Прочность и устойчивость статически неопределимых рам учебно-методи

Рис. 2.14

Аналогично определим коэффициенты второго канонического уравнения, для чего из рамы вырежем узел 2 и рассмотрим условие его равновесия (рис. 2.15).

Рис. 2.15

Из рис. 2.15 следует:

r21 = r12 = 0,625EJ;

Коэффициенты третьего уравнения, представляющие реакции во введенном стержне (третьей связи) от единичных перемещений Z1, Z2 , Z3 , найдем из суммы проекций на горизон-

51

тальную ось всех сил, действующих на основную систему (см. рис. 2.13). Или рассечем стойки и рассмотрим равновесие ригеля (рис. 2.16). При этом под условием равновесия будем понимать равенство нулю проекций всех сил, действующих на выделенную часть рамы, на горизонталь.

Рис. 2.16

Из рис. 2.13 или рис. 2.16 найдем:

По теореме о взаимности реакций r31 = r13, r32 = r23. Единичные реакции можно также определить по формулам

rik = ∫ MEJi Mk ,

где Mi и Mk – эпюры от единичных перемещений, построенные в основной системе метода перемещений.

52

Проверку найденных коэффициентов проводим способом перемножения эпюр. Для этого суммарную единичную эпюру MΣΣ (см. рис. 2.13) перемножим саму на себя:

=1,333EJ +1,333EJ +3,750EJ +2, 402EJ +1, 463EJ =10, 281EJ.

При этом должно выполняться равенство ∑rrk = rΣΣ. Сумма всех коэффициентов при неизвестных

∑rik = r11 +r22 +r33 +2 (r12 +r13 +r23 ) =10, 281EJ.

Равенство соблюдается.

5. Решим систему канонических уравнений, подставим найденные значения коэффициентов в систему (2.4):

Решив (2.5), получим уравнения основных неизвестных,

6. Определим свободные члены riF канонических уравнений

(2.5) как функции от абсциссы положения вертикального груза на ригелях рамы в разных пролетах.

При положении груза в пределах первого пролета (рис. 2.17, а) реакция r1F определяется по формуле (см. табл. 2.1)

r1F = l21 u (1−u2 ); r2F = 0; r3F = 0.

При положении груза во втором пролете (рис. 2.17, б) согласно табл. 2.1

Величины riF , вычисленные для некоторых значений и,

приведены в табл. 2.2. В этой же таблице даны значения ординат линий влияния основных неизвестных Z1, Z2 и Z3.

54

а

б

в

Рис. 2.17

55

Линии влияния Z1, Z2 и Z3 показаны на рис. 2.18. Они представляют собой кубическую параболу от независимого переменного и.

Рис. 2.18

Полученное очертание линий влияния Zi подтверждается и кинематическим способом. Так, например, очертание линии влияния Z1 совпадает с линией прогибов δF1 ригеля от поворотов на угол Z1 = 1.

7.Линии влияния изгибающих моментов и поперечных сил

всечении k рамы получаются по формулам:

л.в. Мk = л.в. Мk0 + Mk1 (л.в. Z1 ) + Mk 2 (л.в. Z2 ) + Mk 3 (л.в. Z3 );

57

Qk0 = RA −F = −RB = −u2 (1+2v) = −u2 (3 −2u).

а б

Рис. 2.19

При приложении груза справа от сечения k (рис. 2.19, б), т.е. при u >0, 4, будем иметь

Mk0 = RA 0, 4l −M A = v2 (1+2u)0, 4l2 −l2uv2 = =l2 (0,4 −u +0,8u2 −0, 2u3 );

58

Qk0 = RA = v2 (1+u) = (1−2u)2 (1+2u) =1−3u2 +2u3.

Подсчитанные по этим формулам значения ординат линий влияния Mk0 и Qk0 приведены в табл. 2.2 и показаны на рис. 2.20. Единичные значения Mk1 и Qk1 взяты из рис. 2.13:

Mk1 =0,5EJ; Mk 2 = −0,125EJ; Mk 3 = 0; Qk1 =Qk 2 = −0,293EJ; Qk 3 =0.

Вычисленные по формулам (2.6) значения ординат линий влияния изгибающих моментов и поперечных сил сведены в табл. 2.2 и показаны на рис. 2.20.

Рис. 2.20

59

В рассмотренном примере были построены линии влияния неизвестных и внутренних усилий для рамы, у которой жесткость ригеля значительно превышает жесткость стоек. Исследуем альтернативную ситуацию: жесткости стоек рамы значительно превышают жесткости ригелей. На рис. 2.21 показана рама, у которой жесткость стоек в два раза больше жесткостей ригелей. Коэффициенты rij канонических уравнений метода перемещений согласно рис. 2.21:

Система канонических уравнений метода перемещений примет вид

60