Прочность и разрушение материалов

31

1.6. Пластическая зона при вершине трещины

Из рассмотренного ранее решения упругой задачи о распределении напряжений в окрестности вершины трещины следует, что в этой области напряжения сингулярны (т.е. имеют особенность). На практике же материалы (в частности, металлы) обычно имеют предел текучести; при напряжениях выше этого предела материалы испытывают пластические деформации. Из этого следует, что в металлах в окрестности вершины трещины всегда имеется область, в которой возникают пластические деформации, поэтому напряжения не могут быть сингулярными. Эту область называют пластической зоной при вершине трещины. Получим грубую оценку для размера зоны пластичности для плоского напряжённогосостояния.

Уравнение

обращения напряжения при вершине трещины в бесконечность. В действительности этого не может произойти: пластические деформации, возникающие при вершине трещины, ограничивают напряжения. Размер зоны пластичности при вершине трещины можно оценить, если определить расстояние от вершины

трещины rp , на котором упругое напряжение y превышает предел текучести ys (рис. 1.7).

33

к тому7. В результате пластических деформаций в окрестности вершины трещины перемещения в этой области больше, а жёсткость меньше, чем в упругом случае. Эффективная длина трещины lэфф l , где l – физический размер трещины, а –

поправка. Выражение для получено в виде rp , т.е. размер зоны пластичности вдвое превышает первую оценку rp (рис. 1.8).

И размер зоны пластичности, и интенсивность пластических деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом интенсивности напряжений и свойствами материала. При вычислении КИН следует искусственно (фиктивно) увеличить длину трещины на половину длины пластической зоны. Пластическая поправка Дж. Р. Ирвина расширяет область справедливости линейной механики разрушения: по разрушающим напряжениям в сторону их увеличения, по критическим длинам трещин – в сторону их уменьшения. При плоской деформации пластическую поправку (в силу её малости) можно не вводить.

Более точное представление о форме зоны пластичности можно получить, рассматривая условие текучести для углов , отличных от нуля. Условие текучести Мизеса в главных напряженияхзаданосоотношением

7 Irwin G.R. Plastic zone near a crack and fracture toughness // 7th Sagamore Ardance Materials Research Conference. – Syracuse: Syracuse Univ. Press, 1960.

34

где ys – предел текучести в одноосных испытаниях. При испытании на растяжение 2 3 0, откуда следует, что текучесть наступает при 1 ys .

Уравнения, описывающие поле напряжений при вершине трещины в главных осях:

Границу зоны пластичности как функцию можно найти, подставляя уравнения (1.12) в соотношения (1.11). Таким образом, получим:

Зависимость расстояния от вершины трещины до границы зоны пластичности можно представить в следующем виде:

Если предположить в уравнении для ПНС = 0, то действительно получится соотношение (1.10). Граница зоны пластичности в том виде, как она задана уравнениями (1.14), изображена в безразмерном виде на рис. 1.9. Зона пластичности для ПДС заметно меньше зоны пластичности в случае ПНС: из уравнений (1.14) следует, что при = 0 и v =1/3 их размеры отличаются друг от друга в девять раз.

Рис. 1.9. Форма зон пластичности (оценка из упругого решения) у вершины трещины нормального отрыва (а) и поперечного сдвига (б); 1 – ПНС; 2 – ПДС

Иной подход при определении степени распространения зоны пластичности был предпринят Д.С. Дагдейлом8, и в несколько другом виде – Г.И. Баренблаттом9. В модели Г.И. Баренблатта предполагается, что в малой зоне длиной а ( a l ) у вершины трещины действуют интенсивные силы сцепления Q(x), распределение которых, вообще говоря, неизвестно. Постулируется, что в предельном состоянии конфигурация трещины в концевой области не зависит от заданных нагрузок и для

8Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. and Phys. Solids. – 1960. – Vol. 8, № 2. – P. 100–108.

9Баренблатт Г.И. Математическая теория равновесных трещин, образующихся при хрупком разрушении // ПМТФ. – 1961. – № 4. – C. 3–56.

36

данного материала в данных условиях опыта (температура, скорость испытания, среда и т.п.) всегда одна и та же. Берега трещины смыкаются плавно, т.е. напряжения в вершине трещины конечны. В рамках линейной теории упругости и при условии малости участка а модель Г.И. Баренблатта формально эквивалентна силовой схеме Дж. Р. Ирвина. Для упругих тел схема Дж. Р. Ирвина кажется предпочтительней, поскольку при этом не вводятся гипотезы о локальных условиях в концевой области трещины. Вместе с тем модель Г.И. Баренблатта может оказаться полезной (в частности при рассмотрении временных процессов), так как она содержит возможности более детального анализа состояния у вершины трещины.

37

Глава 2 УСЛОВИЯ РОСТА ТРЕЩИНЫ

2.1. Энергетический критерий А.А. Гриффитса

Роль энергии в процессе хрупкого разрушения состоит, по А.А. Гриффитсу, в следующем. Одной концентрации напряжений у вершины трещины мало для того, чтобы трещина разорвала тело. Если не обеспечить подвода достаточной энергии к вершине, то разрушение прекратится. Точно так же остановится и автомобиль с совершенно исправным мотором, если в бензобаке иссякнет горючее.

Для того чтобы разобраться с вопросом о балансе энергии, рассмотрим простейшую задачу. Возьмем бесконечную пластину единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2l, растянем её напряжением и жёстко закрепим её края (рис. 2.1, а). Длину и ширину пластинки считаем большими по сравнению с толщиной. На рис. 2.1, б приведена диаграмма «нагрузка – удлинение».

а б

Рис. 2.1. Критерий А.А. Гриффитса при неподвижных захватах:

а – пластина с трещиной с неподвижными краями; б – энергия упругих деформаций пластины с трещиной длиной l (1) и l+dl (2)

38

Запасённая в пластине упругая энергия представлена площадью ОАВ. Если длина трещины увеличится на величину dl, то жёсткость пластины уменьшится (линия ОС); это означает, что нагрузка несколько уменьшится, поскольку края пластины неподвижны. Следовательно, упругая энергия, запасённая в пластине, уменьшится до величины, равной площади ОСВ. Увеличение длины трещины с l до l l приведёт к освобождению упругой энергии, равной по величине площади ОАС.

Установим, при каком значении внешнего напряжения трещина данной длины dl станет неустойчивой, т.е. начнёт быстро распространяться при постоянной внешней нагрузке. Потенциальная энергия деформации пластинки без трещины, естественно, больше потенциальной энергии пластинки с трещиной, поскольку вокруг трещины существует зона уменьшенных напряжений (на свободных поверхностях трещины напряжения равны нулю). По условию, точки приложения внешних сил не смещаются с ростом трещины, следовательно, работа внешних сил при этом равна нулю.

В результате наличия трещины потенциальная энергия пластинки уменьшается на величину

U Uбез разреза Uс разрезом E2l2 .

Последний результат получен из решения К. Инглиса (1912 г.) о растяжении пластинки с тонким эллиптическим разрезом.

Освобождённая упругая энергия W поступает в вершину трещины, где возникла концентрация напряжений, и там затрачивается на разрушение, точнее, на образование новой поверхности тела. На основании закона сохранения энергии, в пренебрежении иными возможными потоками энергии, при развитии трещины на величину S соблюдается условие вида

39

к единице площади трещины, или, иными словами, интенсивность освобождающейся упругой энергии.

Энергия W обеспечивает существование твёрдого тела как единого целого, а при образовании новых поверхностей (из начального разреза) можно считать, что энергия W имеет поверхностнуюприроду, ипоэтому

W 2 S,

где – интенсивность поверхностной энергии, затрачиваемой

на разрушение.

Баланс энергии (2.1) имеет один и тот же вид, независимо от способа приложения внешней нагрузки – будет ли это случай фиксированных точек приложения внешних сил (захватов), случай фиксированного значения внешних сил или какой-то промежуточный случай.

Если захваты фиксированы, не смещаются, то работа внешних сил равна нулю, и отсюда непосредственно следует равенство (2.1). Потенциальная энергия деформации тела U уменьшается на величину G, целикомрасходуемуюнаразрушение.

Если захваты в результате роста трещины смещаются при постоянных внешних силах, то правая часть равенства (2.1) есть разность между работой внешних сил и энергией деформации. Эта разность положительная и равна G. Баланс энергии попрежнему сохраняет вид (2.1).

В обоих экстремальных случаях величина G одинакова,

G Ul .

Здесь знак «плюс» относится к случаю постоянной силы, а знак «минус» – к фиксированным захватам.

40