4. Гистограмма содержания |
По оси ординат откладываются |
|
частости, соответствующие каждо |
SiC>2 в неогеновых лавах |
|
му классу значений случайной ве личины.
Графики функции распределе ния F(х) называются кумулятами (рис. 5).
По оси ординат откладывают накопленные частости, то есть суммы частостей по всем классам.
Для углового измерения анало гом гистограммы является диа грамма розы наблюдений (рис. 6 ). Для построения угловое измерение разбивают на классы, то есть сек торы круга.
Наиболее существенные осо бенности распределения выража ются с помощью числовых харак теристик положения и разброса. К важным характери
стикам положения относят матема тическое ожидание, моду, медиану.
Математическое ожидание Мх дискретной случайной величи ны - это сумма производных всех ее возможных значений х, на со ответствующей вероятности (р,).
Р(*),%
Рис. 5. Кумулята содержания Si02 в неогеновых лавах
270°
Рис. 6. Диаграмма розы наблюде ний азимутов падения швов текто нических брекчий в пределах ми нерализованной зоны дробления
1=1
Математическое ожидание непрерывной случайной величины выражается через плотность распределения
+00
М *= |дс/(x)dx,
где d* - интегрируется по х;
J[x) - плотность распределения.
Математическое ожидание |
т , % |
|
характеризует |
среднее значе |
|
ние случайной |
величины. Его |
|
используют для полного опи |
|
|
сания геологических объектов, |
|
|
например, для |
подсчета запа |
|
сов месторождений по оценке среднего содержания полезного компонента; в инженерных рас четах при оценке характеристик
прочностных свойств пород; в классификациях пород при исследо вании обломочных частиц среднего размера, среднего химического и минерального состава.
Мода (Мо) случайной величины - это ее наибольшее вероятно стное значение для дискретной случайной величины (рис. 7).
Мода соответствует вершине на графике функции плотности распределения.
Для большинства статистических законов характерна одна мо да. По наличию на графиках распределений можно сделать вывод, что изучаемая выборочная совокупность неоднородна (рис. 8 ).
Рис. 8. Распределения: а - одномодальное; б - бимодальное; в - полимодальное; г - антимодальное
Медиана (Me) случайной величины соответствует значению функции распределения, равному 0,5 F(x) = 0,5 (50 %). Медиана - это значение, для которого вероятность встречи больших и мень ших значений в выборке равны:
Р(^<М е) = Р(^>М е).
Для симметричного распределения Me совпадает с Мх и Мо. Необходимо определять степень отклонения значений случай
ной величины от ее математического ожидания. Размах варьирова ния R, то есть интервал возможных значений по выборочным дан ным, - это разница между максимальными и минимальными значе ниями:
**^max ^min*
Кхарактеристикам разброса относят центральные моменты различных порядков р. Главной характеристикой разброса является центральный момент второго порядка - дисперсия.
Дисперсия дискретной случайной величины
Ц2 = ст2= £ ( х, - М х)2 Д,
/=1
а дисперсия непрерывной случайной величины
О
Ц2 = сг2 = J(X - M X )2 fix)dx.
—со
Производными характеристиками от дисперсии является стан
дартное или среднее квадратичное отклонение о - -Jo* и коэффи
циент вариации V= ———•1 0 0 %. Мх
Дисперсия и производные от нее характеристики в геологии используются для оценки погрешности измерений и если требуется оценить степень изменчивости свойств геологических объектов.
Для оценки степени асимметрии распределения относительно Мх используется центральный момент третьего порядка ц3:
- для дискретной случайной величины
Из= £ (д :,-М х )3р,;
1= 1
- для непрерывной случайной величины
оо
Цз = J(x-M x)3y(x) djc;
—ОО
-для симметричных распределений Цз=0 .
Враспределении, у которого Mo, Me, Mr смещены от середины размаха варьирования в сторону малых значений, Цз имеет знак «плюс». Хвост на графике плотности распределения, или длинная ветвь кривой, находится справа от центра. Распределение называет ся правоили положительно-асимметричным.
Если Mo, Me, MJC смещены в сторону больших значений, ц3 имеет знак «минус». Хвост на графике, то есть длинная ветвь, нахо дится слева, и распределение называется левоили отрицательно асимметричным. Мерой остроты, или крутости графика функции плотности распределения, является эксцесс Е. Для его оценки слу жит (J4 .
/=1
ИЛИ
Щ = ](х -М х )4 Ддг)с1х.
Моменты Цз и ц4 используют при выборе типа распределения. Обычно вычисляют производные от них А = / с у3 ; Е = ц4/ ст4 - 3, которые называются показателями ассиметрии и эксцесса.
В качестве характеристик положения угловых величин исполь зуют круговое среднее значение, выборочную круговую Me и кру говую Мо. Для угловых величин наряду с Мо используют характе ристику, называемую антимодой. Она соответствует значению