Прочность и разрушение материалов

сплошная среда с заданными реологическими свойствами, а элемент деформируемого тела находится в одном из таких состояний (рис. 1.3, а): сплошном (С-состояние) или разрушенном (Р-состояние). Переход элемента материала из состояния С в состояние Р – процесс разрушения – осуществляется мгновенно, если только напряжённо-деформированное состояние, вычисленное в рамках принятой реологической модели, достигает некоторого критического значения (например, если растягивающие напряжения в данной точке деформируемого твёрдого тела достигают предела прочности).

Классический подход к материалам, находящимся в хрупком состоянии и в структуре которых имеются остроконечные дефекты типа трещин, не позволяет решить задачу об их прочности, поскольку в нём не учитывается особое напряженнодеформированное состояние материала около вершины остроконечного дефекта-трещины в процессе деформации тела.

Основная идея неклассического подхода механики разрушения материалов сводится к следующему (рис. 1.3, б). Считается, что переход элемента деформируемого тела из состояния С всостояние Р сопровождается промежуточным состоянием П (предразрушением), которое следует обязательно учитывать при решении задачи о прочности тела с дефектами типа трещин. Особенность области предразрушения заключается в том, что материал в ней всегда деформирован за предел упругости и что именно в ней происходит наиболее интенсивное пластическое течение, взаимодействие с окружающей средой, диффузионные процессы, повреждаемость материала и другие явления, предопределяющие, в конечном счёте, локальное разрушение материала, т.е. C П P -переход.

Таким образом, неклассическая схема разрушения пре-

дусматривает учёт состояний П около остроконечных дефектов в деформируемом теле (в первую очередь, типа трещин) – кон-

21

центраторов напряжений, радиус закругления которых соизмерим с характерным линейным размером структурного элемента материала. Следовательно, при оценке прочности твёрдого тела необходимо учитывать его локальные физико-механические свойства, например, способность оказывать сопротивление распространению в нём трещины – его трещиностойкость. Учёт состояний П материала в рамках механики сплошных сред требует введения новых расчётных моделей и концепций. Поскольку основными характеристиками, контролирующими поведение материала в вершине трещины, являются напряжения, деформации и энергия, то все критерии механики разрушения, аналогично классическим теориям прочности, делятся на энергетические, силовые и деформационные.

1.4. Силовой подход в механике разрушения

Для суждения о прочности тела недостаточно располагать решением теории упругости или пластичности о концентрации напряжений около надрезов или трещин. Необходимы ещё так называемые критерии прочности, которые устанавливают момент исчерпания несущей способности материала в точке, или же, в других трактовках, всего тела в целом. Формулировка этих критериев такова, что соответствующие соотношения обязательно содержат некоторые постоянные материала, определяемые экспериментально. К этим постоянным прежде всего относятся такие известные механические характеристики материала, как предел текучести, прочности, истинное сопротивление разрыву и т.п., методика определения которых на гладких образцах стандартизована.

Процесс разрушения складывается из двух стадий – зарождения трещины и её распространения, причём каждая из этих стадий подчиняется своим законам. Среди критериев прочности есть такие, которые описывают как условия зарождения трещи-

22

ны, так и условия её распространения. Первые из них фактически есть условия наступления опасного состояния в точке в рассматриваемый момент (классические теории прочности). Вторые исходят из наличия в теле трещины (их мы и будем рассматривать далее).

Критерий начала распространения трещины (иногда называемый критерием разрушения), составляющий основу механики разрушения, не следует из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды. Он является дополнительным (по отношению к уравнениям теории упругости) краевым условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной.

Предельное состояние равновесия считается достигнутым, если трещиноподобный разрез получил возможность распространяться. При этом разрез становится трещиной. Из последнего определения видно, что трещина – это тонкий разрез (щель), который способен распространяться (увеличивая свою поверхность) в объёме тела под действием внешних воздействий. Роль внешних воздействий, которые могут зависеть от времени, играют механические усилия, температурные напряжения, коррозионное и поверхностно-активное воздействие окружающей среды, изменение свойств материала.

Критерии начала распространения трещины могут быть получены как на основе энергетических соображений, так и силовых. Исторически сложилось так, что сначала А.А. Гриффитсом в 1920 году был предложен энергетический критерий разрушения, а силовой критерий был сформулирован Дж. Р. Ирвином лишь в 1957 году6. Дж. Р. Ирвин также показал

6 Irwin G.R. Analysis of stresses and strain near the end of a crack traversing a plate // J. Appl. Mech. – 1957. – Vol. 24, № 3. – Р. 361–364.

23

эквивалентность этих двух критериев. Последовательная реализация силового подхода привела к созданию достаточно строгой и завершённой теории линейной механики разрушения, являющейся хорошей основой для анализа хрупких разрушений материалов и инженерных конструкций.

1.5.Напряжения у контура трещины

Врасчётах на прочность элементов конструкций и сооружений с трещинами отправной точкой является исследование распределения напряжений и деформаций, возникающих в них под действием приложенных нагрузок. Особый интерес представляет область в непосредственной близости к вершине трещины, поскольку именно в ней наступает состояние предразрушения П. В рамках линейной механики разрушения, исходящей из модели идеально упругого тела и представляющей трещину в виде разреза нулевой толщины, поверхности которого свободны от напряжений, рассматриваемая задача сводится к краевой задаче теории упругости.

Самый общий случай полей деформаций и напряжений

укончика трещины можно получить путём взаимного наложения напряжений следующих частных видов – плоской и антиплоской деформаций (рис. 1.4). Вид I связан с отрывным смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна от другой во взаимно противоположных направлениях (так происходит при забивании клина). Вид II соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины скользят друг по другу (так, например, снимает стружку резец токарного станка). Вид III связан с антиплоской деформацией (разрезание ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой параллельно фронту трещины.

24

Рис. 1.4. Основные виды смещений поверхности трещины

Решения этих задач, очень сложные в математическом отношении, были получены в 50-е годы XX века. Оказалось, что для любых задач теорий упругости поля напряжений и смещений вблизи вершины трещины имеют почти одинаковую структуру.

В качестве примера рассмотрим сквозную трещину вида I длиной 2l в бесконечной пластине (рис. 1.5).

25

Рис. 1.5. Трещина в бесконечной пластине

Пластина находится под действием растягивающего напряжения , которое вызвано приложенными в бесконечности силами. Элемент dxdy пластины, расположенный на расстоянии r от вершины трещины и составляющий с плоскостью трещины угол , находится под действием нормальных напряженийx и y , действующих в направлениях х и у, и касательного на-

пряжения xy:

26

В упругом случае напряжения, указанные в (1.1), пропорциональны внешнему напряжению . Их величины пропорциональны корню квадратному из размера трещины и стремятся к бесконечности в вершине трещины при обращении r в нуль. Зависимость y отr при 0 показананарис. 1.6.

r, x

Рис. 1.9. Упругое напряжение y при вершине трещины

Для больших значений r величина y стремится к нулю,

в то время как она должна стремиться к . Очевидно, уравнения (1.1) справедливы только в ограниченной области – вблизи вершины трещины. Каждое из уравнений представляет собой первый член ряда.

Вокрестности вершины трещины эти первые члены достаточно точно описывают поля напряжений, поскольку остальные члены малы по сравнению с ними. На больших расстояниях от вершины трещины следует вводить большее количество членов в уравнения.

Вуравнениях (1.1) функции координат r и имеют простой

вид. Вобобщённомвидеэтиуравненияможнозаписатьтак:

роль в механике хрупкого разрушения. Заметим, что все формулы для напряжений и смещений имеют схожую структуру:

Вблизи вершины трещины каждого вида поля напряжений и смещений могут отличаться только постоянным множителем K, зависящим от внешних нагрузок и геометрических размеров тела. Распределение же напряжений по радиальной и угловой координатам всегда одинаково. Коэффициенты интенсивности напряжений KI ,KII ,KIII служат мерой сингулярности напряже-

ний около вершины трещины, т.е. области предразрушения, и играют для этой области такую же роль, как коэффициенты концентрации напряжений в сопротивлении материалов для макрообъёмов тела. Коэффициенты интенсивности напряжений

имеют единицы измерения МПа м.

Таким образом, поле напряжений определяется коэффициентом интенсивности напряжений. Этим коэффициентом определяется также то, что происходит внутри зоны пластичности. Когда напряжения и деформации при вершине трещины достигают критических значений, происходит расширение трещины. Силовой критерий Дж. Р. Ирвина начала роста трещины

Это означает, что при достижении КИН критического значения Kс произойдет разрушение. Можно предполагать, что Kс есть константа материала. Критическое значение коэффициента интенсивности напряжений в момент разрушения для бесконечной пластины с трещинойI вида

29

Для пластины конечных размеров эта формула принимает вид

где W – ширина пластины. Для определения KIс необходимо знать функцию f(l/W). Безусловно, f(l/W) для малых значений l/W стремится к единице. Истинное значение KIс можно получить опытным путём только в том случае, если перемещения точек пластины перпендикулярно её плоскости достаточно малы (ПДС), т.е. когда пластина имеет достаточную толщину. В случае ПНС критическая величина КИН будет зависеть от толщины пластины. Коэффициенты интенсивности напряжений обычно представляются в виде

K l Y.

Безразмерные множители Y носят в механике разрушения название Y-тарировки. Они зависят от отношений длины трещины l к размерам тела, например к толщине сечения b, т.е. от числа lb. Эта зависимость обычно представляется таблицей

или приближённой формулой, часто многочленом

Y c0 c1 c2 2 c3 3 ...

Если инженер обнаружит в справочнике подходящую Y-тарировку (табл. 1), то расчёт конструкции на разрушение для него чрезвычайно упростится, поскольку ему не нужно будет решать сложнейшую математическую задачу.

KIс есть мера трещиностойкости материала. Поэтому KIс называют вязкостью разрушения при ПДС. Для материалов с малой вязкостью разрушения допускаются только маленькие трещины. Очевидно, материал с наибольшей вязкостью разрушения имеет наибольшуюостаточнуюпрочность.

30