Планирование эксперимента и измерение физических величин

В [1] без вывода для РОЦКП рекомендуется принимать

1.16. Пример РОЦКП для n = 2

Параметры плана:

α = 2 = 1,414 , n0 = 8, N0 = 22 = 4, N = 22 + 2·2 + 8 = 16,

Опыты в центральных точках не нужно проводить восемь раз (точки 9–16). Достаточно выполнить данный опыт однократно и продублировать результат необходимое число раз. Количество строк уменьшать нельзя, поскольку это нарушит свойство ортогональности плана и коэффициенты полинома будут рассчитаны неверно.

Коэффициенты квадратичного полинома вычисляются так же, как и ранее.

Воспользуемся рассмотренным ранее планом ПФЭ 22 с дополнительными опытами 5–16:

54

55

Полином имеет вид

Y 'РОЦКП = b0 + b1x1 + b2 x2 + b12 x1x2 + b11 (x12 − a) +

+ b22 (x22 − a) = 3,125 + 0 x1 + 0,6035x2 + +1,5x1x2 + 1,875(x12 − 0,5) + 0,375(x22 − 0,5) =

= 2 + 0 x1 + 0,6035x2 + 1,5x1x2 + 1,875x12 + 0,375x22 .

Вычисленные значения функции отклика и абсолютные расхождения с опытными данными приведены в двух последних столбцах плана.

Ранее при рассмотрении ОЦКП был получен схожий полином вида

Y 'ОЦКП = 2 + 0 x1 + 0,67x2 + 1,5x1x2 + 3x12 + 0 x22 .

Для n = 2 количество членов квадратичного полинома равно шести. В ОЦКП и РОЦКП нужно проводить девять отличающихся опытов для пяти уровней варьирования факторов. Значит, ОЦКП и РОЦКП – ненасыщенные планы. Данное число опытных точек можно использовать, например, для построения полиномов третьей степени.

1.17.Планы второго порядка

сединичной областью планирования

Поскольку ОЦКП и РОЦКП – композиционные планы, для естественной области планирования «звездные» точки вполне могут не вписываться в границы единичного гиперкуба или гипершара. Для умещения всех точек плана в рамки факторного пространства, ограниченного поверхностью единичного гипершара, требуется пересчитать значения факторов, домножив их на некоторый коэффициент

C = 1n .

56

Например, для n = 2, CРОЦКП = CОЦКП = 12 = 0,707.

Значения факторов для ОЦКП и РОЦКП при переходе от естественной области планирования к единичному гипершару, при n = 2, сведены в таблицу (табл. 1.1).

Встречаются и рототабельные планы, точки которых находятся в вершинах иных, кроме квадрата (куба, суперкуба), правильных многогранников, которые вписаны в область единичного круга (шара, гипершара). Для рототабельного плана на основе правильного N0-угольника существует N0 различных точек на окружности с радиусом R1 = 1, и n0 совпадающих точек в центре плана с радиусом R2 = 0. Для n = 2 план должен содержать не менее шести различных точек для квадратичного полинома с шестью членами. Для планов на основе правильного пятиугольника (шестиугольника или семиугольника) требуется 6 (7 или 8) различных точек, меньше чем для ОЦКП

57

и РОЦКП, которые содержат по 9 отличающихся точек. При правильном выборе вида многоугольника возможно сформировать насыщенный рототабельный план второго порядка. Значения факторов в точках плана будут зависеть от типа многоугольника.

1.18. Рототабельный план на основе правильного многоугольника при n = 2

Для всех планов такого вида (см. с. 59) константа для пересчета элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов,

Величина соотношения NN0 вычисляется исходя из требо-

вания ортогональности столбцов x'4 и x'5:

N

x '4U x '5U = 0.

U =1

После простых преобразований предыдущее выражение может быть сведено к

0,125N0 − 0,25 NN02 = 0,

т.е. соотношение определяется как

NN0 = 12

и, следовательно, N0 = n0 = 0,5N.

58