Кристаллография

21

Лабораторная работа № 2 Построение кристаллографических проекций

и решение кристаллографических задач на сетке Вульфа

Цель работы – ознакомиться с методикой построения кристаллографических проекций; приобрести навык работы с сеткой Вульфа; ознакомиться с решением типовых кристаллографических задач с помощью программного комплекса.

Основные теоретические положения

Для решения ряда задач кристаллографии и структурного анализа, таких как определение взаимных ориентаций плоскостей

ипрямых, определение текстур, индицирование рентгенограмм, используют кристаллографические проекции, которые представляют собой графическое изображение кристаллов и кристаллической решетки. Метод проекций основан на одной из характерных особенностей кристаллов, заключающейся в том, что углы между гранями

иребрами кристаллов всегда постоянны.

Способ изображения должен передавать угловые соотношения между узловыми плоскостями и направлениями в решетке кристалла, а также давать возможность проводить количественные расчеты этих соотношений.

Наглядное изображение достигается с помощью различного рода проекций, общий принцип построения которых заключается в том, что вместо ребер и граней кристалла или вместо плоскостей и направлений в решетке рассматривают следы их пересечения со сферой или плоскостью. Кристаллографические проекции изображают не сам кристалл (рис. 1, а), а его комплексы – кристаллический (рис. 1, б) или полярный (рис. 1, в).

23

Рис. 1. Куб (а) и его кристаллический (б) и полярный (в) комплексы

Под кристаллическим комплексом понимают совокупность плоскостей и направлений, параллельных плоскостям и направлениям кристалла и проходящих через одну точку – центр комплекса. Полярным комплексом называют совокупность нормалей к плоскостям кристаллической решетки, пересекающихся в одной точке – центре комплекса.

Сферическая проекция

Из центра комплекса О описывается сфера с произвольным радиусом, называемая сферой проекции. Любая ось или нормаль плоскости пересекает построенную сферу в двух точках, лежащих на концах одного и того же диаметра. Полученные точки являются сферическими проекциями соответствующих прямых, а вся совокупность аналогично построенных точек называется сферической проекцией данного точечного (кристаллического или полярного) комплекса. Точку О при этом называют центром сферической проекции.

Положение любой точки на поверхности сферы проекций можно охарактеризовать двумя сферическими координатами: ρ – полярное расстояние, отсчитываемое по любому направлению от нуля (северный полюс) до 180° (южный полюс); φ – долгота, отсчитываемая по экватору от меридиана, принятого за нулевой меридиан (рис. 2).

24

Сферическая проекция кристалла наглядна, но для практического применения ее следует спроецировать на плоскость и пользоваться стереографиче-

скими, гномостереографическими и гномо-

ρ

ническимипроекциями.

Стереографическая проекция

Для построения стереографической проекции центр кристаллического комплекса помещают в центр сферы с произвольным радиусом (точку О на рис. 3, а), т.е. в центр проекций.

Сферу проекций рассекают горизонтальной плоскостью, проходящей через

точку О (плоскость Q на рис. 3, а), называемой плоскостью проекций. При этом круг, по которому пересекается сфера, называют кругом проекций. На нем и строится стереографическая проекция. Диаметр NS сферы проекций, перпендикулярный к плоскости проекций Q, называют осью проекций, аточкиN иS еепересечениясосферой– точкамизрения.

Рис. 3. Принцип построения стереографической проекции направления (а) и стереографическая проекция полярного комплекса (б), изображенного на рис. 1, в

Для построения стереографической проекции произвольного направления ОМ(см. рис. 3, а) необходимо:

1)найти точку пересечения этого направления со сферой проекций– его такназываемуюсферическую проекцию (точку М');

2)провести соответствующий луч зрения (M'S);

3)найти точку пересечения этого луча зрения с кругом проекций, т.е. искомуюстереографическую проекцию (точку М").

25

Таким образом, стереографические проекции направлений изо-

бражаются точками. При этом вертикальное направление изобразится точкой, лежащей в центре круга проекций; горизонтальное – двумя точками на окружности круга проекций; наклонное – точкой внутри круга проекций (рис. 3, б).

При построении стереографической проекции какой-либо плоскости (например, плоскости Р на рис. 4, а) поступают так же, как при построениистереографической проекции направления:

1)находят линию пересечения этой плоскости со сферой проекций (линияABCDEF нарис. 4, а);

2)проводятсоответствующиелучизрения(AS, BS, CS, DS, ES иFS);

3)находят геометрическое место точек пересечения этих лучей зрения с кругом проекций – искомую стереографическую проекцию

(линияAB'C'D'E'F).

а б Рис. 4. Принцип построения стереографической проекции плоскости (а) и

стереографическая проекция кристаллического комплекса (б), изображенного на рис. 1, б

Таким образом, стереографические проекции плоскостей изо-

бражаются линиями. При этом вертикальная плоскость изображается прямой линией, являющейся одним из диаметров круга проекций; горизонтальная – самой окружностью круга проекций; наклонная – дугой, опирающейся на концы соответствующего диаметра круга проекций (рис. 4, б).

26

Для построения стереографической проекции особенно важны два ее свойства:

1.Любая окружность, проведенная на сфере, изображается на стереографической проекции также окружностью (в частном случае прямойлинией).

2.На этой проекции не искажаются угловые соотношения: угол между полюсами граней на сфере, измеренный по дугам больших углов, равен углу между стереографическими проекциями тех жедуг.

Гномостереографическая проекция

Более простыми и удобными для количественных расчетов являются стереографические проекции полярных комплексов, которые называют гномостереографическими. Эта проекция чаще всего применяется для изображения кристаллических многогранников. При этом проецируется не многогранник, а его полярный комплекс.

Построение гномостереографической проекции плоскости производится так же, как и построение стереографической проекции направления. Поэтому гномостереографические проекции плоскостей изображаются точками: гномостереографическая проекция горизонтальной плоскости – точкой, лежащей в центре круга проекций; гномостереографическая проекция вертикальной плоскости – точкой, лежащей на окружности круга проекций; гномостереографическая проекция наклонной плоскости – точкой, лежащей внутри круга проекций. Чем круче наклон косой грани, тем дальше от центра располагается проецирующая ее точка.

Принцип построения стереографической и гномостереграфической проекций одинаков; различие заключается в том, что стереографическая проекция строится по комплексу граней кристалла, гномостереографическая – по полярному комплексу. Практически их часто совмещают на одном чертеже, изображая элементы симметрии с помощью стереографической проекции, а грани и ребра – с помощью гномостереографической.

27

Стандартные кристаллографические сетки

При решении количественных задач с помощью стереографических и гномостереографических проекций обычно пользуются различными кристаллографическими сетками.

Одной из наиболее употребляемых является сетка, предложенная в 1897 г. известным русским кристаллографом, одним из основателей рентгеноструктурного анализа Г.В. Вульфом и получившая название сетки Вульфа (рис. 5, а).

Рис. 5. Схемы кристаллографических сеток Вульфа (а) и Болдырева (б)

Сетка Вульфа – это стереографическая проекция системы равноотстоящих меридианов и параллелей, нанесенных на поверхность сферы проекций (как на глобус) при условии, что плоскостью проекций является плоскость меридиана, принимаемого за нулевой.

Меридианы, проходящие через северный и южный полюсы сферы, соединяют точки равной долготы и представляют собой следы пересечения сферы плоскостями, образующими разные углы с плоскостью нулевого меридиана.

Параллели, концентрически расположенные вокруг северного и южного полюсов сферы, соединяют точки равной широты и представляют собой следы пересечения сферы горизонтальными плоскостями, удаленными на разные расстояния от проходящей через центр сферы экваториальной плоскости.

Стандартные сетки Вульфа имеют диаметр 200 мм; линии меридианов и параллелей проведены на них через 2°. Такие сетки обеспечивают проведение построений и расчетов с точностью до 1°.

28

Если за плоскость проекций принять экваториальную плоскость, то стереографическая проекция меридианов и параллелей, нанесенных на поверхность сферы проекций, будет иметь вид, представленный на рис. 5, б. Такая стандартная сетка, предложенная российским кристаллографом А.К. Болдыревым, получила название сетки Болдырева; она также находит применение в кристаллографии и рентгеноструктурном анализе.

Работа с сеткой Вульфа

Сетка располагается на столе перед работающим так, чтобы линия, соединяющая полюсы сетки, была направлена на него. На сетку накладывают кальку. Работают остро отточенным твердым карандашом. Пользоваться иглой для закрепления кальки на сетке не следует, так как сетка скоро станет непригодной для работы.

правлении черточки на внешнем диаметре отсчитывают угол ρ и отмечают точкой. Сферические координаты характеризуют положение перпендикуляра к плоскости (грани).

Примеры решения кристаллографических задач с помощью сетки Вульфа

Рассмотрим приемы решения с помощью сетки Вульфа некоторых типовых кристаллографических задач.

Задача 1. Построить стереографическую проекцию направления, заданного координатами φ и ρ.

29

Решение:

1.Накладываем кальку на сетку, отмечаем крестиком центр проекций, черточкой нулевую точку (φ = 0°).

2.Отсчитываем заданный угол φ от φ = 0° по основному кругу проекций по часовой стрелке и отмечаем точку на круге.

3.Поворачиваем кальку так, чтобы найденная точка попала на конец одного из диаметров сетки.

4.По данному диаметру от центра сетки (ρ = 0°) отсчитываем ρ. Для углов 0° < ρ < 90° проекции обозначают кружочками. Если 90° < ρ < 180°, отсчет продолжают за плоскость чертежа. Такую «невидимую» для наблюдателя точку обозначают крестиком.

Задача 2. Определить сферические координаты направления, проекция которого задана.

Решение:

1.Вращаем кальку так, чтобы заданная точка попала на один из диаметров сетки, иотсчитываем ρпо диаметру отцентрапроекции.

2.Делаем отметку на конце диаметра сетки, по которому отсчитываем ρ. От этой отметки отсчитываем по основному кругу проекции против часовой стрелки φ до φ = 0°.

Задача 3. Измерить угловое расстояние между двумя заданными точками.

Угловые расстояния на сфере измеряются по дугам больших кругов, т.е. по меридианам или экватору.

Решение:

1.Если обе точки лежат на одной половине сферы (обе изображены кружками или обе крестиками), то, вращая кальку, приводим обе точки на один меридиан и отсчитываем по нему угол.

2.Если обе точки лежат в разных полусферах (кружок и крестик), то поворачиваем кальку так, чтобы обе точки попали на меридианы, симметричные относительно центра сетки, и отсчитываем угол по одному меридиану от точки до полюса, а по другому – от полюса до точки.

Если две точки являются гномостереографическими проекциями граней, то найденный угол является углом между нормалями

кграням, а угол, дополнительный к нему до 180°, – углом между

30