Прочность и устойчивость статически неопределимых рам учебно-методи
..pdf
2) жесткие защемления по обоим концам:
v2 EJ |
= |
4π2 EJ |
, |
|
l2 |
l2 |
|||
|
|
откуда
v = 2π = 6, 28.
Условия закрепления правой стойки: 1) консоль:
v=1,57;
2)одна жесткая, другая шарнирная опора:
v2 2EJ |
= |
2π2 |
EJ |
, |
|
l2 |
l2 |
||||
|
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
v = π |
2 = 4,44. |
|
|||
Учитывая возможность поворота жесткого узла из-за упругости ригеля, а также линейные смещения узлов, зададимся параметром, который ближе к своему нижнему пределу. Восполь-
зуемся методом секущих (см. приложение). |
|
||
Зададимся |
v0 =3. По табл. |
3.2 находим: |
ϕ2 (3) = 0,656; |
ϕ4 (3) = 0,8393; |
η1(2) = −0,6372; |
η2 (2) =0,0893. |
Подставляем |
эти значения в уравнение устойчивости:
f (v0 ) = 0,0825 0,0893 −0,1405 0,6372 +0,656(0,0367 0,0893 −
−0,0625 0,6372) −0,0278 (0,8393)2 = −0,1257.
Примем:
v1 = 2; ϕ2 (2) =0,859; ϕ4 (2) = 0,9313; η1(1,334) =0, 2813; η2 (2) =0,598.
f(v0 ) = 0,0825 0,598 +0,1405 0,2813 +
+0,859(0,0367 0,598 +0,0625 0,2813) −
81
−0,0278 (0,9313)2 = 0,0987.
По итерационной формуле
v |
= v |
− |
f |
(v1 )(v1 −0) |
= 2 |
− |
0,0987(2 −3) |
= |
|
|
(v1 ) − f (v0 ) |
|
|
||||||
2 |
1 |
|
f |
|
|
0,098 +0,1257 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
Для v2 = 2, 44 |
|
|
|
|
|
|
|||
η1(1,63) = −0,1239; η2 (2, 44) =0,3999; |
ϕ2 (2, 44) |
||||||||
|
|
ϕ4 (2, 44) = 0,8962; |
f (v2 ) = −0,0013. |
||||||
Тогда
v3 = 2,44 − −0,0013(2,44 −2) = 2,434. −0,0013 −0,0987
2, 44.
=0,7837;
Различие 3-го и 4-го приближений составляет 0,24 %. Принимаем v = 2, 434. Тогда критическая сила
F = |
v2 EJ |
= |
(2,434)2 EJ |
= 0,1645EJ (кН). |
|
l2 |
62 |
||||
кр |
|
|
82
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.Дарков А.В., Шапошников Н.Н. Строительная механи-
ка. – СПб.: Лань, 2004. – 656 с.
2.Киселев В.А. Строительная механика. – М.: Стройиздат, 1986. – 520 с.
3. Строительная механика. Стержневые системы / А.Ф. Смирнов [и др.]. – М.: Стройиздат, 1981. – 512 с.
4.Строительная механика. Динамика устойчивости сооружений / А.Ф. Смирнов [и др.]. – М.: Стройиздат, 1984. – 416 с.
5.Киселев В.А. Строительная механика. Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений. – М.: Стройиздат, 1980. – 616 с.
6.Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики / Г.К. Клейн [и др.]. – М.: Высшая школа, 1980. – 382 с.
83
ПРИЛОЖЕНИЕ
Итерационные методы решения нелинейных уравнений
Численному решению уравнения f (z) =0 должно быть
предпослано хотя бы приблизительное исследование вопросов существования и положения корней и их оценка. Всегда следует иметь в виду элементарный способ решения методом дихотомии (разделение отрезка), обладающий линейной сходимостью. Он заключается в следующем: предположим известно, что корень находится в интервале (а, b) (рис. П.1). Делим интервал попо-
лам и сравниваем знаки f (a), |
a +b |
, |
f (b), что дает воз- |
|||
f |
|
|
||||
2 |
||||||
|
|
|
|
|
||
можность локализовать корень на од-
ном из интервалов
|
a +b |
|
||
Рис. П.1 |
|
|
,b . |
|
2 |
||||
|
|
|
||
|
a +b |
, или |
|
a, |
2 |
|
|
|
|
|
|
На рис. П.1 корень локализован на интервале |
|
a +b |
, |
|
a, |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
который опять делим пополам и т.д. Эта процедура |
проста |
|||
и эффективна до тех пор, пока ЭВМ в состоянии определить знак числа.
Метод Ньютона
Основным методом решения линейных уравнений остается итерационный метод Ньютона, математическое выражение которого хорошо известно:
xr+1 = xr − ff′((xxrr )) .
84
Также хорошо известна его гео- |
|
метрическая интерпретация, которая |
|
наглядно демонстрирует процесс ли- |
|
неаризации на каждом этапе (рис. П.2). |
|
Она обладает линейной сходимостью |
|
в начале итерационного процесса, ко- |
Рис. П.2 |
торая становится квадратичной в не- |
|
которой окрестности решения. |
|
Метод Ньютона – один из старейших вычислительных методов решения уравнений, существует много попыток его изменения с целью уточнения и упрощения вычислений. Ниже рассмотрим два простейших метода такого типа.
Упрощенный метод Ньютона. Для уменьшения вычисле-
ний можно не находить производную в каждой точке, а воспользоваться только одним ее началь-
ным значением a = f (x0 ) и вычислять
приближения |
|
по |
правилу |
|
ar+1 = |
|||||
= x − |
f (xr ) |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
r |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. П.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Сходимость метода |
|
||||||||
|
линейная |
|||||||||
(рис. П.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Метод секущих: |
|
|
|
||||||
|
|
x |
= x |
r |
− |
f (xr )(xr − xr−1 ) |
. |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
r+1 |
|
|
|
f (xr |
) − f (xr−1 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
Требуется выбор двух начальных точек. Обладает линейной сходимо-
стью (рис. П.4).
Рис. П.4
85
Учебное издание
БОЛЬШАКОВА Наталия Ивановна
ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ РАМ
Учебно-методическое пособие
Редактор и корректор Н.В. Бабинова
Подписано в печать 7.08.13. Формат 60×90/16. Усл. печ. л. 5,5. Тираж 100 экз. Заказ № 169/2013.
Издательство Пермского национального исследовательского
политехнического университета.
Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.
Тел. (342) 219-80-33.
86