Кристаллография

Понятие элементов симметрии

Симметричной называется такая фигура, отдельные части которой мысленно могут быть совмещены друг с другом посредством симметрического преобразования. Симметрическим называется такое преобразование, в результате которого все равные части фигуры совмещаются друг с другом и фигура совмещается сама с собой.

Вспомогательные геометрические образы (точки, прямые или плоскости), относительно которых закономерно повторяются равные части тел, называются элементами симметрии.

Центр симметрии (С) – особая точка внутри тела, по обе стороны и на равном расстоянии от которой любая мысленно проведенная через нее прямая встречает одинаковые части тела (рис. 1). Если каждая грань кристалла имеет себе равную и параллельную или обратно параллельную, то данный кристалл обладает центром симметрии. У фигуры может быть лишь один центр симметрии.

Отражение в центре симметрии производится следующим образом. Через центр симметрии и отражаемую точку проводит-

ся прямая. Изображение точки получается на этой прямой по другую сторону от центра на таком же расстоянии, на каком находится отражаемая точка. В результате отражения в центре симметрии правой асимметричной фигуры получается левая асимметричная фигура.

Плоскость симметрии (Р или т) – это воображаемая плоскость, которая делит фигуру на две равные

части так, что одна из частей является зеркальным отражением другой (рис. 2).

41

это прямая, при одном полном обороте вокруг которой тело п раз совмещается само с собой всеми своими точками.

Наименьший угол поворота αп, приводящий тело к самосо-

вмещению, называется элементарным углом поворота оси сим-

метрии: αп =360°/п.

В произвольных геометрических телах могут встречаться оси симметрии любого порядка. Однако доказано, что в кристалличе-

ских телах не может быть осей симметрии пятого, седьмого и более высоких порядков. Иначе говоря, в кристаллических многогранниках могут встречаться поворотные оси симметрии 1(L1),

2(L2), 3 (L3), 4 (L4), 6 (L6).

Ось симметрии второго порядка обеспечивает самосовмещение тела при повороте вокруг нее на угол, кратный 180°; третьего порядка – на угол, кратный 120°; четвертого порядка – на угол, кратный 90°; шестого порядка – на угол, кратный 60° (рис. 3).

Рис. 3. Многогранники, имеющие оси симметрии 3, 4 и 6-го порядков

42

Перечень всех элементов симметрии кристалла, записанный в виде их символов, называется формулой симметрии, или видом симметрии. Таким образом, полный набор всех элементов симметрии для гексаэдра запишется следующим образом: 3L44L36L29PC.

Классы симметрии, сингонии и категории кристаллов

Вышеперечисленные элементы симметрии встречаются в реальных кристаллических многогранниках не только поодиночке, но и совместно. Поскольку имеется всего семь независимых элементов симметрии, то можно было бы ожидать хотя и ограниченного, но достаточно большого числа их разнообразных сочетаний. Однако существование ряда теорем взаимодействия (сложения) элементов симметрии кристаллических многогранников ограничивает число возможных сочетаний элементов симметрии и приводит лишь к строго определенным их комбинациям.

Классом симметрии называется полная совокупность элементов симметрии кристаллического многогранника.

Известный русский кристаллограф А.В. Гадолин первым теоре-

тически доказал, что существует всего 32 класса симметрии кристаллов.

Отдельные классы симметрии объединяются в сингонии. Сингония – это группа классов симметрии, обладающих одним

или несколькими сходными элементами симметрии (с обязательным учетом осей симметрии высшего, т.е. выше второго, порядка) при одинаковом числе единичных направлений (единичное – единственное, не повторяющееся направление).

Различают семь сингоний: триклинную, моноклинную, ромбическую, тригональную, тетрагональную, гексагональную и кубическую. В свою очередь, сингонии делятся на три категории: низшую, среднюю и высшую.

В низшую категорию объединяются триклинная, моноклинная иромбическая сингонии, характеризующиеся наличием нескольких единичныхнаправленийиотсутствиемосейсимметриивысшегопорядка.

44

Ксредней категории относятся тригональная, тетрагональная

игексагональная сингонии, имеющие одно единичное направление, совпадающее с осью симметрии высшего порядка.

Высшую категорию составляет кубическая сингония, не имеющая единичных направлений и характеризующаяся присутствием нескольких осей симметрии высшего порядка.

Рассмотрим многогранники, имеющие единичное направление,

ибудем добавлять различные элементы симметрии.

1.Примитивные классы характеризуются наличием только одной оси n-го порядка (рис. 5, а);

2.Центральные классы характеризуются наличием осей четного порядка и центра симметрии (рис. 5, б);

3. Планальные классы характеризуются наличием осей и плоскости Р, проходящей через одну из осей: L22P, L33P, L44P, L66P (рис. 5, в);

4.Аксиальные классы характеризуются наличием одной из осей

L2, L3, L4, L6 и добавлением перпендикулярной L2: 3L2, L33L2, L44L2,

L66L2 (рис. 5, г);

5.Инверсионно-примитивные классы характеризуются наличи-

ем инверсионных осей Li2P, Li3, Li4, Li6 (рис. 5, д);

6. Инверсионно-планальные классы характеризуются наличием инверсионных осей Li3, Li4, Li6 и плоскости Р, проходящей через ось:

Li42L22Р, Li33L23Р, Li63L23Р.

Рис. 5. К выводу классов симметрии средней и низшей категории

45

Втриклинную сингонию входят два самых бедных элементами симметрии класса, не имеющие ни плоскостей, ни осей симметрии.

Вмоноклинную сингонию объединены три класса симмет-

рии, у которых плоскость симметрии Р или ось симметрии L2 присутствуют в единственном числе.

К ромбической сингонии относятся три класса симметрии, имеющие несколько плоскостей симметрии Р или осей симмет-

рии L2.

В тригональную, тетрагональную и гексагональную сингонии входят все классы симметрии, у которых имеется только одна ось симметрии высшего порядка (соответственно L3 или L3; L4 или

L4; L6 или L6).

В кубическую сингонию объединены пять классов симметрии, имеющие по четыре оси симметрии L3.

Каждому классу симметрии соответствует определенный набор элементов симметрии, который может быть представлен формулой симметрии. Для удобства вместо таких громоздких формул употребляются условные международные обозначения классов симметрии, которые бывают полными или краткими.

Международные символы классов симметрии состоят из ме-

ждународных символов отдельных элементов симметрии, образующих одну, две или три позиции в символе класса симметрии; содержат, как правило, символы лишь некоторых характерных элементов симметрии, из которых на основе теорем взаимодействия (сложения) могут быть выведены все остальные элементы симметрии данного класса симметрии; составляются по определенным правилам и отражают установку (т.е. координатную систему), принятую для кристаллов каждой из сингоний. Международные символы 32 классов симметрии приведены в таблице.

46

Вкристаллах средних сингоний главные оси симметрии (L3, L3, L4, L4, L6, L6) всегда вертикальны.

Вкубических кристаллах имеются взаимно перпендикулярные

оси симметрии 3L4 или 3L2; одна из них всегда вертикальна, другая направлена на наблюдателя, а третья – слева направо.

Стереографические проекции элементов симметрии некоторых классов симметрии приведены на рис. 6.

Рис. 6. Стереографические проекции элементов симметрии некоторых классов симметрии кристаллов тетрагональной сингонии

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с теоретической частью лабораторной работы, проверить себя, ответив на вопросы теста.

2.Определить все элементы симметрии данной преподавателем модели кристаллического многогранника и составить его формулу симметрии.

3.По характерным элементам симметрии определить категорию и сингонию кристалла.

4.По формуле симметрии, пользуясь табл. 1, определить класс симметрии кристалла, записать его краткий международный символ

иназвание.

5.Изобразить схему модели кристаллического многогранника (используя принятую для соответствующей сингонии установку – координатную систему) и стереографическую проекцию элементов симметрии соответствующего класса симметрии).

48

Содержание отчета

1.Название и цель лабораторной работы.

2.Краткие теоретические сведения.

3.Ответы на тест.

4.Полные ответы на вопросы 2–4 задания и изображение анализируемой модели кристаллического многогранника и стереографической проекции элементов симметрии соответствующих классов симметрии.

Контрольные вопросы

1.Какая фигура называется симметричной?

2.Дайте определение элементов симметрии кристаллических многогранников.

3.Что называется классом симметрии?

4.Дайте определение сингонии.

49

Тест к лабораторной работе № 3

50