Прочность и устойчивость статически неопределимых рам учебно-методи

Решая эти уравнения, получим

r11 = −M0 = 4EJl ϕ2 (v);

r21 = H0 = 6lEJ2 η3 (v).

Функции ϕi (n), ηi (v) протабулированы. Заметим, что при

v = 0 все специальные функции равны единице, т.е. при отсутствии продольно-поперечного изгиба коэффициенты жесткости стержня принимают значения, которые используются в задачах статики.

Аналогично получаются коэффициенты жесткости для других случаев продольно-поперечного изгиба отдельного стержня. Сведем эти случаи в табл. 3.1.

При расчете устойчивости рам в качестве основного при-

скольку все силы Ni пропорциональны одному параметру F, то

Окончание табл. 3.1

72

Таким образом, элементы rik матрицы жесткости R являются функциями одного параметра v; rik = rik (v) и можно исследовать, как зависят решения системы однородных уравнений RZ =0 от этого параметра, например, с использованием определителя. Минимальный корень vmin уравнения

R(v) =0

дает критическую нагрузку Fкр. Полагая в системе канонических уравнений метода перемещений v = vmin , можно найти форму потери устойчивости, которая определится с точностью до множителя. Для этого полагаем одно перемещение zk ≡1 и перено-

сим k-й столбец в правую часть системы канонических уравнений и отбрасываем k-е уравнение. Затем, решая оставшиеся (n −1) уравнений, определим остальные (n −1) значения zi, ха-

рактеризующие форму потери устойчивости.

3.2. Примеры расчета рам на устойчивость методом перемещений

Пример 1. Найти критическую силу рамы, показанной на рис. 3.5, а. Жесткость EJ = 200 кН·м2.

Расчет данной рамы выгоднее проводить методом перемещений, так как тогда потребуется составить только два уравнения, поскольку лишними неизвестными являются углы поворота двух углов рамы: 1 и 2. Для решения этой задачи методом сил необходимо составить пять уравнений, так как степень статической неопределимости этой рамы равна 5.

На рис. 3.5, б, в представлены эпюры моментов M1 и M2

в основной системе от единичных поворотов углов 1 и 2. При построении этих эпюр для ригелей, испытывающих только изгиб, пользуемся табличными данными метода перемещений; для

73

стоек, находящихся в сжато-изогнутом состоянии, пользуемся таблицей реакций сжатого стержня.

в

Рис. 3.5

Параметры v для стоек различны, так как продольные силы

идлины различны:

•для левой стойки

• для правой стойки

74

Канонические уравнения имеют вид

r11z1 +r12 z2 = 0;

r21z1 +r22 z2 = 0,

а условием потери устойчивости будет обращение в нуль определителя из коэффициентов при неизвестных:

Из условий равновесия узлов основной системы при единичных значениях неизвестных определяем единичные коэффициенты:

r11 = 2EJϕ2 (v) +4EJ = 2EJ [ϕ2 (v) +2]; r22 = EJϕ1(v2 ) +7EJ = EJ [ϕ1(1,3v) +7]; r12 = r21 = 2EJ.

Подставляя значения коэффициентов в условие устойчивости, получаем

f (v) =[ϕ2 (v) +2][ϕ1(1,3v) +7]−2.

Задача состоит в определении параметра v, удовлетворяющего этому уравнению.

Считая, что верхние сечения стоек рамы не имеют горизонтальных перемещений (рама с несмещающимися узлами), установим возможные пределы изменения параметра v.

Нижний предел определим в предположении, что правая стойка шарнирно оперта:

75

откуда

Верхний предел определим из условия, что левая стойка с двумя жесткими защемлениями:

F max = 4π2 EJ = v2 2EJ ,

кр 42 42

откуда

v = 2π = 6, 28.

Следовательно, значения v могут изменяться в пределах

6, 28 > v > 2, 415.

Воспользуемся методом секущих (см. приложение) для определения v.

Зададимся v0 = 2,5. По табл. 3.2 находим: ϕ2 (2,5) =0,772;

ϕ1 (1,3v0 ) =ϕ1(3,25) = −0,1241.

Подставим эти значения в уравнение устойчивости: f (v0 ) = (0,772 +2)(−0,1241+7) −2 =17,06.

Зададимся v1 =3,3; ϕ1(4,3) = −6,9947; ϕ2 (3,3) = 0,5691. f (v1 ) = (0,5691+2)(−6,9947 +7) −2 = −1,986.

Вычислим v2 по итерационной формуле метода секущих:

76

Таблица 3.2

Окончание табл. 3.2

Выбираем v2 =3, 22. Тогда

ϕ1 (1,3v2 ) =ϕ1(4,186) = −4,1286; ϕ2 =(3, 22) = 0,5936. f (v2 ) = (0,5936 +2)(−4,1286 +7) −2 =5,447.

двух последних приближений составляет 0,15 %. Итак, принимаем v =3, 285. Тогда критическая сила

78

Пример 2. Определить критическую силу для рамы

(рис. 3.6, а).

Рис. 3.6

Основную систему метода перемещений получаем введением двух связей – угловой и линейной. Система канонических уравнений имеет вид

r11z1 +r12 z2 = 0;

r21z1 +r22 z2 = 0.

Уравнение устойчивости получаем, приравняв нулю определитель этой системы:

det(D) = r11 r12 = 0,

r21 r22

или, учитывая, что r12 = r21, имеем

f (v) = r11 r22 −r122 = 0.

79

Для определения единичных коэффициентов строим эпюры изгибающих моментов в основной системе от единичного поворота жесткого угла (рис. 3.6, б) и единичного линейного смещения (рис. 3.6, в). При построении этих эпюр пользуемся таблицами метода перемещений, а для стоек, испытывающих сжатие, – данными таблицы реакций сжатых стержней. Прини-

По единичным эпюрам из условий равновесия левого узла и отсеченного ригеля (см. рис. 3.6, в) определяем единичные коэффициенты:

r11 = EJ [1,5 +0,667ϕ2 (v)];

r22 = EJ [0,055η2 (v) +0,0937η1(0,667v]; r12 = r21 = 0,167EJϕ4 (v).

Подставляем найденные коэффициенты в уравнение устойчивости, получаем

f(v) =0,0825η2 (v) +0,1405η1(0,667v) +

+ϕ2 (v)[0,0367η2 (v) +0,0625η1(0667v)]−0,0278ϕ24 (v) = 0.

Приближенно установим возможные пределы изменения параметра v. Условия закрепления левой стойки определены двумя предельными схемами:

1) консоль:

откуда

v = π2 1,57;

80