Прочность и устойчивость статически неопределимых рам учебно-методи

УДК 624.04 Б79

Рецензенты:

канд. техн. наук, профессор Б.С. Юшков (Пермский национальный исследовательский политехнический университет);

д-р техн. наук, профессор Р.Е. Гейзен (Научно-исследовательская лаборатория транспортных сооружений и мостов «НИЛ Трансмост», г. Пермь)

Большакова, Н.И.

Б79 Прочность и устойчивость статически неопределимых рам : учеб.-метод. пособие / Н.И. Большакова. – Пермь : Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 86 с.

ISBN 978-5-398-01061-9

Представлены основы теории и практические приемы расчета статически неопределимых плоских рам на прочность и устойчивость. Рассмотрено применение к указанным расчетам как метода сил, так и метода перемещений. На примерах подробно разбираются пошаговые алгоритмы расчета плоских статически неопределимых рам на прочность и устойчивость.

Предназначено для студентов вузов всех форм обучения, изучающих курс строительной механики, а также инженернотехнических работников, занимающихся вопросами прочности и устойчивости сооружений.

УДК 624.04

2

3

ВВЕДЕНИЕ

Прочностные расчеты являются неотъемлемой частью процесса проектирования любых инженерных сооружений. Многие элементы строительных конструкций, в частности автодорожных и железнодорожных мостов, при расчете на прочность могут быть представлены расчетной схемой плоской рамы или объединением плоских рам. Отсюда следует важность владения приемами расчета плоских рам. Заметим также, что знание инженерных методов расчета таких распространенных элементов конструкций, как рама, позволяет оценить достоверность результатов расчета сложных инженерных конструкций на основе программных пакетов, базирующихся на методе конечных элементов.

В пособии приведены основные понятия и необходимые формулы расчета плоских рам методом сил. Даны примеры расчета типичных статически неопределимых рам при силовом нагружении, температурном воздействии и осадке опор. При этом рассматривается как неподвижная, так и подвижная нагрузка.

Даны основные сведения из теории и методы построения линий влияния в статически неопределимых рамах методом перемещений. Приведен пример построения линий влияния в типичной статически неопределимой раме. Рассмотрено также применение метода перемещений к расчету статически неопределимых рам на неподвижную нагрузку.

Известно, что соблюдение условий прочности и малость перемещений по сравнению с допускаемыми нормами еще не гарантирует способности стержневых конструкций выполнять предназначенные им функции. Наряду с анализом прочности и жесткости необходим анализ устойчивости конструкций.

Приведены основные понятия из теории расчета статически неопределимых плоских рам на устойчивость. Рассмотрены примеры расчета рам на устойчивость методом перемещений. При этом кратко излагаются итерационные методы решения нелинейных уравнений.

4

1.РАСЧЕТ ПЛОСКИХ РАМ МЕТОДОМ СИЛ

1.1.Общий алгоритм расчета статически неопределимых систем методом сил

Определение степени статической неопределимости.

В методе сил в качестве неизвестных принимаются усилия. Ими могут быть реакции в опорных стержнях, опорные моменты в жестких закреплениях, изгибающие моменты, поперечные и продольные силы в сечениях стержней. Количество основных неизвестных, равное числу лишних связей, равно степени статической неопределимости n.

Определим степень статической неопределимости n для геометрически неизменяемых плоских систем:

1. Для рамы с жесткими узлами

n =3S −3K =3(S − K),

где S – число стержней рамы;

K – число узлов (не включать опорные узлы).

2. Общий случай плоской системы. Пусть система отличается от рамы с жесткими узлами наличием шарнирных узлов и отсутствием линейных связей. В этом случае на нее можно наложить связи, превратив ее в раму с жесткими узлами, и степень статической неопределимости определить по формуле

n =3(S −K ) −Cнал,

где Cнал – число наложенных связей.

При подсчете числа наложенных связей необходимо учитывать, что сложный шарнир эквивалентен (S – 1) простому шарниру (S – число стержней пересекаемых шарниром).

Выбор основной системы. Основная система получается из заданной путем исключения количества связей, равного степени статической неопределимости. При выборе основной сис-

5

темы могут отбрасываться опорные стержни, устраняться жесткие закрепления, включаться шарниры, разрезаться стержни. При этом основная система должна быть геометрически неизменяемой и статически определимой.

Воздействие отброшенных связей на основную систему определяется соответствующими реакциями xi. На рис. 1.1, а представлены статически неопределимая система и возможные основные системы, на рис. 1.1, б показана неправильная основная система, мгновенно изменяемая.

Рис. 1.1

Выбранная основная система загружается заданной нагрузкой и реакциями устраняемых связей. Такая система называется эквивалентной. Взамен отброшенных опорных стержней прикладывается реакция-сила, взамен устраненных опорных жестких закреплений – опорный момент и опорные реакции, в месте включения шарниров – изгибающий момент, а в месте разреза – изгибающий момент, поперечная и продольная силы

(см. рис. 1.1).

После выбора основной системы составляются канонические уравнения метода сил:

6

ной к системе нагрузки F.

Произвольное i-e уравнение канонической системы означает, что перемещение по направлению i-й отброшенной связи равно нулю.

Построение грузовой и единичных эпюр. Грузовая и еди-

ничные эпюры строятся по известной методике. Для контроля строится так называемая суммарная эпюра M∑ , представляю-

щая собой сумму от всех единичных неизвестных. Эту эпюру желательно строить независимо и далее произвести контроль:

Вычисление единичных и грузовых коэффициентов. Ко-

эффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений метода сил являются перемещениями в направлении устраненных связей и вычисляются, как и другие перемещения, с помощью интегралов Мора:

где Mk , Qk , Nk – усилия в сечении стержня системы от заданной нагрузки;

Mi , Qi , Ni – усилия в том же сечении от единичной нагрузки;

7

Проверкой вычисления грузовых коэффициентов служит равенство

∑∆iF – сумма свободных членов системы (1.1).

Решение системы канонических уравнений. Проверить решение системы канонических уравнений, подставив в систему найденные значения лишних неизвестных.

Построение эпюры изгибающих моментов. Для построе-

ния эпюр изгибающих моментов воспользоваться формулой

M = M F + M1x1 + M2 x2 +…

Деформационная проверка. Если в формуле Мора (1.3) удер-

жана только эпюра моментов, то для контроля имеем

где Mi – любая единичная эпюра;

n – число неизвестных.

Построение эпюр поперечных и продольных усилий. Оп-

ределение опорных реакций. После построения эпюры изгибающих моментов M и деформационной проверки строятся эпюры Q и N и определяются опорные реакции. Далее проверя-

9

ется равновесие всей системы в целом (т.е. при действии заданной нагрузки и реакции опор):

∑X = 0; ∑Y = 0; ∑M A = 0.

1.2.Расчет статически неопределимых рам на неподвижную нагрузку

1.Для рамы, показанной на рис. 1.3, а, определим степень статической неопределимости. Система с наложенными связями показана на рис. 1.3, б, число наложенных связей Cнал = 3.

n= 3(5 −3) −3 = 3.

2.Выберем основную систему. Включим в средний верхний узел шарнир и отбросим на левой опоре горизонтальный стержень.

Неизвестные x1 и x2 являются изгибающими моментами в сечении, где включен шарнир, а x3 – реактивная сила опорного стержня. Основная система (рис. 1.4) геометрически неизменяе-

10