2.9.Однофакторный и двухфакторный дисперсионный анализ

вгеологии

Свойства геологических объектов, как и любой другой сложной природной системы, обычно зависят от ряда факторов, обусловли­ вающих их изменчивость. Выявление этих факторов и оценка сте­ пени их влияния на изменчивость (неоднородность) свойств изу­ чаемых объектов осуществляется с помощью дисперсионного ана­ лиза.

Этот статистический метод основан на следующем принципе: если на случайную величину действуют взаимонезависимые факто­ ры А, В, ..., Д то общую дисперсию этой случайной величины а 2 можно рассматривать как сумму дисперсий а 2 = а 2 + а 2в +

По количеству оцениваемых факторов дисперсионный анализ подразделяется на одно-, двух- и многофакторный.

Каждый фактор представляет собой переменную дискретную или непрерывную величину, которая разделяется на определенное количество постоянных интервалов (уровней). Если количество за­ меров изучаемой случайной величины на всех уровнях по всем фак­ торам одинаковое, дисперсионный анализ принято называть равно­ мерным, а если разное - неравномерным.

Суждение о влиянии определенного фактора или комбинации факторов на изменчивость изучаемой случайной величины основа­ но на группировке ее замеров по факторам и их уровням и проверке гипотезы о равенстве дисперсий, обусловленных данными факто­ рами, с остаточной (случайной) дисперсией, вызванной неучтенны­ ми факторами. Если гипотеза отвергается, то делается вывод о том, что данный фактор или взаимодействие факторов оказывают суще­ ственное влияние на изменение изучаемого свойства геологическо­ го объекта.

С помощью дисперсионного анализа решается широкий круг геологических задач:

-проверяются гипотезы о влиянии литологических, петрофи­ зических, геохимических, структурных и других факторов на лока­ лизацию оруденения;

-выявляются элементы зональности различных геологических

объектов;

-определяется влияние способа отбора проб на их достовер­ ность и представительность;

-оценивается влияние ландшафтных условий на интенсив­ ность проявления различных поисковых признаков;

-решается вопрос о влиянии гипергенных процессов на каче­

ство руд; - выявляются факторы, определяющие прочностные свойства

грунтов и пород и т. д.

При равномерном однофакторном дисперсионном анализе слу­ чайной величины х относительно фактора А, имеющего к уровней при количестве замеров на каждом уровне, равном л, результаты наблюдений обозначаются как x,j, где i - номер наблюдения (i = 1, 2 ,

По этим данным рассчитываются следующие статистики:

1) общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от общей средней:

с обШ= £ Х ( * о = *)1’

j =I <=i

2 ) факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, характеризующая рассеяние между группами:

к

СфЛКГ= п ^ ( х ( - х ) 2;

У = 1

Проверка гипотезы о влиянии на изменчивость изучаемого свойства каждого фактора в отдельности и их совместного влияния производится по критерию Фишера:

Ч2 S2

s;

Полученные значения F-критерия сравниваются с критическим для заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

При расчете F-критерия в данном случае в знаменателе всегда берется остаточная дисперсия. Поэтому его значение иногда может получаться меньше 1.

Приведенные схемы дисперсионного анализа основаны на свойствах нормального закона распределения и предположении о равенстве дисперсий на разных уровнях одного и того же фактора. Однако F-критерий по выборкам достаточно большого объема ус­ тойчив и для совокупностей, умеренно отклоняющихся от нормаль­ ных. Умеренное различие в дисперсиях также не является препятст­ вием для его применения при условии приблизительного равенства объемов выборок по группам. Если возможность применения F-критерия все же вызывает сомнения, можно воспользоваться непараметричскими критериями.

Однофакторный непараметрический дисперсионный анализ

с применением критерия Краскала-Уоллиса включает следующие операции:

- ранжирование всех наблюдений по возрастанию от 1 до N,

к

где У = - объем всей выборки;

7=1

-нахождение сумм рангов Ru R2, .... F* для каждого уровня анализируемого фактора;

-вычисление критерия Краскала-Уоллиса по формуле

- сравнение полученного значения Н с его критическим значе­ нием (Нк) для принятого уровня значимости а.

При достаточно большом объеме выборки, когда количество наблюдений по каждому уровню превышает 5, значение Нк опреде­

ляется по таблицам распределения %2 для числа степеней свободы

/ = k —l , где к - количество уровней исследуемого фактора.

Если рассчитанное значение критерия Н превышает НК, то ги­ потеза об отсутствии влияния анализируемого фактора на изменчи­ вость изучаемого свойства отвергается.

При двухфакторном непараметрическом анализе Фридмана

исходные данные записываются в виде табл. 6 .

Таблица 6

Схема вычисления дисперсий при двухкратном дисперсионном анализе

Для проверки влияния фактора А значения в строках таблицы ранжируются, то есть заменяются цифрами от 1 до q. По каждому

Для количества уровней по факторам А или В больше 4, крити­

ческое значение статистики определяется по таблицам критерия

X2 . Для количества степеней свободы { = q -1, а при малом количе­ стве уровней используются специальные таблицы .

Для проверки гипотезы о влиянии фактора В строки и столбцы в табл. 6 меняются местами.

Использованный в данной главе математический аппарат опи­ сан в специальных пособиях по теории вероятностей и математиче­ ской статистике. Приемы первичного анализа результатов массовых наблюдений подробно рассмотрены в монографии Дж. Тьюки. Много полезных рекомендаций по вычислительным методам стати­ стики можно почерпнуть из справочника Дж. Полларда.

Применению статистических методов при геохимических ис­ следованиях посвящены работы В. Н. Бондаренко, Д. А. Родионова. Многочисленные примеры использования одномерных статистиче­ ских моделей в различных областях геологии приведены в моно­ графиях Р. Миллера и Дж. Кана, У. Крамбейна и Ф. Грейбилла, Дж. Дэвиса.

Статистическому анализу угловых величин посвящена моно­ графия К. Мардиа.

Контрольные вопросы

1.Почему при изучении свойств геологических объектов мож­ но применять методы математической статистики?

2.Какие требования предъявляются к выборочной геологиче­ ской совокупности при статистическом моделировании?

3.Какие свойства геологических объектов можно описать не­ прерывными случайными величинами, а какие - дискретными?

4.Какие геологические задачи можно решать с помощью гис­

тограмм и кумулят?

5.Какие статистические законы распределения используются

вгеологии?

6. Как проверяются гипотезы о типе статистического распреде­

ления?