Планирование эксперимента и измерение физических величин

УДК 519.24.001.5: 62-50 К14

Рецензенты:

д-р техн. наук, проф. А.Г. Щербинин (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

канд. техн. наук, доцент А.П. Леонов (Томский политехнический университет)

Казаков, А.В.

К14 Планирование эксперимента и измерение физических величин : учеб. пособие / А.В. Казаков. – Пермь: Изд-во Перм. нац. иссслед. политехн. ун-та, 2014. – 89 с.

ISBN 978-5-398-01191-3

Приведены основные термины и понятия теории планирования эксперимента, рассмотрены вопросы кодирования факторов измерений, обработки физических величин, представления результатов в виде полиноминальных моделей, предложены основные типы применяемых для исследования планов.

Для магистров высших учебных заведений специальности 140400 по курсу «Методы обработки экспериментальных данных и планирование эксперимента», научных и инженерных работников, аспирантов, специалистов в области энергетики и электротехники.

УДК 519.24.001.5: 62-50

4

ВВЕДЕНИЕ

На сегодняшний день большинство технологических или иных производственных процессов требуют существенных материальных и временных вложений для их осуществления, поэтому стадия налаживания и отработки рациональных режимов весьма ресурсоемка. Для организации экспериментального опробования необходимого режима целесообразно проводить изыскательные работы по вполне определенному сценарию, не тратя дополнительных средств. Такой подход возможен только с применением специальных методов и приемов планирования экспериментов, а также при использовании развитого математического и статистического аппарата, который позволяет моделировать поведение реального процесса или объекта и интерполировать его реакции для условий, отличных от экспериментальных. Применение математического моделирования в целом дает некоторую погрешность в результатах по сравнению с реальным объектом, однако в большинстве случаев точность результата, получаемого по такой модели, оказывается вполне достаточной. Более того, специальные способы и приемы обработки экспериментальных данных позволяют максимально сократить эту погрешность и получать количественную оценку точности.

Таким образом, весь процесс получения и обработки информации можно условно разделить на две части. Первая часть является доопытной и заключается в выборе стратегии экспериментирования, т.е. показывает, сколько опытов необходимо провести для корректного построения той или иной математической модели, а также определяет условия проведения этих опытов. Здесь существенная доля успеха зависит от априорной информации об объекте изучения, которую обычно получают либо путем изучения предшествующего опыта других экспериментов, либо из теоретических представлений о физике происходящих явлений. Если явление новое и неизученное, то свою роль может сыграть даже интуиция экспериментатора.

5

Несмотря на то, что на первом этапе эксперименты пока не проводятся, но благодаря применению известных и заранее проанализированных схем уже имеются необходимые соотношения и формулы для анализа и обработки данных, получаемых в ходе проведения опытов, что весьма упрощает весь экспериментальный процесс.

Вторая часть процесса имеет прикладную направленность. Она призвана помогать экспериментатору во время проведения опытов, а также по время первичной обработки и систематизации получаемых данных. Это, во-первых, помогает сразу отсеивать явно ошибочные результаты измерения, которые не вписываются в рамки выбранной математической модели, и, вовторых, представлять «сырые» результаты в более удобном для дальнейшей обработки виде.

В соответствии с этой концепцией и излагается материал данного учебного пособия.

Несмотря на то, что существуют многочисленные программные пакеты статистического и регрессионного анализа, требующие от пользователя только введения исходных данных, проведение комплексного исследования невозможно без знания теоретических основ и понимания концептуальных приемов, применяемых в ходе таких исследований. Поэтому даже в случае применения специализированных программ нельзя обойтись без, казалось бы, бесполезного сегодня знания статистических критериев и параметров нормального распределения.

6

Глава 1. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

1.1. Основные понятия и определения

Эксперимент – это некая совокупность операций, совершаемых над объектом исследования (ОИ) для получения информации

о некоторых его свойствах. Активным называется эксперимент,

вкотором исследователь по своему усмотрению может изменять условия его проведения. В случае если исследователь не может самостоятельно изменять условия его проведения, а только регистрирует их, эксперимент называется пассивным.

Обработка информации, полученной в ходе эксперимента, имеет целью формирование математической модели изучаемого объекта, явления или процесса. Эту модель можно применять как при анализе процессов, так и при проектировании объектов. Получить хорошо аппроксимирующую математическую модель можно в том случае, если целенаправленно применять активный эксперимент. Задача, обработки полученной в ходе эксперимента информации – оптимизация, т.е. определение такой комбинации влияющих независимых величин, при которой заранее выбранный показатель оптимальности примет максимальное (или минимальное) значение.

Опыт – это составная часть эксперимента.

План эксперимента – это совокупность данных, которые задают число, условия и порядок проведения всех необходимых опытов.

Планирование эксперимента – это процедура составления плана эксперимента, который максимально подходит заданным требованиям; это некая совокупность действий, которая направлена на формирование стратегии экспериментирования (начиная с момента получения доопытной информации об ОИ, заканчивая построением работоспособной математической модели или определением оптимальных условий); это целенаправленное управление ходом эксперимента, которое реализуется в условиях недостаточного знания механизма изучаемого процесса.

7

Во время измерений, дальнейшей обработки данных, а также представления результатов в виде обобщенной математической модели неизбежно появляются погрешности, а часть информации, присутствующей в исходных данных, теряется. Целенаправленное использование методов планирования эксперимента дает возможность рассчитать эту погрешность, а также судить об адекватности математической модели. В случае когда полученная точность недостаточна, планирование эксперимента позволяет ее модернизировать и провести серию дополнительных опытов без потери информации об уже проведенных опытах с минимальными затратами времени и труда.

Целью планирования эксперимента является определение такой совокупности правил и условий выполнения опытов, которая позволяет получить достоверную и надежную информацию об ОИ с минимальными трудозатратами, а также выразить эту информацию в удобной и компактной форме с количественной оценкой точности.

Предположим, что исследуемое свойство (Y) ОИ зависит от нескольких (n) независимых переменных (Х1, Х2, … Хn). Требуется определить характер зависимости Y = F(Х1, Х2, … Хn), о которой имеются только общие представления. Величина Y в теории планирования эксперимента называется «отклик», а функциональная зависимость вида Y = F(Х1,Х2, … Хn) – «функция отклика».

Отклик должен быть определен количественно. Тем не менее часто встречаются качественные признаки Y. В таком случае следует применить ранговый подход, примером которого может служить оценка на экзамене, когда числом оценивается сложный комплекс сведений о знаниях студента.

Независимые друг от друга переменные Х1, Х2, … Хn принято называть факторами. Они также должны иметь количественную оценку. В случае применения качественных факторов необходимо присвоить каждому их уровню какое-либо число. В качестве факторов необходимо выбирать лишь независимые переменные, т.е. те, при изменении которых не будут затронуты

8

остальные факторы. Факторы должны быть однозначными. Для того чтобы построить эффективную математическую модель, желательно провести предварительный анализ значимости факторов (их степени влияния на функцию отклика), их ранжирование и исключение малозначащих факторов.

Совокупность диапазонов изменения факторов определяет область определения отклика Y. Если сопоставить каждому фактору координатную ось, то получится пространство, называемое факторным. При n = 2 область определения Y выглядит как прямоугольник, при n = 3 – куб, при n > 3 – гиперкуб.

В процессе определения диапазонов изменения факторов необходимо принимать во внимание их взаимную совместимость, контролируя возможную реализуемость в указанных диапазонах любых возможных сочетаний факторов. Для каждого фактора определяют граничные значения

Xi min ≤ Xi ≤ Xi max , i = 1...n.

Математическую модель функции отклика можно получить, применив регрессионный анализ в виде, например, уравнения регрессии

Y = F ( X1, X2 ,...Xn ; B1, B2 ,...Bm ) + e ,

где В1, … Вm – коэффициенты уравнения регрессии; е – погрешность.

Основные методы планирования могут быть применены на разных этапах исследования:

•планирование отсеивающего эксперимента – предназначено для выделения из всей совокупности факторов группы существенных, которые подлежат дальнейшему детальному изучению;

•планирование эксперимента для дисперсионного анализа – разработкапланов дляобъектовскачественнымифакторами;

•планирование регрессионного эксперимента – дает возможность получать регрессионные модели (в полиномиальном виде и др.);

9

•планирование экстремального эксперимента – экспериментальная оптимизация объекта исследования;

•планирование при изучении динамических процессов ит.д. Одним из инициаторов применения методов планирования

эксперимента является Рональд А. Фишер, другой известный автор первых научных работ – Френк Йетс. Далее основные идеи планирования эксперимента встречались в трудах Дж. Бокса, Дж. Кифера. В нашей странеизвестны Г.К. Круг, Е.В. Маркови др.

В настоящее время методы планирования эксперимента заложены в специализированных программных пакетах, например

StatGrapfics, Statistica, SPSS, SYSTAT и др.

1.2. Возможные способы представления результатов экспериментов

Во время разработки стратегии экспериментирования требуется ответить на следующие 4 вопроса:

1.Какие именно сочетания факторов (Хi) и сколько таких сочетаний (n) необходимо использовать для определения функции отклика?

2.Как определить коэффициенты уравнения регрессии В0,

В1, … Bm?

3.Как оценить точность представления функции отклика?

4.Как использовать полученное представление для поиска оптимальных значений отклика Y?

Поверхностью отклика называется геометрическое пред-

ставление функции отклика в факторном пространстве Х1, Х2, …

Хn (рис. 1.1).

В случае когда изучается влияние только одного фактора Х1

на Y, задача построения функции отклика является относительно простой. Зафиксировав фактор на нескольких уровнях, проведя опыты, имеем необходимые значения Y и график распределения

Y = F(X) (рис. 1.2).

По внешнему виду графика подбирается математическое выражение функции отклика. Если нет уверенности в достаточ-

10