Планирование эксперимента и измерение физических величин

Таблица 2 . 1

Доверительные интервалы

Эту величину также можно определить по приближенному выражению

α≈ 1− exp − 2ε2 .

π

Правило «трех стандартов». В табл. 2.1. показано, что ре-

зультат измерения с вероятностью около 68 % попадет в интервал (x − σ;x + σ) , т.е. каждоетретье измерение выходит за пределы

указанного интервала. Вне интервала (x − 2σ;x + 2σ) оказывается 5 % результатов, а вне интервала (x − 3σ;x + 3σ) – только одно из трех сотен измерений. Значит, интервал (x − 3σ;x + 3σ) является практически достоверным, так как

почти все отдельные результаты многократных измерений случайной величины попадаютименно внего.

В процессе обработки результатов эксперимента зачастую применяется «правило 3σ», по-другому называемое правилом «трех стандартов», базирующееся на таком свойстве нормального распределения. На основании сделанного ранее анализа возможно определить промах в результате отдельного измерения и, следовательно, отбросить его, если его значение отличается от измеренного среднего значения случайной величины более чем на 3σ.

Вместе с тем имеет смысл более тщательно повторить измерения. Вполне вероятно, что данный результат не будет являться промахом, а обусловлен нестандартным поведением

71

изучаемого явления, не предусмотренным выбранной математической моделью, т.е. дело в проявлении нового качественного состояния (например, линии резонансного поглощения в спектре).

Коэффициент Стьюдента. В процессе измерений постоянной величины возникают случайные погрешности, проявляющиеся в виде отклонения результатов измерения. При увеличении числа отдельных измерений n практически исчезает зависимость оценки значения величины σ от n, т.е. нивелируется неточность оценки погрешности для отдельного измерения. С увеличением

количества измерений n также выравнивается оценка x . По-

этому должна уменьшаться погрешность итогового результата многократного измерения, в качестве которого принимается

среднее значение x .

Зависимость среднего квадратичного отклонения σ отдельного измерения со средним квадратичным отклонением σx

окончательного результата (погрешности определения среднего значения) определяется следующим соотношением:

Данное выражение показывает, что при увеличении количества измерений уменьшается погрешность окончательного результата. Однако подобный метод содержит некоторую

сложность. Например, для повышения точности измерения x

в 10 раз необходимо увеличить количество измерений в 100 раз. Также необходимо иметь в виду, что в итоговую погрешность свой вклад вносит в том числе и приборная (систематическая) погрешность, и в какой-то момент увеличение количества измерений станет малоэффективным.

72

с отдельным измерением для оценки погрешности окончательного результата многократного измерения примем величину x, задающую симметричный интервал значений в диапазоне от – x до + x (такой интервал называется доверительным интервалом).

Доверительной вероятностью α будет называться вероят-

ность нахождения значения измеряемой величины в данном интервале:

α = P(x − εσ ≤ x ≤ x + εσ) .

Ранее для него были определены доверительные вероятности для доверительных интервалов, размеры которых были выражены в долях от среднего квадратичного отклонения:

ε = σ x .

табл

Если применить понятие доверительного интервала к отдельному измерению, то под σтабл подразумевается среднее квадратичное отклонение σ результата данного отдельного измерения. Если же применить доверительный интервал к многократному измерению, то под σтабл подразумевается среднее квадратичное отклоне-

ние окончательного результата x для многократного измерения, т.е. σ х . Случайную погрешность окончательного результата можно определить следующимобразом:

( x)случ = ε σn = ε σx ,

где ε выбирается из таблицы для заданного значения доверительной вероятности.

73

Во время обработки результатов лабораторных работ можно использовать доверительную вероятность α = 0,68, следователь-

но, не нужно ее приводить в записи x ± x . Экспериментальное значение σ x оценивают на основе ко-

нечного числа результатов отдельных уровень измерений, количество которых, как правило, не превышает десятка. Из-за этого точность оценивания σ x оказывается невелика. Данное обстоя-

тельство добавляет неопределенности в окончательный результат для многократного измерения. Для ее учета необходимо расширение диапазона доверительного интервала, определенного ранее для точно известной величины σ x . При этом чем меньше число

отдельных измерений, тем шире должен быть доверительный интервал. Поэтому для ( x)случ нужно воспользоваться другим вы-

ражением:

( x)случ = t (α, n) σx ,

где t(α,n) – коэффициенты, которые определяются полным количеством измерений n и заданным значением доверительной вероятности α. Величины t(α,n) называются коэффициентами Стьюдента. Они уже заранее определены в статистике для различных значений α и n.

В табл. 2.2 требуемое значение коэффициента находится на пересечении строки с количеством отдельных измерений n и столбца с выбранным значением доверительной вероятности α. Из таблицы видно, что по мере увеличения числа измерений коэффициенты становятся схожи с примененными ранее величинами ε для идентичного значения доверительной вероятности α. Это следствие перехода от оценок параметров нормального распределения к их точному заданию, что возможно только при достаточно большом количестве проведенных измерений.

74

Коэффициенты Стьюдента t(α,n) для доверительной вероятности α (n – количество измерений) представлены в табл. 2.2.

2.5.Суммарная погрешность измерений

Вслучае применения в эксперименте различных измерительных приборов и инструментов наряду со случайной необходимо

учитывать и приборную (систематическую) погрешность.

В техническом паспорте на прибор обычно указывается предел допустимой погрешности θ, который показывает максимально возможную погрешность для нормированных условий эксплуатации. Если бы приборная погрешность носила характер нормального распределения, то распределение определялось бы средним квадратичным отклонением σприб = θ/3.

В случае измерительных стрелочных приборов принято указывать их класс точности, выражаемый числом, например, 0,05 или 4,0. Оно показывает максимально возможную погрешность данного прибора, выраженную в процентах от предельного зна-

75

чения величины для рабочего диапазона. Например, предназначенный для измерения напряжения 0–30 В вольтметр, имеющий при этом класс точности 1,0, гарантирует погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не более 0,3 В. Тогда среднее квадратичное отклонение σприб будет равно 0,1 В.

Действительная погрешность любого прибора будет существенным образом зависеть от условий окружающей среды, в которой он эксплуатируется. Так, погрешность электроизмерительных приборов существенно зависит от окружающей температуры и может при этом отличаться от заявленной в паспорте, которая определена обычно для температуры 20оС. Погрешность также может возникнуть из-за электромагнитного излучения другого прибора, вибраций установки и т.д. Во время планирования эксперимента может возникнуть необходимость учитывать все эти факторы с целью повышения точности измерений.

Как правило, цена наименьшего деления шкалы для стрелочного прибора связана с его погрешностью. В случае когда класс точности измерительного прибора неизвестен, в качестве его погрешности σприб можно принимать половину цены наименьшего деления. При этом во время считывания показаний со шкалы нет необходимости в определении долей деления, поскольку точность измерения от этого не повысится.

Пределы допустимой погрешности для цифрового измерительного прибора определяют исходя из его паспортных данных, в которых обычно содержится формула для подсчета погрешности именно этого прибора. Если паспорт отсутствует, в качестве оценки погрешности σприб можно принять единицу наименьшего разряда цифрового индикатора прибора.

Таким образом, окончательный результат многократного измерения будет содержать в себе оба вида погрешностей: случайную и приборную (систематическую). Поскольку случайная погрешность уменьшается с увеличением числа измерений,

логично провести такое число измерений, чтобы

( x)случ << θ ,

76

т.е. чтобы случайной по сравнению с приборной погрешностью возможно было пренебречь. На практике обычно достаточно, чтобы случайная погрешность была в два-три раза меньше систематической. Необходимо провести несколько измерений для того, чтобы убедиться в малости случайной погрешности.

В случае когда случайная и приборная погрешности сопоставимы, суммарная погрешность определится как корень из суммы их квадратов:

x = ( xслуч )2 + (σприб )2 .

Так как случайная погрешность обычно оценена с доверительной вероятностью 0,68, а θ – оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение задает доверительный интервал с той же вероятностью не менее 0,68.

Во время проведения однократного измерения в качестве оценки погрешности результата может служить x = θ/3, которая учтет только предельно возможную погрешность прибора.

2.6. Погрешности косвенных измерений

Предположим, что изучаемую величину s получают в результате прямых измерений других независимых друг от друга физических величин, например x, y, z, с которыми она связана заранее определенным функциональным соотношением

s = f (x, y, z) .

Дополнительно известны финальные результаты прямых измерений этих же величин x ± x , y ± y , z ± z . При

этом подразумевается, что величины x, y, z являются случайными и к ним применим нормальный закон распределения.

Среднее значение данной величины определяется как

s = f (x,y,z) ,

а погрешность ее измерения как

77

s = ( fx ')2 x2 + ( fy ')2 y2 + ( fz ')2 z2 ,

где fx', fy', fz' – частные производные в точке (x,y,z) .

В процессе непосредственных расчетов в приведенную ранее формулу нужно подставлять погрешности x, y, z, рассчитанные для одного и того же значения доверительной вероятности.

Полученная погрешность косвенного измерения s будет соот-

ветствовать тому же значению доверительной вероятности. Ранее рекомендовалось применять значениевероятностиα = 0,68.

Сравнив значения fx' x, fy' y, fz' z, можно определить «критический» фактор, при измерении которого возникает наибольшая погрешность в составе s. Так, например, если величина fx' x превышает остальные в 2–3 раза, их вкладом в s допустимо пренебрегать. С целью увеличения точности измерения величины s необходимо повышать точность измерения этого «критического» фактора.

В табл. 2.3 приведены формулы для определения погрешностей наиболее распространенных зависимостей.

Примечание. Здесь приняты следующие обозначения: – для абсолютной погрешности; δ – для относительной погрешности; A, B, C, α, β, γ – константы; x, y, z, φ – результаты прямых измерений; s – результат косвенного измерения.

78

Одна из типичных ошибок планирования эксперимента – косвенное измерение величины s посредством вычисления разности измеряемых напрямую величин A и B, когда их абсолютные значения существенно превосходят величину s (например, определение толщины стенки трубы через измерение ее внешнего и внутреннего радиусов). В этом случае погрешность s будет того же порядка или может даже превосходить значение искомой величины s. Аналогично деление друг на друга больших величин или степень с маленьким основанием и большим показателем. В таких случаях необходимо искать иные методы и пути измерений.

2.7. Учет погрешности в записи окончательного результата измерения

После всех процедур обработки данных многократного прямого измерения при заданной доверительной вероятности исследователь имеет два числа: среднее значение измеренной величины и его погрешность (или полуширина доверительного интервала). Оба этих числа представляют собой финальный результат многократного измерения. Их необходимо записать со-

вместно в стандартной форме:

x = x ± x .

Такой вид записи содержит только достоверные, т.е. надежно измеренные, значения этих чисел.

В процессе обработки экспериментальных данных часто необходимо выполнять процедуру округления дробного числа.

Алгоритм выполнения процедуры округления:

1. Провести предварительную запись окончательного результата измерения в виде x = x ± x . Если необходимо – вы-

нести за общую скобку одинаковые порядки среднего и погрешности в виде множителя 10k, где k – целое число. Остающиеся в скобках числа следует переписать в десятичном виде, устранив оставшиеся порядковые множители.

79

2.Округлить погрешность до одной значащей (ненулевой) цифры слева от запятой, если эта цифра больше 2, или до двух первых цифр в ином случае. Во время округления применяют следующее правило: если следующая за оставляемой цифра меньше 5,

еепопросту отбрасывают, если больше – оставляемую цифру увеличивают на единицу. В случае когда отбрасываемая цифра равна 5, наименьшая ошибка получается при округлении по правилу Гаусса до ближайшего четного числа. Например, 5,5 округляют до 6,

вто времякак 6,5 тожеокругляют до 6.

3.Округлить среднее значение: справа от запятой оставляют те разряды, которые имеются в погрешности после процедуры ее округления.

В итоге производят запись x = x ± x с учетом всех

проведенных округлений, общий порядок и единицу измерения физической величины приводят за скобками. Получена стандартная форма записи.

2.8. Линеаризация данных

Те физические величины, которые определяются результатами эксперимента, являются переменными и параметрами для некоторых функциональных зависимостей. После того как зависимость определена в ходе эксперимента, ее необходимо сопоставить с теорией. Это позволяет не только численно определить, т.е. измерить значения тех физических величин, которые невозможно измерить иным способом, но и сделать выводы о степени адекватности выбранной модели эксперименту.

Наиболее простая в плане проверки линейная зависимость вида

y = ax + b ,

где x, y – измеряемые величины; a, b – параметры зависимости. Иногда, если зависимость носит нелинейный характер, ее можно привести к линейной (табл. 2.4).

80