Планирование эксперимента и измерение физических величин

•достроить план ПФЭ 2n до плана более высокого порядка (чаще всего второго) и сформировать полный квадратичный полином (с квадратами факторов);

•преобразовать метрику матричного пространства, перейти, иными словами, к новым факторам, которые будут функционально связаны с прежними, но при этом не будут порождать нелинейность.

1.11. Планы второго порядка

Такие планы позволят формализовать функцию отклика в виде полного квадратичного полинома, который будет содержать большее количество членов, нежели неполный квадратичный полином, полученный для планов первого порядка. Следовательно, такие планы будут требовать большего числа производимых опытов. Полный квадратичный полином для n = 2 будет содержать 6 членов:

Y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b12 x1x2 + b11x12 + b22 x22 ,

для n = 3 – 11 членов:

Y= b0 + b1x1 + b2 x2 + b3 x3 + b12 x1x2 + b13 x1x3 + b23 x2 x3 +

+b123 x1x2 x3 + b11x12 + b22 x22 + b33 x32 .

Из математики известно, что для построения квадратичной зависимости необходимо фиксировать каждый фактор минимум на трех уровнях.

Область планирования для планов второго порядка может принимать следующие виды:

1) Естественная область планирования включает в себя область планирования планов первого порядка и дополнительные точки (так называемые композиционные планы). Такие точки могут выходить за пределы области плана первого порядка – единичного гиперкуба. В таком случае опыты для этих точек реализуются при фиксировании факторов за пределами их уровней варьирования. Это необходимо принимать во внимание при нахождении области совместимости факторов.

41

2) Область планирования может не выходить за пределы единичного гиперкуба, то есть для всех точек плана будет вы-

полняться условие вида xiU ≤ 1 .

3) Область планирования может не выходить за пределы единичного гипершара, тогда для точек плана будет справедли-

во соотношение x12 + x22 + ... + xn2 ≤ 1.

Для второго и третьего случая применяют специальные методы выполнения приведенных соотношений в плане. При необходимости план с одной областью планирования можно преобразовать в план с другой областью планирования.

Если ранее был сформирован план ПФЭ, но точность его функции отклика оказалась недостаточной, его можно модернизировать и достроить до плана второго порядка (композиционный план), сформировав новую функцию отклика в виде полного квадратичного полинома без утери информации о предыдущих опытах.

1.12. Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка

Ортогональным называется такой план, для которого матрица планирования Х сформирована таким образом, чтобы матрица С = ХtХ являлась диагональной. Тот же подход применяется и при формировании планов второго порядка. План будет называться центральным, если все его точки расположены симметрично относительно центра плана. Таким образом, ОЦКП – это центральный симметричный ортогональный композиционныйплан.

ОЦКП состоит из следующих частей: ядро – в виде плана ПФЭ с N0 = 2n точками плана, центральная точка плана n0 (одна

для ОЦКП) (xi = 0, i = 1, 2, 3,...n) и по две «звездные» точки для каждого из факторов:

xi = ±α, xj = 0, i = 1,…n, j = 1,…n, i ≠ j.

здесь α – плечо «звездных» точек.

42

Для соблюдения свойства ортогональности нужно, чтобы выполнялось соотношение

N

xiU xjU = 0. U =1

Так как x0U = 1, для столбцов j = 1, 2,….m + 1 должно выполняться условие

N

xjU = 0. U =1

Это условие указывает на то, чтобы сумма элементов для любого столбца (кроме j = 0), в том числе и для столбцов, соответствующих квадратам факторов, была равна нулю. Такое возможно только в том случае, если члены столбцов, соответствующих квадратам факторов, будут пересчитаны, иначе неотрицательная сумма квадратов факторов не может быть равна нулю.

Пересчет элементов для этих столбцов осуществляется в виде

x 'iU = xiU2 − a ,

где а – величина, которая зависит от числа факторов.

Сумма элементов столбца, соответствующего квадратам факторов,

Откуда

N

x2jU

a = U =1 . N

В общем случае ортогональный центрально-композиционный план для трех (n) факторов будетиметь следующий вид:

44

В общем случае для ОЦКП каждый фактор фиксируется на пяти уровнях (–α, –1, 0, 1, + α).

Для определения неизвестных «а» и «α» необходимо сформулировать и решить систему из двух уравнений. Одно из этих уравнений относительно «а» было записано раннее. Другое уравнение может быть получено из условия ортогональности для столбцов x'4 и x'5:

N

x '4U x '5U = N0 (1− a)2 − 4a (α2 − a) + a2 (2n − 4) + n0a2 = 0.

U =1

После некоторых преобразований с учетом того, что N = N0 + + 2n + n0 – общее числоопытов вплане, получаем соотношение

N0 − 2 N0 + 2α2 a + a2 = 0.

N N

Соотношение для а при j = 1, 2 или 3 может быть записано (см. ОЦКП при п = 3) как

После подстановки его в последнее уравнение имеем

NN0 − 2a2 + a2 = 0,

откуда константа преобразования

46

По результатам опытов плана формируется полином следующего вида:

Коэффициенты полинома b0, b1, b2, b3, b12, b13, b0, b23, b123, b4, b5, b6 могут быть определены по формуле

где b'0 = b0 − b4 a − b5 a − b6 a.

Значения параметров ОЦКП при числе факторов n:

При n = 2 план ОЦКП совпадает с планом ПФЭ 23. Звездные точки ОЦКП будут лежать на границах варьирования факторов. Если точки плана ПФЭ 2n всегда расположены на окружности (поверхности шара, гипершара), то точки плана ОЦКП не лежат на какой-либо одной окружности (поверхности шара, гипершара). План ОЦКП не является насыщенным. Так, например, для n = 3 полином будет иметь одиннадцать членов со своими коэффициентами, но для их определения необходимо провести пятнадцать опытов.

48

1.13. Пример плана ОЦКП для n = 2

Параметры плана N0 = 4, N = 9, α = 1, а = 2/3, 1 – а = 1/3,

–а = –2/3, α2 – a = –2/3.

Воспользуемся рассмотренным ранее планом ПФЭ 22 с добавленными опытами 5–9:

49

(Ранее для плана ПФЭ 22 был сформирован полином вида

Y '' = 5 + 0,5x2 + 1,5x1x2 ).

Определенные по полиному значения Y' приведены в соответствующем столбце плана. Там же указаны величины |Y'–Y|, демонстрирующие достаточно высокую точность аппроксимации полинома. Так, для центральной точки плана, в отличие от случая применения плана ПФЭ 22, расхождений нет.

1.14. Рототабельные планы

Рототабельными называют такие планы, точки которых расположены на окружностях (сферах, гиперсферах). Для этих планов первого порядка точки расположены на одной окружности (сфере, гиперсфере) с радиусом R.

n

xiV2 = const = R,

i=1

где V = 1,… N – номер точки плана, i = 1,… n – номер фактора. В этом случае точность определения функции отклика для любого направления в факторном пространстве (для всех точек

плана) одинакова.

Рототабельный план может быть симметричным, если его точки расположены симметрично относительно друг друга. Рас-

50