Планирование эксперимента и измерение физических величин

Если в диапазоне изменения каждого фактора взять хотя бы по пять точек:

то для выполнения опытов для всех возможных сочетаний факторов (их три), нужно провести 53 = 125 опытов и построить по 52 = 25 кривых для каждой из двух функций отклика. В случае дублирования опытов (для снижения погрешности) их количество пропорционально возрастет, поэтому когда факторов более двух, использование такихрезультатов практическиневозможно.

1.3. Функция отклика в виде степенного ряда, кодирование факторов

Как правило, аналитическое выражение функции отклика не известно заранее. В этом случае необходимо рассматривать не саму функцию, а ее разложение, например, в виде степенного ряда (полинома):

Y= В0 + B1Х1 + … + BnХn + В12Х1Х2 + … Вnn–1ХnХn-1 +

+В11Х12 + … + ВnnXn2 +… .

Функцию можно разложить в степенной ряд, если она является гладкой и непрерывной. При построении таких рядов зачастую ограничиваются числом его членов, аппроксимируя функцию отклика полиномом конечной степени.

Исходные факторы могут измеряться в различных единицах (А, В, Ом, кг) и существенно отличаться друг от друга количественно. Поэтому в планировании эксперимента принято применять кодированиефакторов.

Кодирование факторов – это выбор такого нового масштаба факторов (рис. 1.5), чтобы минимальное значение кодированного фактора было равно «–1», а максимальное значение «+1». Также необходимо перенести начало координат в точку с координатами Х1ср, Х2ср, … Хnср.

13

Y= b0 + b1х1 + b2х2 +…+ bnхn + b12х1х2 +…+ bnn–1хn–1хn +

+b11х12+ …+ bnnхn2 + … .

При этом следует понимать, что Bi ≠ bi , однако

Y= F(X1,… Xi,… Xn) = f(x1,… xi,…, хn).

Вполиноме в кодированных факторах их степень влияния на функцию отклика однозначно определяется абсолютной ве-

личиной коэффициента bi. Для полинома в именованных факторах абсолютная величина коэффициента Вi ни о чем не говорит.

Полином в кодированных факторах можно записать более компактно:

Для расчета общего количества членов степенного ряда число двойных сочетаний, тройных сочетаний, i-х сочетаний

(Cni ) для n > i можно найти по следующей формуле:

Так, в случае набора четырех различных чисел (n = 4) – 4, 3, 2, 1 количество тройных сочетаний, получаемых по формуле

равно 123, 124, 134, 234.

Если принять, что существует некий фактор х0, всегда равный «+1», то

n

b0 + b1x1 + b2 x2 + ... + bn xn = b0 x0 + b1x1 + ... + bn xn = bi xi .

i=0

15

Если все двойные, тройные и т.д. сочетания факторов, а также квадраты факторов и все соответствующие коэффициенты переобозначить через хi и bi, для i = n + 1, … m, то степенной ряд можно записать в виде суммы:

m

Y= bi xi .

i=0

Здесь m + 1 общее число членов данного степенного ряда. В случае линейного полинома с учетом всех вероятных со-

четаний факторов справедливо

m +1 = 1+ Cn1 + ... + Cni + ... + Cnn .

Полный квадратичный полином выглядит так:

5

Y = b0 + b1x1 + b2 x2 + b12 x1x2 + b11x12 + b22 x22 = bi xi , i=0

где х0 = 1; х3 = х1х2; х4 = х12; х5 = х22; b3 = b12; b4 = b11; b5 = b22.

1.4. Матричное представление при обработке результатов эксперимента

При записи результатов нескольких N опытов в виде матриц

m

для полиномиального представления результатов YU = bi xiU

где X – матрица сочетаний факторов, которая в общем виде выглядит как

16

Матрица сочетаний факторов состоит из N строк и m + 1 столбца.

Индекс 0,1, … i, … m указывает на номер члена в уравнении; 1, … U, … N … – номера опытов.

Принимая во внимание, что элементы x0U = 1, U = 1, ... N , матрицу Х можно переписать в виде

Домножим обе части уравнения (*) на одну и ту же матрицу Xt – транспонированную матрицу Х:

Xt X B = Xt Y.

Транспонированная матрица – это матрица, у которой столбцы и строки поменялись местами по отношениюк исходной:

17

m + 1строка, N столбцов.

C = Xt X – матрица, полученная в результате перемноже-

ния транспонированной матрицы на исходную. Она получается квадратной и содержит m +1 строку и m + 1 столбец.

C B = Xt Y.

Для выражения в общем виде матрицы-столбца коэффициентов В необходимо домножить обе части последнего матричного уравнения на матрицу С–1 – матрицу, обратную матрице С:

C−1 C B = C−1 Xt Y.

Обратная матрица строится таким образом, чтобы при умножении ее на исходную матрицу получалась единичная матрица – Е, у которой на главной диагонали расположены 1, а вне нее – 0.

Окончательно в общем виде матрица-столбец коэффициентов полинома выглядит следующим образом:

B = C−1 Xt Y.

18

Рассмотрим в качестве простого примера полином в виде

YU = b0 x0 + b1xU ; x0 = 1; U = 1,…N,

формируемый по результатам N опытов.

19

Решив систему относительно коэффициентовb0 иb1, получим

Данный результат полностью совпадает с соотношениями для такого же полинома при использовании метода наименьших квадрантов с численным показателем минимальности суммы

20