2. ОДНОМЕРНЫЕ СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

2.1. Сущность и условия применения

Геологические исследования в большинстве случаев основаны на изучении свойств геологических образований путем замеров в отдельных точках непосредственно на месте их залегания или пу­ тем анализа образцов и проб, отобранных в отдельных участках. При этом выборочные наблюдения относятся к элементарно малым пространственно разобщенным объемам недр (в искусственном или естественном обнажении), а выводы, полученные по ним, распро­ страняются на весь изучаемый объем.

Изучая сложные природные объекты выборочными методами, геологи всегда учитывали возможность получения ошибочных ре­ зультатов по ограниченному количеству наблюдений. Поэтому пер­ вые попытки математического моделирования в геологии связаны

сиспользованием математического аппарата теории вероятностей

иматематической статистики, который обеспечивает возможность получения наиболее надежных выводов по выборочным данным

ипозволяет оценить точность этих выводов.

Воснове статистического моделирования лежат два понятия: генеральной совокупности (множестве возможных значений оп­

ределенного признака изучаемого объекта или явления) и о вы­ борке (совокупности наблюдаемых значений этого признака). При использовании статистической модели геологические объекты рассматриваются как совокупности бесконечно большого количе­ ства элементарных участков, каждый из которых соответствует по размеру отдельной пробе или месту единичного замера изучае­ мого свойства.

Геологические объекты изучаются выборочными методами, при этом геологи учитывают получение ошибочных результатов. Математическое моделирование в геологии связано с использова­ нием аппарата ТВ и МС - это позволяет учесть точность выводов.

Испытание - это комплекс условий, в которых могут осущест­ вляться или не осуществляться изучаемые события. Наблюдаемые события подразделяются на:

- достоверные (события, которые обязательно произойдут при заданных условиях испытания);

-невозможные (события, которые заведомо не произойдут при определенной совокупности условий);

-случайные (события, которые при заданной совокупности ус­ ловий либо произойдут, либо нет).

Когда события многократно повторяются при неизменных ус­ ловиях опыта, их проявления подчиняются вероятностным законо­ мерностям.

События называются несовместимыми, если их появление в одном и том же испытании невозможно. Если появление одного события не исключает появления другого, то события называются

совместимыми.

События называются единственно возможными, если появле­ ние в результате испытания только одного из них является досто­ верным. Единственно возможные события попарно несовместимы. События называются равновозможными, если есть основание пред­ полагать, что ни одно не является более возможным, чем другое.

Математическая вероятность Р того, что событие А произойдет Р (А) - это отношение числа шансов тублагоприятных событию А к общему числу благоприятствующих и не благоприятствующих шансов п:

Р{А ) = - .

п

1. Вероятность достоверного события Р = 1:

Р(A ) - £ L . = £ « I .

пп

2.Вероятность невозможного события Р - 0:

Р(А) = - = 0.

3. Вероятность случайного события —это большее число, з ключенное между 0 и 1:

П

0< P (A )< 1.

4.Вероятность любого события выражается так:

О< Р(А) < 1.

Относительной частотой (частостью) Лотн(А) называется отно­ шение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу испытаний:

Лотн(А)=-.

п

Вотличие от математической вероятности, которая вычисляет­ ся до опыта, относительная частота вычисляется после опыта.

Вероятность, определяемая до испытания, называется априор­ ной. Вероятность, определяемая после опыта и приведенная к неко­ торому результату, называется апостериорной.

Вразличных опытах относительная частота различна и колеб­ лется около вероятности. Изменчивость тем меньше, чем больше число испытаний.

Классическое определение вероятности предполагает, что чис­ ло исходов дискретно и конечно. На практике число исходов может быть бесконечно или не поддаваться числовому счету. Поэтому ис­ пользуют понятие статистической вероятности, под которой пони­ мают относительную частоту, или частость. Наблюдения осуществ­ ляют относительно некоторого качественного или количественного признака. Например, производят специальные геофизические ис­ следования скважин, которые позволяют оценить такой качествен­ ный признак, как литологический состав или количественный при­ знак - диаметр скважины, сопротивление и др.

Вариантов исследования может быть два: сплошное и выбо­ рочное.

На практике сплошное исследование проводят реже, так как со­ вокупность объектов может быть большой, или исследования могут быть связаны с уничтожением объекта, или требуются большие ма-

термальные затраты. Примером является изучение обнажений гор­ ных пород вдоль берега реки, когда геологический разрез представ­ лен в ископаемом интервале полностью.

При бурении параметрических скважин вдоль профиля сплош­ ное исследование проводить экономически нецелесообразно. По­ этому проводится выборочное исследование.

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокуп­ ность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится вы­ борка. Объем генеральной или выборочной совокупности - это чис­ ло объектов в ней. Генеральная совокупность может быть конечной и бесконечной.

Повторной называется выборка, при которой отобранный объ­ ект перед отбором следующего возвращают в генеральную сово­ купность. Бесповторной называют выборку, при которой отобран­ ный объект в генеральную совокупность не возвращают.

Для того, чтобы составить правильное представление об инте­ ресующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо достаточно полное освещение признака отобранными объектами. В этом случае говорят, что выборка должна быть репрезентатив­ ной. По закону больших чисел, выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайным образом. При этом каждый объект генеральной совокупности имеет равную возможность попасть в выборку, то есть выборка рандомизирована.

Каждое отдельное значение признака в выборке называют ва­ риантом. Варианты в выборке могут повторяться. Вариационным рядом называют упорную последовательность величин и признаков по возрастанию или убыванию.

Вариации могут быть дискретными и непрерывными. Дис­ кретная вариация - значения признака, отличающиеся друг от дру­ га на некоторую величину, то есть значения имеют наименьшее общее кратное. Непрерывная вариация - значения признака отли­ чаются друг от друга на любую, даже бесконечно малую величину (масса, дебит нефти и т. п.).

В основе статистического моделирования (СМ) лежат два по­ нятия: генеральная совокупность (ГС) и выборка. Генеральная сово­ купность —множество возможных значений определенного призна­ ка геологического явления (геологическая совокупность). Выборка

- это совокупность наблюдаемых значений этого признака (опро­ буемая выборочная совокупность).

При испытании статистической модели геологические объекты рассматривают как совокупности бесконечно большого числа эле­ ментов. Каждый из них соответствует по размеру отдельной пробе или месту единицы замера.

При СМ предполагают, что выборочная совокупность должна отвечать условиям массовости, однородности, случайности и неза­ висимости.

1. Условие массовости.

Статистические закономерности проявляются лишь в массовых явлениях, поэтому объем выборочной совокупности должен быть достаточно большим. Эмпирическим путем установлено, что на­ дежные статистические оценки получаются при объеме выборки 50...60 значений. При уменьшении объема выборки до 20-30 значе­ ний надежность оценок снижается. При еще большем снижении значений в геологии статистические методы применять нет смысла. При проведении геологических, геохимических, геофизических съемок количество наблюдений велико, условие массовости выпол­ няется, то есть выборка репрезентативна.

2. Условие однородности.

Выборочная совокупность должна состоять из наблюдений, принадлежащих одному объекту и выполненных одинаковым спо­ собом, то есть размер проб и методика наблюдений постоянны. На­ рушения этого условия связаны с ошибками при определении гра­ ниц геологической совокупности и техническими сложностями. Границы геологической совокупности задают исходя из постановки задачи. Предполагают, что все объекты, включенные в геологиче­ скую совокупность, аналогичны и внутренне однородны, однако это подтверждается не всегда. Объекты могут быть схожи по качест­ венным признакам и различаться по количественным.

Большинство геологических образований имеет сложное внут­ реннее строение. Оно обусловлено зональностью и неоднородно­ стями различного масштаба. При обобщении геологических резуль­ татов часто имеют дело с данными, полученными в различные годы и с помощью различных технических средств.

Условие однородности соблюдается не всегда; при испытании статистических методов нужно учитывать анализ возможных по­ следствий нарушения этого условия.

3. Условие случайности.

Это условие означает непредсказуемость результата единст­ венного наблюдения. Сложность и изменчивость геологических объектов исключает их точную оценку до проведения наблюдения. Элемент случайности присутствует во всех геологических исследо­ ваниях.

Условие случайности строго выполняется лишь тогда, когда места выполнения замеров геологического признака не будут связа­ ны с величиной, характеризующей этот признак. На практике это достигается проведением наблюдений по равномерной сети. Все места наблюдений намечаются заранее, до проведения работ, в про­ цессе наблюдений они не корректируются (например, гравиметри­ ческие, сейсмические и другие профили). При изучении геологиче­ ских объектов по естественным обнажениям это условие может нарушаться.

Так, на территории со спокойным рельефом обнажения обычно располагаются в бортах речных долин. Они часто совпадают с раз­ рывными нарушениями. В то же время прочностные свойства пород связаны с текстурными особенностями и минеральным составом. Поэтому статистическая обработка может дать искаженное пред­ ставление о свойствах пород.

Также условие случайности нарушается в силу субъективности при проведении замеров. Например, гнейсы имеют различную ок­ раску, и их статистическая оценка может быть различной в зависи­ мости от того, какой цвет выбран за основу.

Свойства геологических объектов в пределах перспективных участков могут отличаться. Результаты наблюдений по участку де­ тализации выделяются в самостоятельную выборочную совокуп­ ность.

4. Условие независимости.

Результат каждого наблюдения не зависит от результатов предыдущих и последующих наблюдений. При проведении наблю­ дений по площади или в объеме результаты не зависят от координат пространства.