Планирование эксперимента и измерение физических величин

Возможны рототабельные планы с обоими ненулевыми радиусами. Для них число точек на каждой поверхности связано с соотношением радиусов.

Пример такого плана при n = 2, N0 = 8, n0 = 6, R2/R1 = 0,25 представлена на рис. 1.17.

Таблица 1 . 2 Параметры рототабельного плана

Количество точек окружностей рототабельного плана и отношение их радиусов представлено в виде таблицы (табл. 1.2)

62

В экспериментах встречаются физические величины следующих основных типов.

Случайная величина. Природа ее возникновения определяется случайными процессами, из-за чего невозможно заранее предсказать результат отдельного измерения. Однако, проведя большое количество измерений случайной величины, можно определить некоторые статистические закономерности. Их определение, изучение и учет являются неотъемлемой частью любого эксперимента. В качестве примера случайной величины можно рассматривать, например, отклонение значения амплитуды сетевого напряжения от номинальной величины, скорость молекулы газа в заданный момент времени, время распада ядра радиоактивного атома и т.п.

Постоянная величина. К величинам такого типа можно отнести некоторые физические постоянные, такие как скорость света в вакууме, заряд электрона, постоянная Стефана-Больцмана и т.д. Постоянными величинами также допустимо считать некоторые характеристики конкретного объекта, находящегося при определенных неизменных условиях. Такой тип величин присутствует в экспериментах, скажем, по определению длины образца, его массы, электропроводности и т.п. Однако повторные измерения постоянной величины могут дать различные результаты. Это происходит из-за того, что измерения сопровождаются неконтролируемыми, а значит, неучтенными, многочисленными воздействиями окружающей среды, в том числе и не поддающихся контролю процессов в исследуемых объектах и применяемых измерительных приборах. Поэтому постоянная величина может проявлять себя как случайная, а результаты ее измерений показывают случайную природу воздействий и отвечают некоторым статистическим закономерностям. По этой причине при анализе результатов измерения постояннойвеличины следуетприменять специальные методы.

Изменяющаяся (переменная) величина. Физическая вели-

чина такого типа изменяется с течением времени по определенному закону под действием процессов, происходящих в самом исследуемом объекте. В качестве примера можно привести зату-

64

хание амплитуды колебаний свободного маятника, скорость сложной химической реакции и т.п. Проводя измерения в различные моменты времени, фиксируют величину в новых отличающихся условиях. Совокупность результатов отдельных измерений можно рассматривать как результаты принципиально неповторимых измерений, так как время нельзя вернуть, а измерение в целом не может быть рассмотрено в качестве многократного.

Можно выделить и так называемую нестабильную величину, которая изменяется с течением времени, без каких бы то ни было статистических закономерностей. Особенностью такой величины является отсутствие у экспериментатора какой-либо информации о ее зависимости от времени. Измерения физических величин такого рода дают совокупность данных, не несущих каких-либо полезных сведений. Однако нестабильная величина может быть переведена в разряд изменяющихся величин, если в ходе эксперимента или теоретически будет установлена некая закономерность в зависимости ее от времени.

2.2. Типы погрешностей измерений

Погрешностью называют количественную оценку неоднозначности результата измерения. Она определяется на основе всей информации, накопленной при подготовке и выполнении измерений. Ее обрабатывают для определения окончательного результата измерения и его погрешности. Готовый результат нельзя расценивать в качестве «истинного значения» измеряемой физической величины, так как это невозможно из-за присутствия погрешности.

Погрешность можно выразить в единицах измеряемой величины x, в этом случае она обозначается x и называется абсолютной погрешностью. Вместе с тем абсолютная погрешность реально не отражает качество измерений: так, абсолютная погрешность в 10 мм в процессе определения размеров здания говорит о высоком качестве измерения, такая же погрешность совершенно неприемлемаприизмерении диаметрапровода иликабеля.

65

Возможным критерием качества измерения будет отношение абсолютной погрешности к окончательному результату измерения:

δx = xx .

Такое отношение безразмерно. Величину δx принято называть

относительной погрешностью, при этом его и используют как в абсолютном, так и в процентном выражении. Высокоточному измерению соответствуетмалая относительная погрешность.

Основные типы погрешностей:

Промахи или грубые погрешности – могут возникать из-за неисправности измерительных приборов или грубых ошибок в эксперименте, сделанных по невнимательности экспериментатора. Промахов следует избегать, однако, если они были совершены, результаты таких измерений следует отбрасывать и по возможности заново повторить забракованный опыт.

Приборная, или инструментальная погрешность – система-

тическая погрешность, присутствующая в результатах измерений, выполненных при помощи любого измерительного прибора. Величина данного вида погрешности обычно неизвестна и не может быть учтена. Для ее оценки необходимо сравнить показания используемого в эксперименте прибора с показаниями более точного прибора. Зачастую результаты таких сравнений указывают в паспорте измерительного прибора, однако, как правило, там фигурирует максимально допустимая погрешность для данного типа приборов.

Модельная погрешность. Модель закладывается в основу любого экспериментального исследования, связанного с измерениями. Она представляет собой упрощенное физическое представление исследуемого процесса или объекта, которое позволяет сформулировать его математическое описание, то есть набор неких функциональных соотношений, включающих в себя физические величины. Ошибочно спроектированная модель с неучтенными важными процессами или факторами, которые могут суще-

66

ственно влиять на результат измерений, также способна приводить к отклонениям. Следовательно, измеряемые величины, которые определяются по полученным из модели соотношениям, будут содержать погрешности, носящие название модельных погрешностей. В качестве примера модельной погрешности может быть приведена погрешность взвешивания на рычажных весах. По закону Архимеда вес тела и гирь уменьшается из-за действия вытесняющей силы воздуха. Так, вес 1 м3 воздуха равен приблизительно 10 Н. Для определения массы взвешиваемого тела необходимо ввести поправки на потерю веса гирями и самим телом. Однако, как и при любых измерениях, здесь необходим разумный подход. Так, при работе с грубыми техническими весами бессмысленно вводить поправку на Архимедову силу, так как она окажется существенно меньше погрешностей, вносимых в результат измерения гирями и самими весами.

Случайные погрешности проявляют при повторных измерениях случайную природу. Они появляются в силу целого ряда причин, суммарное влияние которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть и определить заранее. В качестве примера таких величин можно назвать незначительные колебания температуры различных деталей и узлов установки, скачки напряжения, вибрации, турбулентные движения воздуха, трение в механизмах, ошибки считывания показаний приборов и т.п. Единственно возможный способ объективного учета погрешностей такого вида заключается в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в ходе многократных измерений. Определенные статистические оценки вносят в окончательный результат измерения. Одной из грубейших ошибок, которые допускают школьники и студенты, является нахождение погрешности измерения как

x = xэксп − xтабл ,

где xэксп – полученное в процессе эксперимента среднее значение величины; xтабл – значение, взятое из справочника или рассчитанное исходя из теоретических представлений. Целью экс-

67

перимента является именно проверка существующих теорий и уточнение табличных значений.

С другой стороны, при выполнении учебных лабораторных работ полезно сравнить полученные результаты со справочными табличными величинами и, в случае значительного их расхождения, проанализировать, какие экспериментальные факторы и модельные погрешности могли привести к этому.

2.3. Случайные величины и их характеристики

Дальнейшее изложение посвящено изучению случайных погрешностей. Такие погрешности можно описать математически, что позволит оценить качество измерений.

Значение случайной величины x полностью определяется плотностью вероятности ρ(x) (распределением вероятности, распределением величины x).

Среднее значение x измеряемой величины x показывает

центр распределения, относительно которого располагаются результаты отдельных измерений:

x= 1 n xi .

n i=1

Дисперсию вводят в виде среднего значения квадрата отклонения результатов отдельных измерений от среднего значения случайной величины:

Коэффициент n – 1 возникает из-за отличия среднего значения x от предельного (получаемого при n→∞). Эта поправка позволяет получить несмещенную оценку для дисперсии.

Среднее квадратичное отклонение, также называемое

стандартным, вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

68

Данная величина показывает отклонение результатов отдельных измерений относительно среднего значения, которое получается после обработки всех результатов серии многократных измерений. При этом стоит понимать, что точные значения

σ и x являются предельными величинами, потому что имеют

место лишь в том случае, если общее количество измерений относительно велико, в идеале при n → ∞. Для конечного числа измерений n логичнее использовать термин экспериментальная оценка, который корректно применим и к среднему значению, и к дисперсии.

2.4. Нормальное распределение и его свойства

Нормальное распределение. В процессе обработки данных измерений, как правило, подразумевается нормальный закон распределения величин случайной погрешности измерений. Такой характер распределения имеет место в случае, когда суммарная погрешность складывается из неучтенных совместных воздействий множества факторов, каждый из которых вносит свой малый вклад в совокупную погрешность. При этом абсолютно не важно, какому закону распределения подчиняется каждый из отдельных вкладов.

Нормальное распределение случайной величины x обладает следующими свойствами:

1)x (−∞;+∞);

2)плотность вероятности ρ(x) – непрерывная функция;

3)центр распределения случайной величины является одновременно и центром симметрии;

4)малые отклонения реализуются с большей вероятностью, то есть встречаются чаще больших.

69

Нормальное распределение подчиняется выражению, называемому формулой Гаусса:

где σ2 и x – дисперсия и среднее значение распределения.

Вероятность того, что результат отдельного измерения находится в интервале [x1; x2], определяется как

x2

P(x1 ≤ x ≤ x2 ) = ρ ( x)dx .

x1

В скобках после P указано то событие, вероятность которого определяется. При расширении границ диапазона интегрирования до бесконечности

+∞

ρ ( x)dx = 1,

−∞

т.е. нахождение результата измерения в промежутке x (−∞;+∞) будет достоверным событием.

Пусть x – произвольное отклонение от средней величины x . Введем ε, равное отношению полуширины интервала x к среднему квадратичному отклонению σ:

ε = σx .

Далее определяется вероятность α:

α = P(x − εσ ≤ x ≤ x + εσ) .

представлены в табл. 2.1.

70