Физические теории пластичности

конвективных форм тензора напряжений, ротационной формы тензора напряжений Trt = RT σ R .

9.Показать справедливость соотношения (1.23).

10.Показать, что тензор k (1.14) является девиатором и несимметричным тензором.

11.Используя потенциал для классической гиперупругой среды

(1.18) получить ОС (1.19).

12.В точке M в декартовой системе координат компоненты тензора моментных напряжений имеют вид

13. Поверхностью тензора напряжений σ для некоторой точки M сплошной среды называется такое геометрическое место точек, декартовы координаты xi которых удовлетворяют условию σijxixj = const, где σij – компоненты тензора σ в точке M. Определить форму поверхности напряжений для точки среды, где компоненты тензора напряжений в ортогональной декартовой системе координат имеют следующие значения:

а) σ11 = σ22 = σ33 = σ, σij = 0 приi≠j – всестороннеерастяжение(сжатие); б) σ11 = σ, остальные σij = 0 – одноосное растяжение (сжатие);

в) σ12 = σ21 = τ, остальные σij = 0 – простой сдвиг;

г) σ11 = A, σ22 = B, σ33 = C, σij = 0 при i≠j – напряженное состояние общего вида в главных осях тензора напряжений. Исследовать вид поверхности напряжений в зависимости от знаков A, B, C. [25]

14. В кубическом кристалле происходит сдвиг скольжением на ве-

личину α по плоскости (0 1 1) в направлении 01 1 . За оси координат

приняты кристаллографические оси кубического кристалла: а) выпишите компоненты тензора деформации сдвигом,

б) выпишите компоненты тензора чистой деформации, если

скольжение на величину α` происходит в том же направлении 01 1 ,

но по плоскости (100) [16].

222

15. На тетрагональный кристалл действуют растягивающее напряжение σ вдоль [100] и сдвиговое напряжение τ по (100) вдоль [010]:

а) выпишете компоненты тензора напряжений, отнесенные к кристаллографическим осям,

изменив оси тензора напряжений, в) таким же способом найдите растягивающее напряжение, нор-

мальное к (110) [16].

16. Используя соотношение Шмида, определить сдвиговые касательные напряжения для всех СС ГЦК(ОЦК, ГПУ)-кристалла, если компоненты тензора напряжений в декартовой ортогональной системе координат, совпадающей с кристаллографической системой кубических кристаллов (для ГПУ ось Ох1 направлена вдоль [2 1 1 0], ось Ох2 – перпендикулярна ей и лежит в базовой плоскости, ось Ох3 – вдоль [0 0 0 1]), имеют вид:

а) σ11 = σ22 = σ33 = σ, σij = 0 приi≠j – всестороннеерастяжение(сжатие); б) σ11 = σ, остальные σij = 0 – одноосное растяжение (сжатие);

в) σ12 = σ21 = τ, остальные σij = 0 – простой сдвиг;

г) σ11 = A, σ22 = B, σ33 = C, σij = 0 при i≠j – напряженное состояние общего вида в главных осях тензора напряжений.

17.Показать, что в вершинах текучести для ГЦК-кристаллита критерий Шмида (2.9) одновременно выполняется или для 6, или для 8 СС.

18.Кубический кристалл растягивается в направлении [100]. Его деформация создается краевыми дислокациями, параллельными [001]

искользящими по плоскостям (110) и (11 0) . Если плотность этих дис-

локаций равна ρ, величина вектора Бюргерса каждой b и их средняя скорость v, определите скорость возрастания деформации растяжения кристалла (равную (1/l) (dl/dt), где l – длина кристалла в направлении растяжения) [16].

19.Имеются две бесконечно длинные ортогональные винтовые дислокации с векторами Бюргерса b1 и b2. Рассчитайте величину силы,

скоторой вторая дислокация действует на первую [16].

20.Если концентрация вакансий в алюминии при его температуре плавления составляет 9,4·10–4 и если после закалки алюминия от температуры плавления вакансии конденсируются в диски на плотноупакованных плоскостях и образуют петли Франка, определите плотность создающихся дислокаций при радиусе петель: а) 50 Å и б) 500 Å [16].

223

21.Один из способов описания взаимной ориентации сдвойникованной области и матрицы в двойниках (1-го рода) заключается в определении угла поворота решетки сдвойникованного индивида вокруг оси, лежащей в плоскости двойникования K1 перпендикулярно направлению сдвига η1. Определите величину угла поворота в случае двойника: а) ГЦК, б) ОЦК и г) ГПУ-материалов [16].

22.Двойник в ОЦК-металле имеет следующие элементы двойни-

кования: K1 = (112), η1 = (1 1 1) [16].

а) Определите индексы Миллера плоскостей, в которые преобразуются под действием двойникового сдвига следующие кристаллогра-

фические плоскости: (001), (010), (100).

б) Выведите тензор преобразования индексов плоскостей и определите плоскость, в которую переходить плоскость (101).

23.Показать, что критерий Шмида соответствует критерию Треска.

24.Показать, что первый инвариант линейной комбинации

∑ai Mi равен 0.

25.Записать тензор пластической деформации при деформировании кристалла сдвигом краевых дислокаций по СС [110] (1 11) .

26.Определить величину сдвига двойника γtw ГЦК-, ОЦК- и ГПУметаллов.

27.Используя соотношение (3.12), записать в общем виде неупругую составляющую тензора деформации скорости, связанную с двойникованием.

28.Используя разложение (3.19), полярное разложение (3.20), малость упругих деформаций, показать, что тензор спина решетки при квазистатическом нагружении определяется согласно соотношению (3.22).

29.Показать, что если кристалл идеально ориентирован для сдвига по одной системе скольжения, то поворот решетки согласно модели Тейлора (3.18) отсутствует, несмотря на формоизменение зерна.

30.Показать, что с точки зрения линейного программирования модели Тейлора и Бишопа–Хилла двойственны.

31.Из опыта решения задач МСС (и МДТТ, в частности) представляется обоснованным переход от трехмерных задач к двумерным для качественного анализа поведения исследуемых систем [1]). Конечно, в природе не существует двумерных или плоских кристаллов. Однако подобный кристалл является удобным модельным материалом для

224

анализа физических моделей пластичности поликристаллических материалов. Отдельные эффекты реальных кристаллов, по-видимому, описать двумерной моделью принципиально невозможно. Между тем закономерности пластического поведения двумерных кристаллов должны в определенной степени наблюдаться и у реальных кристаллов.

Определить рабочую плоскость для 2Д-моделирования ГЦКкристалла с учетом сдвигов по трем СС: линии краевых дислокаций из этих СС ГЦК-кристалла ортогональны плоскости моделирования, векторы Бюргерса и нормали к плоскостям скольжения лежат в плоскости моделирования.

32.Совпадает ли плоскость моделирования с плоскостью (111) наиплотнейшей упаковки ГЦК-кристалла?

33.Реализовать для плоского кристалла, соответствующего ГЦКкристаллу (в 2Д-модели имеются 3 системы скольжения, векторы Бюргерса и нормали лежат в плоскости моделирования), следующие физические модели:

а) Закса, б) Линя, в) Тейлора,

г) Бишопа–Хилла.

С использованием построенных моделей проанализировать различные процессы деформирования.

34.Определить рабочую плоскость для 2Д-моделирования ОЦКкристалла с учетом сдвигов по СС: линии краевых дислокаций из этих

ССГЦК-кристалла ортогональны рабочей плоскости, векторы Бюргерса и нормали к плоскостям скольжения лежат в плоскости моделирования. Определить число возможных направлений скольжения.

35.Реализовать для плоского кристалла, соответствующего ОЦКкристаллу (в 2Д-модели векторы Бюргерса и нормали лежат в плоскости моделирования), следующие физические модели:

а) Закса, б) Линя, в) Тейлора,

г) Бишопа–Хилла.

С использованием построенных моделей проанализировать различные процессы деформирования.

225

36. Реализовать модель Закса для ГЦК-поликристалла. Определить предел текучести при одноосном растяжении, если критическое напряжение сдвига для всех СС равняется τ 0 (для меди τ 0 = 15 МПа).

37. Реализовать модель Закса для ОЦК-поликристалла. Определить предел текучести при одноосном растяжении, если критическое напряжение сдвига для всех СС равняется τ 0.

38.Исследовать начальную поверхность текучести ГЦК-моно- кристалла, используя в качестве критерия начала пластического деформирования критерий Шмида: определить число ребер, вершин различного порядка (который определяется числом одновременно активных СС), интенсивность напряжений в вершинах высокого порядка. В частности, убедиться, что критерий Шмида не может одновременно выполняться ровно на пяти СС.

39.Аналогично упр. 38 выполнить соответствующие исследования начальной поверхности текучести ОЦК-монокристалла.

40.Исследовать начальную поверхность текучести ГЦК-моно- кристалла, используя в качестве критерия начала пластического деформирования критерий Шмида: определить при различных ориентировках монокристалла на скольких СС (и на каких) будет впервые выполнен критерий текучести при монотонном растяжении ГЦК-монокристалла от естественной конфигурации.

41.При одноосном растяжении ГЦК-монокристалла в случае специальной ориентировки – при нахождении оси растяжения в вершине стереографического треугольника [0 0 1] (при рассмотрении обращенного движения) – все СС равноправны, т.е. должны быть приняты активными и скорости сдвигов по ним должны совпадать. Убедиться, что

вэтом случае согласно исходной модели стесненного поворота Тейлора

в то время как при ограничении числа активных СС пятью (согласно моделям типа Тейлора–Бишопа–Хилла) спин решетки Ω различен в зависимости от выбора активных СС.

42.Реализовать для ГЦК(ОЦК, ГПУ)-кристалла вязкоупругую модификацию модели Линя, используя соотношение (6.1). Исследовать вопрос об эквивалентности вязкоупругой и жесткопластической моделей.

43.Реализовать для ОЦК(ГЦК, ГПУ)-кристалла вязкопластическую модификацию модели Линя, используя соотношение (6.2). Иссле-

226

довать вопрос об эквивалентности вязкопластической и жесткопластической моделей.

44.Реализовать для ГПУ(ГЦК, ОЦК)-кристалла упруговязкопластическую модификацию модели Линя, используя соотношение (7.82). Исследовать эффект «нырка» интенсивности напряжений.

45.Показать справедливость соотношений (7.22) и (7.23).

46.Проверить справедливость соотношения (7.26).

47.Показать, что π, определяемый соотношением (7.28), является тензором четвертого ранга.

48.Реализовать модель мезоуровня (8.30) неупругого деформирования ГЦК-, ОЦК-, ГПУ-кристаллита.

49.Реализовать двухуровневую модель неупругого деформирования ГЦК-, ОЦК-, ГПУ-поликристалла с учетом согласования ОС масштабных уровней.

227

13.Ильюшин А.А. Пластичность. Ч. 1: Упругопластические дефор-

мации. – М.: Логос, 2004. – 388 с.

14.Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 704 с.

15.Кайбышев О.А., Валиев Р.З. Границы зерен и свойства металлов. – М.: Металлургия, 1987. – 214 с.

16.Келли А., Гровс Г. Кристаллография и дефекты в кристаллах. –

М.: Мир, 1974. – 504 с.

17.Койтер В.Т. Моментные напряжения в теории упругости // Меха-

ника: сб. переводов. – 1965. – № 3 (91). – С. 89–112.

18.Кондратьев Н.С., Трусов П.В. О мере разориентации систем скольжения соседних кристаллитов в поликристаллическом агрегате // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2012. – № 2. – С. 112–127.

19.Кудрявцев И.П. Текстуры в металлах и сплавах. – М: Метал-

лургия, 1965. – 292 с.

20.Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Т. 1. – М.-Л.: Гостехтеоретиздат, 1951. – 476 с.

21.Линь Т.Г. Физическая теория пластичности // Проблемы теории пластичности. Сер. Новое в зарубежной механике. Вып. 7. – М.:

Мир, 1976. – С. 7–68.

22.Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Изв. РАН. МТТ. – 1999. – № 5. – С. 109–130.

23.Макаров П.В. Моделирование упругопластической деформации и разрушения неоднородных сред на мезоуровне // Физическая мезомеханика. – 2003. – Т. 6. – № 4. – С. 111–124.

24.Макаров П.В. Нагружаемый материал как нелинейная динамическая система. Проблемы моделирования // Физическая мезомеха-

ника. – 2005. – Т. 8. – № 6. – С. 39–56.

25.Механика сплошных сред в задачах. Т. 1: Теория и задачи / под ред. М.Э. Эглит. – М.: Московский лицей, 1996. – 396 с.

26.Миндлин Р.Д. Влияние моментных напряжений на концентрацию

напряжений // Механика: сб. переводов. – 1964. – № 4 (86). –

С. 115–128.

27.Миркин Л.И. Физические основы прочности и пластичности. –

М.: Изд-во Моск. ун-та, 1968. – 538 с.

28.Анализ пространственного распределения ориентировок элементов структуры поликристаллов, получаемого методами просвечивающей электронной микроскопии и обратно рассеянного пучка электронов в сканирующем электронном микроскопе / С.Ю. Миро-

229

нов, В.Н. Даниленко, М.М. Мышляев, А.В. Корнева // Физика твердого тела. – 2005. – Т. 47. – № 7. – С. 1217–1225.

29.Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. – М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978. – 352 с.

30.Орлов А.Н. Введение в теорию дефектов в кристаллах. – М.: Высшая школа, 1983. – 144 с.

31.Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. – М.:

Наука, 1986. – 232 с.

32.Полухин П.И., Горелик С.С., Воронцов В.К. Физические основы пластической деформации. – М.: Металлургия, 1982. – 584 с.

33.Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука; Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1988. – 712 с.

34.Рыбин В.В. Большие пластические деформации и разрушение металлов. – М.: Металлургия, 1986. – 224 с.

35.Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. – М.: Мир, 1975. – 592 с.

36.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Двумерная модель пластического деформирования монокристалла // Математические модели и методы механики сплошных сред: сб. науч. статей. – Владивосток: ИАПУ ДВО РАН. – 2007. – С. 259–269.

37.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С. Моделирование формирования текстуры в пластически деформируемом поликристалле // Упругость и неупругость: сб. науч. статей. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 2006. – С. 242–248.

38.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Конститутивные соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физическая мезомеханика. – 2009. –

Т. 12. – № 3. – С. 61–71.

39.Двухуровневая модель для описания эволюции структуры поликристаллических материалов при неупругом деформировании / П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, П.С. Волегов, А.И. Швейкин // Упругость и неупругость: материалы международ. симп. по пробл. механики деформируемых тел, посв. 100-летию со дня рожд.

А.А. Ильюшина. – М.: Изд-во МГУ, 2011. – С. 240–244.

40.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Ч. 1: Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред. – 2008. – Т. 1, № 3. – С. 15–24.

230