§2.8. Поверхности второго порядка.

2.8.1. Определение. Поверхностью второго порядка называется множество точек пространства, которое в декартовой системе координат определяется уравнением

(2.32)

2.8.2. Цилиндрические поверхности.

2.8.2.1. Определение.Пусть в пространстве задана прямая l и кривая L, не являющаяся прямой, параллельной l. Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная множеством прямых, параллельных l и проходящих через точки L (Рис. 2.25) Кривая L называется направляющей цилиндрической поверхности; прямые, параллельные l, из которых состоит поверхность, называются образующими цилиндрической поверхности.

2.8.2.2. Теорема. (Уравнение цилиндрической поверхности)

Всякое уравнение видаопределяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси.

Доказательство:

Введем в пространстве декартову систему координат так, чтобы ось была параллельна прямой l, и, как следствие, образующим поверхности (Рис. 2.26). Будем считать, что пересечение поверхности с плоскостью определяет кривую L, имеющую уравнение . Если этому уравнению удовлетворяет точка , принадлежащая кривой L, то ему удовлетворяет и любая точка при любом z (так как координата z в уравнении в явном виде отсутствует), т.е. любая точка образующей. Таким образом, уравнение определяет всю цилиндрическую поверхность.

Замечание.

Аналогично изложенному можно доказать, что цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oу, определяется уравнением , а поверхность с образующими, параллельными оси Oх, определяется уравнением .

2.8.2.3. Цилиндрические поверхности второго порядка.

Каноническим уравнениям кривых второго порядка в пространстве можно поставить в соответствие следующие цилиндрические поверхности:

а) Эллиптический цилиндр. В случае образующих, параллельных оси (Рис. 2.27а), получим уравнение:

.

б) Гиперболический цилиндр. Приведем уравнение этой поверхности в случае, когда образующие параллельны оси Oу, а направляющей является гипербола с действительной осью Оz (Рис. 2.27б):

.

в) Параболический цилиндр. Рассмотрим случай, когда направляющей цилиндрической поверхности является парабола в плоскости Oyz, а образующие параллельны оси Ox (Рис. 2.27в). Уравнение поверхности имеет вид

.

2.8.3. Поверхности вращения.

2.8.3.1. Определение. Пусть в плоскости задана прямая l и кривая L. Поверхность, составленная окружностями, которые образуются при вращении всех точек кривой L вокруг l, называется поверхностью вращения, полученной вращением кривой L вокруг прямой l.

2.8.3.2. Теорема. (Уравнение поверхности вращения)

Уравнение поверхности вращения кривой L, заданной в плоскости Оxz своим уравнением , вокруг оси Oz имеет вид

.

Доказательство:

Пусть кривая L , заданная в плоскости Оxz, определяется некоторым уравнением .

Рассмотрим точку , принадлежащую кривой L (Рис. 2.28). Радиус r окружности, по которой движется точка , равен расстоянию от этой точки до оси Oz, т.е. . Следовательно, так какx₀ удовлетворяет уравнению F(x₀,z) = 0, то любая точка окружности удовлетворяет уравнению , где знак выбирается в соответствии со знакомx.

Таким образом, уравнение поверхности вращения будет , где знак «+» берется, если поверхность порождается точками с положительной абсциссой; если поверхность порождается точками с отрицательной абсциссой, берется знак «-». Теорема доказана.

Пример.

Рассмотрим поверхность, полученную в результате вращения вокруг осиOz кривой , определенной при (Рис. 2.29). В соответствии с доказанной теоремой в уравнении кривой мы должны заменитьх на , в результате получим , то есть . Естественно, это поверхность уже не будет поверхностью второго порядка.

Замечание.

Аналогично можно рассмотреть случаи вращения кривых, заданных в других координатных плоскостей вокруг иных осей вращения. Например, уравнение поверхности вращения кривой L, заданной в плоскости Оxy своим уравнением , вокруг осиOy имеет вид

.

2.8.4. Канонические уравнения и изображения поверхностей второго порядка.

При изучении нижеследующих поверхностей второго порядка мы будем пользоваться приемом, который называется методом сечений. Он заключается в том, что для изображения поверхности мы рисуем кривые, которые получаются при пересечении поверхности с координатными плоскостями, а также с плоскостями, параллельными координатным и представляем, как расположена поверхность между этими сечениями.

2.8.4.1. Эллипсоид.

Рассмотрим эллипс в плоскости Охz с уравнением . Будем вращать эллипс вокруг осиOz, получим поверхность вращения с уравнением . Растягивая вдоль осиОу , получим . Обозначая, окончательно получим

. (2.33)

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.33), называетсяэллипсоидом.

Исследуем эту поверхность методом сечений.

В координатной плоскости z= 0 (т.е. Оху) след этой поверхности есть эллипс ;

в плоскости у= 0 получаем эллипс ; в плоскостих= 0 - эллипс .

При сечении плоскостями (т.е. плоскостью, параллельной координатной плоскостиОху), получим . Приполучим эллипс, с ростом абсолютной величиныприэллипс вырождается в точку, а при дальнейшем росте абсолютной величиныприполучим мнимый эллипс.

Аналогичная ситуация будет при сечении плоскостями, параллельными координатным плоскостям Охz и Оуz.

Поверхность изображена на Рис.2.28. Отметим, что координатные оси являются осями симметрии эллипсоида.

2.8.4.2. Конус второго порядка.

Рассмотрим в плоскости Охz две пересекающие прямые (случай вырожденной гиперболы), заданные уравнением . Вращая кривую вокруг осиOz, и растягивая получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим . Обозначая, окончательно получим

. (2.34)

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.34), называется конусом второго порядка.

Изучим поверхность методом сечений.

В плоскости получаем; единственная точка, удовлетворяющая этому уравнению – точкаО(0, 0).

В плоскости получаем, это уравнение пары прямых.

В плоскости уравнениедаст пару прямых.

В плоскостях получаем это уравнение эллипса с полуосями (az₀/c) и (bz₀/c), линейно расширяющимися с ростом z₀.

В плоскостях иполучим гиперболыи, с мнимой осьюOz. Поверхность изображена на Рис. 2.29.

2. 8.4.3. Однополостный гиперболоид.

Рассмотрим в плоскости Охz гиперболу с действительной осью Ох . Вращая кривую вокруг осиOz, и растягивая получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим . Обозначая, имеем

. (2.35)

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.35), называется однополостным гиперболоидом.

Исследуем однополостный гиперболоид методом сечений. Уравнение пересечения поверхности с плоскостью z = 0 - эллипс с полуосямиa и b. В плоскостях х = 0 и у = 0 получаем гиперболы ис мнимой осьюOz, в сечениях поверхности плоскостями z = z₀ получаем эллипсы , вершины которых находятся как раз на гиперболах в плоскостяхх = 0 и у = 0. В плоскостях получим гиперболы. При условиигиперболы будут иметь действительную осьOх; если , то мы получим гиперболы с действительной осьюOz; если , то в сечении получим пары пересекающихся прямых. Аналогично рассматривается сечение плоскостями. Получим уравнение, то есть гиперболы с действительной осьюOz при , с мнимой осьюOz при , и пары пересекающихся прямых при. Поверхность изображена на Рис. 2.30.

2. 8.4.4. Двуполостный гиперболоид.

Рассмотрим в плоскости Охz гиперболу с действительной осью Оz . Как и в случае предыдущих поверхностей, вращаем кривую вокруг осиOz и растягиваем получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим

, (2.36)

где .

Поверхность, определяемая каноническим уравнением вида (2.36), называется двуполостным гиперболоидом.

Рассмотрим сечения двуполостного гиперболоида координатными плоскостями, а также параллельными им плоскостями.

При сечении плоскостями получим, откуда при(включая плоскость) получим мнимый эллипс; приполучим две точки с координатамии; приполучим уравнение эллипса. В плоскостяхиполучаем гиперболы с действительной осьюОz . Аналогично при сечении плоскостямии параллельных им плоскостяхполучаем гиперболы с действительной осьюОz . Иллюстрация двуполостного гиперболоида приведена на Рис. 2.31.

2.8.4.5. Эллиптический параболоид.

Рассмотрим в плоскостиОхz параболу с уравнением . Вращая ее вокруг осиOz и растягивая получившуюся поверхность вдоль оси Оу , получим

, (2.37)

где .

Поверхность, имеющая каноническое уравнение вида (2.37), называется эллиптическим параболоидом.

Сечения плоскостями идают параболыи. В сеченииz = z₀ получим эллипс, приэллипс вырождается в точку, а приимеем мнимый эллипс. Поверхность изображена на Рис. 2.32.

2.8.4.6. Гиперболический параболоид.

Данная фигура не может быть получена вращением какой-либо кривой второго порядка. Каноническое уравнение этой поверхности

. (2.38)

Исследуем поверхность методом сечений. В плоскостиу = 0 получим параболу , ветви которой направлены вверх вдоль осиOz; в плоскости х = 0 - параболу , ветви которой направлены вниз вдоль осиOz; в плоскости получим две пересекающиеся прямые. Рассмотрим сечения плоскостями, параллельными координатным плоскостям. В сечении плоскостьюбудут параболы, которые получаются перемещением вершин параболв точку, лежащую на параболепри. Аналогично при сечении плоскостьюимеем параболы, которые получаются перемещением вершин параболв точку, лежащую на параболепри. При сечении плоскостьюполучим, то есть присечениями будут гиперболы с действительной осьюОх , а при − гиперболы с действительной осьюОу. Поверхность изображена на Рис. 2.33. Дополнительно на Рис. 2.34 показаны сечения гиперболического параболоида координатными плоскостями и параллельными им плоскостями.

Таким образом, нами рассмотрены следующие основные поверхности второго порядка:

1. Эллиптический цилиндр ;

2. Гиперболический цилиндр ;

3. Параболический цилиндр ;

4. Эллипсоид ;

5. Конус второго порядка ;

6. Однополостный гиперболоид ;

7. Двуполостный гиперболоид ;

8. Эллиптический параболоид ;

9. Гиперболический параболоид .