Физические теории пластичности

превращается в обычную дисклинацию, образующую новую границу разориентации (границу фрагмента). С этой границей вновь взаимодействуют решеточные дислокации, вновь образуются стыковые дисклинации и т.д. Таким образом, процесс фрагментации начинается с границ зерен и постепенно распространяется в глубь зерен».

Разумеется, детальное описание столь сложной физики процесса на настоящем этапе вряд ли возможно, так как требуется введение еще одного масштабного уровня, внутренних переменных на нем, эволюционных уравнений для внутренних переменных на основе анализа действующих механизмов. Как правило, в многоуровневых моделях в рамках принятого ограничения иерархии масштабных уровней повороты решетки описываются интегрально по зернам (по существу, при больших деформациях под зернами надо понимать «эффективные» зерна со средними по объему зерна характеристиками), однако предпринимается попытка более детального учета физики процесса. С этой целью поворот решетки (эволюция ортогонального тензора, связывающего КСК и ЛСК) представляется суммой двух составляющих: поворота решетки зерна в предположении его изолированности (далее этот поворот называется «материальным», который определяется ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию) и поворота только решетки зерна при сохранении конфигурации зерен в физическом пространстве («решеточной» поворот), движущая сила этого поворота – несовместность движения дислокаций в соседних зернах.

Модели ротации решетки

Наиболее популярными моделями поворота решетки являются модель стесненного поворота Тейлора, определяющая спин решетки как разность тензора вихря и антисимметричной части тензора пластических сдвигов, и модель, связывающая поворот решетки с материальным поворотом, определяемым ортогональным тензором, сопровождающим упругую деформацию.

Стесненный поворот по Тейлору

Согласно модели стесненного поворота Тейлора в современной интерпретации [178] градиент скорости перемещений на мезоуровне (уровне зерна) представляется в виде:

91

i=1

где ˆ – оператор Гамильтона, определенный в актуальной конфигурации, ω1 – антисимметричный тензор спина решетки зерна, остальные

величины определены выше. Соотношение (3.17) предполагает для связи моделей мезо- и макроуровней (вместо первоначально используемой самим Тейлором [164] гипотезы однородности деформаций (гипотезы Фойгта)) использование «расширенной» гипотезы Фойгта, устанавливающей однородность градиентов скоростей перемещений l = L . В силу того, что в рамках этой гипотезы материал полагается «стесненным» (деформации зерен ограничены соседями), модель Тейлора часто называют «полностью стесненной».

С учетом l = L из соотношения (3.17) тензор спина решетки зерна ω1 можно выразить следующим образом:

Отметим, что первоначально модель поворота решетки Тейлора была предложена для жесткопластической модели внутризеренного деформирования, поэтому анализ (3.18) логично провести для такой модели. Тогда при отсутствии скольжения дислокаций деформирование отсутствует, вращение решетки зерна согласно (3.18) описывается тензором вихря ω1 = w – зерно вращается как жесткое тело, что соот-

ветствует представлению движения согласно теореме Коши–Гельм- гольца [31].

Модель «материального» поворота

Другим популярным для описания поворотов решетки является следующий подход: для описания кинематики используется мультипликативное разложение Ли градиента места, поворот решетки связывается с материальным поворотом, который определяется ортогональным тен-

зором re , сопровождающим упругую деформацию.

92

Отметим, что при использовании данной модели, как и при использовании модели стесненного поворота Тейлора, принимается «расширенная» гипотеза Фойгта, предполагающая однородность градиентов деформации f = F (градиентов скоростей перемещений l = L ).

Градиент деформации F (транспонированный градиент места), линейно связывающий материальные отрезки dR в отсчетной К0 и dr в текущей Kt конфигурациях ( dr = F dR ) представляется мультипликативным разложением упругой и пластической составляющих градиента деформации [31]:

где R, r, r× – радиус-векторы частицы в отсчетной K0, актуальной Kt и промежуточной (разгруженной) Kx конфигурациях (последняя получается из текущей разгрузкой до достижения нулевых напряжений), × – оператор Гамильтона, определенный в Kx; аналогичные соотношения справедливы на мезоуровне.

Материальный поворот связывают с ортогональным тензором re , сопровождающим упругую деформацию (называемым также тензором ротации). Пластическая составляющая градиента деформации определяется соотношением:

i=1

0 0

где векторы bi , ni – единичные векторы в направлении вектора Бюргер-

са (направления сдвига) и нормали для системы скольжения, определенные в отсчетной конфигурации.

Таким образом, в результате воздействия (деформирования) произвольное зерно с некоторой ориентацией испытывает пластические сдвиги (без изменения ориентации решетки), упругие искажения и по-

93

вороты; с последними связывается квазитвердое движение (конечные повороты как жесткого целого [31]), которое, в свою очередь, в рамках рассматриваемой модели и описывает поворот решетки зерна.

Сравнение моделей ротации решетки

Для сравнения (с математической точки зрения) вышеприведенных моделей поворота решетки необходимо для модели «материального» поворота определить спин решетки ω2 .

Используя разложение (3.19), полярное разложение (3.20), малость упругих деформаций, можно показать, что тензор спина решетки ω2 при

квазистатическом нагружении определяется согласно [57]:

решетки есть ω1 = w − w p , получаем связь спинов решетки для моделей:

Таким образом, при квазистатическом деформировании рассмотренные модели поворотов решетки в силу малости упругих деформаций B : σ будут давать незначительно отличающиеся результаты.

Существующие в настоящее время ФТП можно разделить на три широких класса: жесткопластические модели, упругопластические модели и (упруго) вязкопластические модели [45–48]. Ниже остановимся на каждом из этих классов отдельно.

94

ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 3

1.Выведите уравнение Орована.

2.Перечислите кристаллографические системы, по которым осуществляется движение краевых дислокаций в ГЦК- и ОЦК-кристаллах.

3.По каким системам реализуются сдвиг и двойникование в ГПУкристаллах?

4.Что называется неконсервативным движением дислокаций, и за счет каких механизмов оно реализуется?

5.Приведите соотношение для тензора деформации скорости при произвольном движении краевых и винтовых дислокаций, проверьте его выполнение для скольжения и переползания одиночных дислокаций.

6.Приведите кинематические соотношения, определяющие деформирование при двойниковании.

7.Дайте определения статистически накопленных и геометрически необходимых дислокаций. Каковы физические механизмы их формирования? С помощью каких моделей они вводятся в описание неупругого деформирования?

8.Опишите физические причины возникновения поворотов кристаллической решетки?

9.Опишите модель поворота Тейлора.

10.Приведите соотношения для описания «материального поворота», сопоставьте их с уравнениям модели поворота Тейлора.

95

попавших на введенное сечение, зная ориентацию КСК относительно ЛСК, вначале определяется фактор Шмида

для каждой из СС данного зерна (для рассматриваемого случая одноосного нагружения

m((nk)) = e1e1 : b((kn))n((kn)) , ( ∑ )), (k )

где п – номер зерна, после чего устанавливается его максимальное значение. Далее для каждого п-го зерна напряжение σ11( n ) определяется как

σ11( n) = τc / max m((nk)) . k

Рис. 4.1. Схема к модели Закса

Обозначив через S(n) площадь поперечного сечения n-го зерна, пересекаемого введенным сечением, а через S – площадь поперечного сечения образца в целом, предел текучести при одноосном нагружении определяется тогда соотношением:

N

∑σ11(n) S(n)

Расчеты по модели Закса дают значение макроскопического напряжения текучести σs , равное 2,2τ c. Хотя полученный результат суще-

97

ственно (примерно на 30 %) отличается от экспериментально определенного предела текучести, его все же следует признать удовлетворительным для своего времени.

К основным недостаткам модели Закса относятся невыполнение условий равновесия и совместности деформаций соседних зерен, неучет упругих деформаций; указанные недостатки отмечаются во многих работах (например, [119], где приведен и краткий обзор ранних работ по физическим теориям пластичности). Модель Закса может быть использована для определения предела текучести при одноосном нагружении, для построения кривой σ –ε требуются дополнительные предположения.

4.2. МОДЕЛЬ ТЕЙЛОРА

Вероятно, первой достаточно реалистичной попыткой установления связи σ –ε при одноосном нагружении поликристалла на основе соотношений для монокристалла можно признать модель Тейлора [164]. При её построении Тейлором использованы следующие гипотезы:

1.Поликристалл представляет собой агрегат из большого числа хаотично ориентированных (по равномерному закону) зерен.

2.Поведение каждого из зерен описывается жесткопластической моделью; деформации зерен осуществляются только кристаллографическим сдвигом по известным для данного материала кристаллографическим системам скольжения (СС).

3.Упрочнение одинаково во всех системах скольжения и определяется свойствами монокристалла.

4.Границы зерен имеют нулевую толщину, не осуществляют вклада в механизмы неупругого деформирования.

5.Деформации (или деформации скорости) полагаются однородными в пределах макроскопического представительного объема (гипо-

теза Фойгта), т.е. ε ≡ ε p(n) = <ε p> = ε (или d ≡ dp(n) = <dp> = Dp = D), n –

номер кристаллита (зерна). Кроме того, поскольку деформации осуществляются сдвигом, в этом случае отсутствует изменение объема, т.е.

εp (n) = ep(n) = <ep> (или d´p(n) = dp(n), d´– девиатор тензора d).

Вкристаллах с ГЦК- и ОЦК-решеткой число СС существенно превышает число независимых компонент девиатора деформаций (см. п. 3.1), что обусловливает неоднозначность определения сдвигов по СС по заданному девиатору деформаций. Указанное обстоятельство является одной из существенных трудностей построения физических теорий пластичности.

98

Для ее преодоления Тейлором был предложен эвристический принцип, суть которого состоит в следующем. Полагается, что любая деформация (или приращение деформации) осуществляется сдвигом не более чем по пяти независимым CC, определенным из условия минимальности суммарного сдвига. Представляющий, по существу, гипотезу данный принцип минимума сдвига основывался на наблюдениях за поведением одиночных кристаллов.

Обозначим через dγ((kn)) приращение сдвига в n-м зерне по k-й CC (соответствующая скорость сдвига обозначается как γ((kn)) ). Тогда принцип минимума сдвига математически записывается в виде

k =1

при этом в силу принятой гипотезы Фойгта должно выполняться ограничение

k =1

где d´ = D´ – предписанный (заданный в каждый момент деформирования) девиатор деформации скорости; здесь в обозначении ориентационного тензора появился индекс п, относящийся к номеру зерна; в дальнейшем он будет сохраняться только в случае, если из контекста не ясно, что ориентационный тензор относится к системам скольжения определенного зерна. Заметим, что в случае отказа от предположения об изотропном упрочнении в каждом из зерен принцип минимума сдвига трансформируется в принцип минимума мощности, согласно которому действительные скорости сдвига доставляют минимум мощности (по сравнению с кинематически возможными скоростями сдвигов):

k =1

Более подробно принцип минимума мощности рассмотрен ниже. Как отмечено выше, критические напряжения сдвига в исходной модели Тейлора приняты одинаковыми во всех системах данного зерна и обозначаются как τ(cn) . Тогда элементарная работа dA(п), произведен-

ная в п-м зерне объемом V(п), определяется соотношением:

99

k =1

где Кn – число активных систем скольжения в данном п-м зерне в рассматриваемый момент нагружения.

Элементарная работа dA, производимая на сдвигах по активным CC в агрегате из N монокристаллов, определяется следующим соотношением:

Заметим, что в правой части (4.5) суммирование по числу активных CC осуществляется от 1 до Kn, т.е. в различных зернах это число может быть различным (1≤ Kn ≤ 5).

В модели Тейлора полагается, что вся подводимая к образцу механическая энергия расходуется на совершение пластической деформации. В случае одноосного нагружения (при действии напряжения Σ 11) элементарная работа внешних сил в предположении одноосного макроскопического напряженно-деформированного состояния определяется как

Σ11dε11 (∑ V(n) ) ≡ Σ11dε11p (∑ V(n) ) .

Тогда, приравнивая работу внешних напряжений и работу внутренних сдвиговых напряжений, получаем:

Предполагая, что все зерна имеют одинаковый объем, окончательно получаем:

Последнее соотношение позволяет построить кривую одноосного нагружения поликристалла с использованием модели монокристалла. Процедура пошагового построения кривой состоит в следующем:

– Пусть кривая построена для определенной предшествующей (макро) деформации ε 11, т.е. известны напряжения Σ11 во все предшествующие момен-

100