Анализ и синтез одноконтурных систем автоматического регулирования т

и устремив в ней t к нулю, а n к бесконечности так, чтобы их произведениеоставалосьпостоянным n t , получим точнуюформулу:

y( ) х0h( ) dx h( t)dt ,

0 dt

где dxdt

Эта формула получила название интеграла Дюамеля. С ее помощью можно найти реакцию системы на произвольное входное воздействие (если до этого она находилась в покое).

В химической технологии кривые разгона объектов управления, как правило, имеют S-образный вид. Вид такой временной характеристики представлен на рис. 6.

Рис. 6. Временная характеристика

Рассмотрим аналитические способы получения временных характеристик.

3.2.1. Переходная характеристика

Переходная функция – аналитическое выражение отклика звена на единичное ступенчатое входное воздействие при нулевых начальных условиях:

h(t) L 1 W ( p) 1 .p

21

Произведение передаточной функции на изображение единичного ступенчатого воздействия соответствует изображению переходной функции. Для нахождения непосредственно переходной функции необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа для полученного выражения. График изменения выходного сигнала при ступенчатом входном воздействии, отличающимся по величине от единичного, называют кривой разгона.

3.2.2. Импульсная переходная функция

Импульсная переходная функция – аналитическое выражение отклика звена на единичное импульсное входное воздействие при нулевых начальных условиях:

w(t) L 1 W ( p) 1 .

3.2.3. Рамповая переходная функция

Рамповая переходная функция – аналитическое выражение отклика звена на единичное рамповое входное воздействие при нулевых начальных условиях:

Пример 3. Найти динамические характеристики для объекта, имеющего передаточную функцию вида

W ( p) 2 2 . p 5 p 4

Р е ш е н и е

Найдем переходную функцию заданного объекта

22

Разложим полученное в квадратных скобках выражение на элементарные дроби. Для этого запишем:

Приведем полученные дроби к общему знаменателю:

Из числителя полученного выражения составим систему

A B C 0

5A 4B C 0 ,4A 2

решив которую получим значение множителей А, В и С:

A 12

B 23 .

C 16

Таким образом, получим:

23

Применим для каждой полученной элементарной дроби обратное преобразование Лапласа:

Таким образом,

h(t) 12 23e 1t 16e 4t .

Можно построить график полученной функции, который будет являться переходной характеристикой.

Аналогичным образом находятся выражения отклика объекта на единичное импульсное иединичноерамповое входные воздействия.

4. Частотные характеристики

Реакцию САР или отдельных ее элементов на гармоническое входное воздействие выражают с помощью частотных характеристик. Исследование систем управления с использованием частотных характеристик называют исследованием в частотной области, а методы исследования, в которых используются частотные харак-

теристики, – частотными методами.

Если на вход устойчивого линейного стационарного динамического звена подать гармонический сигнал с частотой ω и амплитудой Ах

x(t) Ax sin( t) 1(t),

то после завершения переходного процесса в установившемся режиме выходная величина динамического звена будет совершать

24

вынужденные гармонические колебания с той же частотой ω, но амплитудой Ау и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол φ:

yвын (t) Aу sin( t ).

Определяя в установившемся режиме отношение амплитуд Ах/Ау и фазовый сдвиг φ при разных частотах колебания входного сигнала (0 < ω < ∞), можно экспериментально получить частотные характеристики динамического звена.

Для получения частотных характеристик САР или ее элементов в передаточной функции W(p) выполняется замена вида

р = jω,

где ω – это частота, которую имеет поданный на вход звена гармонический сигнал; j – мнимая единица.

Таким образом, функция W(jω) называется частотной передаточной функцией и равна по определению отношению изображения Фурье выходного сигнала динамического звена к изображению Фурье входного сигнала:

W ( j ) F y(t) Y ( j ) . F x(t) X ( j )

Частотную передаточную функцию можно представить в виде суммы действительной и мнимой частей:

W ( j ) Re W ( j ) j Im W ( j ) m( ) j n( ),

или в показательной форме:

W ( j ) W ( j ) e j arg W ( j ) A( ) e j ( ) .

Взаимосвязь между характеристиками определяются уравнениями:

25

A( ) m2 ( ) n2 ( ) ,

( ) arctg n( ) ,

m( ) m( ) A( ) cos ( ) ,

n( ) A( ) sin ( ) .

Функции m(ω) и n(ω) называются действительной и мнимой частотными характеристиками звена, а А(ω) и (ω) – амплитудной частотной и фазовой частотной характеристиками.

Существует несколько способов графического представления частотных характеристик.

1. Комплексная частотная характеристика (КЧХ) строится на комплексной плоскости и представляет собой годограф частотной передаточной функции при изменении частоты ω от нуля до бесконечности, т.е. траекторию, описываемую на комплексной плоскости концом радиус-вектора, модуль и аргумент которого равны А(ω) и (ω) при изменении частотыω от нуля до бесконечности.

Амплитудно-частотная характеристика А(ω) и фазово-частот- ная характеристика (ω) могут быть построены в декартовой системе координат.

2. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – это за-

висимость отношения амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных колебаний Ау/Ах от частоты колебаний ω.

АЧХ звена строится следующим образом:

–производится замена р → jω в передаточной функции звена;

–находится реальная Re[W(jω)] и мнимая Im[W(jω)] составляющие передаточной функции звена;

– строится зависимость Re[W ( j )] 2 Im[W ( j )] 2 от частоты ω.

26

3. Фазово-частотная характеристика (ФЧХ) – это зависи-

мость фазового сдвига между выходными и входными колебаниями от частоты колебаний ω.

ФЧХ звена строится следующим образом:

–производится замена р → jω в передаточной функции звена;

–находится реальная Re[W(jω)] и мнимая Im[W(jω)] составляющие передаточной функции звена;

–строится зависимость arctg Im[W ( j )] от частоты ω.

Re[W ( j )]

Пример 4. Построить графики частотных характеристик объекта управления, передаточная функция которого имеет вид

W ( p) 3 p2 1.

Р е ш е н и е

Выполним замену р → jω:

Представим полученное выражение в виде суммы действительной и мнимой частей:

Отсюда

m( ) Re W ( j ) 2 ; 9 2 1

n( ) Im W ( j ) 6 . 9 2 1

Получим выражения для АЧХ и ФЧХ:

27

( ) arctg n( ) arctg( 3 ) arctg(3 ).

m( )

По полученным выражениям построим графики АЧХ, ФЧХ и КЧХ, приведенные на рис. 7.

а

б

в

Рис. 7. Частотные характеристики: а – АЧХ; б – ФЧХ; в – КЧХ

5. Типовые динамические звенья

Динамическое звено – это математическая модель любого элемента системы управления, отражающая определенные динамические свойства элемента вне зависимости от физической природы протекающих в нем процессов.

28

Динамические звенья называют типовыми, если изменение проходящего через них сигнала можно описать алгебраическим или дифференциальным уравнением не выше второго порядка (как правило, линейным неоднородным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами), например:

Воснову классификации типовых динамических звеньев могут быть положены различные признаки. В зависимости от порядка передаточной функции различают динамические звенья:

– нулевого порядка (а2 = а1 = b2 = b1 = 0);

– первого порядка (а2 = b2 = 0, а1 ≠ 0 и (или) b1 ≠ 0);

– второго порядка (а2 ≠ 0 и (или) b2 ≠ 0).

Взависимости от поведения в установившемся режиме динамические звенья разделяют, как правило, на три группы:

– звенья статические, или позиционные (b0 ≠ 0 и a0 ≠ 0), входной и выходной сигналы которых в статическом режиме связаны между собой взаимно однозначной функцией y = Kx;

– звенья интегрирующие, или астатические (b0 ≠ 0 и a0 = 0), выходной сигнал которых в установившемся режиме пропорционален интегралу по времени от входного сигнала;

– звенья дифференцирующие, или форсирующие (b0 = 0 и a0 ≠ 0), выходной сигнал которых в установившемся режиме пропорционален производной по времени от входного сигнала.

Если объекты управления описывается статическим звеном, то такие объекты называют статическими, или устойчивыми, или с самовыравниванием.

29

Объект, описываемый интегрирующим звеном, называется объектом астатическим, или нейтральным, или без самовыравнивания. Передаточная функция таких объектов содержит по крайней мере одно интегрирующее звено, которое в общем виде может быть записана:

Рассмотрим некоторые из типовых динамических звеньев.

5.1. Усилительное звено

Усилительное звено называют также статическим звеном нулевого порядка, безынерционным звеном или пропорциональным звеном. Его входная величина х(t) и выходная величина у(t) связаны между собой зависимостью

y(t) b0 x(t) Kx(t), a0

где K – коэффициент пропорциональности, равный отношению величины изменения выходного физического сигнала к величине изменения входного физического сигнала:

Выходная величина статического звена нулевого порядка пропорциональна входной величине не только в статическом, но и в динамическом режиме в каждый момент времени.

Передаточная функция усилительного звена имеет вид

Говоря о различных элементах автоматизированной системы (см. рис. 1), можно отметить, что каждый из ее элементов является усилительным звеном в том смысле, что редко когда входной сиг-

30