Теория технологических процессов учебное пособие

Уравнение (7.40) – уравнение второго порядка относительно концентрации связей A–A или B–B и первого порядка относительно

Определив глубину превращения Φ как

Для системы, в которой одновременно происходит и реакция полимеризации, и течение со скоростью vx = vx (x, y, t), имеет место равенство dΦ / dt = DΦ / Dt. Поэтому уравнение (7.46) принимает вид

111

Для обеих констант скоростей реакций их температурная зави-

симость описывается уравнением Аррениуса:

Разница в энергиях активации определяет теплоту (энтальпию) реакции полимеризации:

Отметим также, что при определенном (характеристическом) значении температуры kf = kr. Для данной реакционной системы формования полимерного материала среднечисловая и среднемассовая молекулярные массы

и теплопередачу при литье под давлением рассматриваемой реакци- онно-активной полимерной композиции, необходимо определить момент количества движения в направлении x и составить уравнение баланса энергии. В соответствии с данными Домине и Гогоса искомый момент количества движения определится из выражения

Граничные условия для решения дифференциального уравнения

(7.52):

112

Динамический коэффициент вязкости полимерного расплава можно определить, например, из уравнения Керри:

Здесь имеется связь с молекулярной массой в виде

где λ – время релаксации, равное отношению вязкости к модулю сдвига, λ = η/ G; η0 – вязкость при нулевой скорости сдвига. Вязкость при γ →0 является функцией среднемассовой молекулярной массы:

Индекс i =1 обозначает область, где нет молекулярных зацеплений, а i = 2 – область, где существуют молекулярные зацепления. Поэтому при i = 1 Mm ≤ Me (молекулярная масса участка цепи между соседними зацеплениями);

113

При i = 2 получаются следующие величины:

Mm ≥ Me ; β2 = 3,4; δ2 = ∆E; ε2 = 0.

Если плотность и теплопроводность полимерного материала постоянна, то уравнение сохранения энергии для процесса формования методом литья под давлением имеет вид

где Tf – температура пресс-формы, а T0 – температура полимерного расплава на входе в форму.

На рис. 7.18 и 7.19 представлены результаты численного моделирования процесса формования изделий на основе реакционноактивного олигомера методом литья под давлением (линейная ступенчатая полимеризация).

Видно, что температура и степень превращения реакционных групп увеличиваются с ростом расстояния от впуска в направлении течения (рис. 7.18, a – изменение степени превращения; рис. 7.18, б – изменение температуры в процессе заполнения формы. T0 = Tf = = 60 °C; kf = 0,5 1/(моль·с); tfile = 2,4 с). Это результат увеличения времени пребывания материала в форме. За счет фонтанного течения профили распределения температуры и степени превращения трансформируются, поскольку часть материала из центральной области фронта потока откладывается на стенке.

При постоянном объеме вводимой в форму реакционной смеси увеличение времени заполнения формы приводит к увеличению степени завершенности химической реакции в процессе заполнения пресс-формы.

114

Рис. 7.18

На рис. 7.19, а показано, как изменяется степень превращения, на рис. 7.19, б – температура в процессе заполнения формы. T0 = Tf = = 60 °С; kf = 1,0 1/(моль ·с); tfile = 4,5 с.

Рис. 7.19

115

По окончании заполнения пресс-формы реакция отверждения (образование реактопласта) продолжается, как и теплопередача до тех пор, пока среднее значение механического модуля упругости (по сечению изделия) не достигнет необходимого уровня в каждой точке изделия, иначе при раскрытии формы и извлечении изделия может произойти его деформирование.

Численное моделирование других методов формования изделий из полимерных материалов – прессование, заливка, пневмовакуум-

формование и др. – можно провести аналогичными способами.

116

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Фейнмановские лекции по физике / Р. Фейнман, Р. Лейтон,

М. Сэндс. – М.: Мир, 1966. – 279 с.

2.Мидлман С. Течение полимеров. – М.: Мир, 1971. – 283 с.

3.Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров. –

М.: Химия, 1977. – 462 с.

4.Чанг Дей Хан. Реология в процессах переработки полиме-

ров. – М.: Химия, 1979. – 357 с.

5.Тадмор Э., Гогос К. Теоретические основы переработки по-

лимеров. – М.: Химия, 1984. – 629 с.

117

ПРИЛОЖЕНИЯ

1. Основные математические понятия по курсу теории технологических процессов

Цилиндрические координаты (r, ϕ, z), связанные с прямоугольными, декартовыми координатами (x, y, z):

x = r cosϕ, y = r sin ϕ, z = z.

Выражение для скорости потока в декартовых координатах через цилиндрические координаты:

vx = vr cosϕ−vϕ sin ϕ, vy = vr sin ϕ+vϕ cosϕ, vz = vz .

Выражение для скорости потока в цилиндрических координатах через декартовы координаты:

vr = vx cosϕ+vy sin ϕ, vϕ = −vx sin ϕ+vy cosϕ, vz = vz .

Оператор Гамильтона в декартовых координатах для единичных векторов скорости потока:

= ∂∂x i + ∂∂y j + ∂∂z k.

Градиент скорости и дивергенция скорости потока, выражен-

ные через оператор Гамильтона:

grad v = ∂∂vx i + ∂∂yv j + ∂∂vz k = v. div v = ∂∂vxx + ∂∂vyy + ∂∂vzz = v.

Оператор Лапласа в декартовых координатах для скорости потока:

∆v = 2v = ∂2vx + ∂2vy + ∂2 z . ∂x2 ∂y2 ∂z2

118

Тензор напряжений в декартовой системе координат для потока:

σxxτxyτxz

T= τyxσyyτyz .

τzxτzyσzz

2.Задачи и упражнения*

по теме «Течение “мокрой” (вязкой) воды»

1. Если шар радиусом а движется в вязкой жидкости, например в воде, равномерно и достаточно медленно, так что поток обтекаю-

2. Медленный поток вязкой жидкости, например воды, в цилиндрической трубке можно считать ламинарным, причем профиль скоростей потока выглядит примерно так, как представлено на рисунке.

Покажите, что если r – расстояние от оси трубки, η – коэффициент вязкости, а (P1 – P2)/L – перепад давления на единице длины трубки, то профиль скоростей в жидкости описывается выражением

* Приведенные примеры из знаменитого курса «Фейнмановские лекции по физике» [1] по практическому освоению теоретической реологии показывают, как нужно использовать физические представления в сочетании с математическими методами для количественного решения инженерных задач получения и переработки новых полимерных материалов.

119

v(r) = 1 (P1 − P2 ) (a2 −r2 ). 4η L

По аналогии с законом Ома пропускную способность трубки Q можно связать с перепадом давления ∆Р = =(P1 − P2 ) соотношением ∆P =QR, где

R – сопротивление трубки. Найдите сопротивление R для трубки радиусом а и длиной L. Как вы думаете, проведение подобной аналогии лишь простая игра слов или есть основания считать такие аналогии полезными? Что является аналогом конденсатора?

3. Дно широкого бассейна покрыто тонким слоем воды (любой «несжимаемой» жидкости с вязкостью η). На поверхности воды плавает тонкая деревянная доска, «дно» которой находится на расстоянии d от дна бассейна. Все остальные размеры доски во много раз больше d. Доска движется горизонтально с малой скоростью v. Чему равна скорость диссипации энергии в единице объема в воде вблизи середины доски?

Ответы к задачам даны в подразд. 3 этого приложения, если вы интересуетесь или ваши усилия по решению предложенных задач и упражнений окажутся безрезультатными.

3. Ответы к задачам

1. К параметрам, определяющим силу сопротивления, относятся: а – радиус шара, v – скорость движения шара относительно жидкости, η – коэффициент вязкости. Размерность этих величин такова: [a] – длина; [v] – длина / время; [η] – масса / время × длина.

Будем искать из соображений размерности выражение для силы в виде

F = aαvβηγ.

Запишем условие совпадения размерностей левой и правой частей этого соотношения:

120