Кристаллография

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»

В.Б. Кульметьева

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Лабораторный практикум

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

Издательство Пермского государственного технического университета

2010

Лабораторная работа № 1 Кристаллографические индексы плоскостей и направлений

Цель работы – ознакомиться с методикой определения символов узлов, направлений и плоскостей.

Основные теоретические положения

Трехмерная упорядоченность и периодичность повторения конкретного расположения материальных частиц в пространстве физически реальных кристаллов может быть охарактеризована с помощью пространственных решеток.

Пространственная решетка – это бесконечная совокупность точек, расположенных в вершинах равных и параллельных друг другу параллелепипедов, смежных по целым граням и без промежутков заполняющих все пространство (рис. 1, а).

Рис. 1. Пространственная решетка (а) и один из ее возможных параллелепипедов повторяемости (б)

Точки, составляющие пространственную решетку, называются

узлами.

4

Совокупность узлов пространственной решетки, лежащих на одной прямой и периодически повторяющихся через равные промежутки, называют узловым рядом, а одинаковые расстояния между узлами ряда – периодом идентичности. Параллельно любому узловому ряду в пространственной решетке проходит бесконечное множество таких же узловых рядов.

Параллелепипед, поступательным перемещением которого по направлениям его ребер на их величину можно построить всю пространственную решетку, называется параллелепипедом повторяемости (рис. 1, б). В любой пространственной решетке его можно выбрать бесконечным числом способов.

Для определения взаимного расположения направлений (ребер) и плоскостей (граней) данного кристалла относительно координат-

Углы между кристаллографическими осями обозначаются α, β, γ (рис. 2). Положительными считаются концы осей:

x – от начала координат к наблюдателю; y – от начала координат вправо;

z – от начала координат вверх.

Три основных вектора, являющиеся ребрами элементарной ячейки, называют трансляциями, или осевыми единицами. Абсолютные величины трансляций a ,b ,c называют периодами или параметрами решетки. Трансляции принято выбирать так, чтобы периоды имели наименьшее значение, а форма элементарной ячейки была

5

возможно ближе к прямоугольному параллелепипеду при условии, что элементарная ячейка сохранит симметрию, свойственную кристаллу в целом.

Все многообразие пространственных решеток разделяют на семь систем – сингоний исходя из соотношения между осевыми единицами и углами. В табл.1 дана характеристика сингоний кристаллов.

Если один из узлов решетки принять за начало координат, то любой другой узел решетки определяется радиус-вектором:

R = ma+ nb+ pc,

где m, n, p – три числа, которые называют индексами данного узла. Совокупность индексов, записанных в двойных квадратных

скобках, называется символом узла. Очевидно, что символ узла, расположенного в начале координат, – [[000]] (рис. 3).

6

1)мысленно перенести его параллельно самому себе в начало координат;

2)определить координаты любого узла или частицы, лежащих на этом направлении, приняв за единицы измерения соответствующие осевые единицы;

3)привести отношение найденных координат к отношению взаимно простых целых чисел.

Некоторые направления в кубической ячейке показаны нарис. 4. Индексы направления, связывающего две частицы в решетке, равны разности координатузлов, приведенных к целому виду.

7

1)определить величины отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, приняв за единицы измерения соответствующие осевые единицы;

2)составить отношение величин, обратных величинам этих от-

резков;

3)привести полученное отношение к отношению взаимно простых целых чисел. Например, плоскость отсекает на осях отрезки по x – 4, y – 1, z – 2. Отношение обратных величин этих отрезков

14 ÷1÷ 12 =1÷4 ÷2.

Вкристаллах всех сингоний, за исключением тригональной

игексагональной, определяются три индекса (h k l) по числу кристаллографических осей (рис. 5). Символ единичной плоскости – (h k l). Для нашего примера символ плоскости (142). В тригональной

игексагональной сингониях определяются четыре индекса (h k i l), так как число осей в этих случаях четыре. Индекс по третьей горизонтальной оси определяется из условия i = h+k.

Рис.5. Кристаллографические символы некоторых плоскостей куба

Символ (h k l) в общем значении относится не к одной плоскости, а ко всему семейству параллельных плоскостей с постоянным для них межплоскостным расстоянием d; в данном случае индексы заключаются в фигурные скобки {h k l}. Так, в кубической сингонии совокупность плоскостей куба {100} содержит шесть кристаллогра-

фически идентичных семейств плоскостей:

(100),(100),(010),(0 10),(001),(00 1).

В символе плоскости, параллельной какой-либо кристаллографической оси, индекс, соответствующий этой оси, равен нулю, так как

8

отрезок по этой оси равен ∞. Если плоскость пересекает отрицательный конец оси, то ее параметр по этой оси отрицателен, и над его величиной ставится знак минус; индекс также отрицателен, и над ним ста-

вится знак минус (h k l ). Плоскость с таким символом пересекает по-

ложительные концыосейx и z иотрицательный конец оси y.

Для кубической сингонии индексы направления [u v w], перпендикулярного к плоскостям (h k l), численно равны индексам этой плоскости.

Индексы направления [u v w], по которому пересекаются две плоскости, связаны с индексами этих плоскостей (h1 k1 l1) и (h2 k2 l2) следующей системой уравнений:

u= k1l2 – k2l1, v = l1h2 – l2h1, w = h1k2 – h2k1.

Индексы плоскости (h k l), в которой лежат два направления [u1 v1 w1] и [u2 v2 w2], определяются из симметричной системы

h = v1w2 – v2w1, k = w1u2 – w2u1, l = u1v2 – u2v1.

Описанные уравнения позволяют определить индексы плоскости, проходящей через три узла с известным базисом. Определение начинают с установления индексов двух направлений (одну из точек принимают за начало координат, по отношению к которому записывают направления) и заканчивают определением плоскости по направлениям.

Серия семейств плоскостей, параллельных одному направлению [u v w] в решетке, называется кристаллографической зоной, а само направление – осью зоны. Между индексами оси зоны [u v w] и индексами плоскостей (h k l), входящих в данную зону, существует следующая зависимость:

hu + kv + lw = 0.

Это уравнение определяет условие зональности.

9

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с теоретической частью лабораторной работы, проверить себя, ответив на вопросы теста. При хорошем усвоении студенты переходят к выполнению следующих заданий.

2.Изобразить элементарную ячейку кубической сингонии и показать трансляции a, b, c (масштабные осевые векторы) и углы между ними α, β, γ.

3.Найти индексы плоскости (h k l), отсекающей на координатных осях отрезки ma, nb, pc (табл. 2).

4.Изобразить плоскость с индексами (h k l) и направление с индексами, численно равными индексам данной плоскости. Сделать выводо величинеугламежду плоскостью и направлением (см. табл. 2).

5.Найти несколько плоскостей, входящих в данную зону, если дана ось зоны (см. табл. 2).

6.Найти индексы плоскости (h k l), в которой находятся направления

[u1 v1 w1 ] и [u2 v2 w2 ].

7.Найти индексы направления, проходящего через узлы (см. табл. 2)

[[ m1 a,n1 b, p1 c ]], [[m2 a,n2 b, p2 c ]].

8. Найти индексы плоскости, в которой расположены узлы (см. табл. 2)

[[ m1 a,n1 b, p1 c ]],[[ m2 a,n2 b, p2 c ]],[[ m3 a,n3 b, p3 c ]].

Каждый студент выполняет один вариант задания, представленный в табл. 2.

10