Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

635582

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

144.22 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ДОМАШНЕЙ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО ТЕМЕ:

«ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ, ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ»

Учебно-методическое пособие

Воронеж Издательский дом ВГУ 2016

Утверждено научно-методическим советом факультета прикладной математики, информатики и механики 15 мая 2016 г., протокол № 9

Составители: П. С. Украинский, А. И. Шашкин, Г. А. Виноградова, Э. Л. Шишкина

Рецензент – д-р ф.-м. н., доц. С. П. Зубова

Подготовлено на кафедре математического и прикладного анализа факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.

Рекомендовано студентам первого курса очной и очно-заочной форм обучения факультета прикладной математики, информатики и механики

Для направлений: 010400 – Прикладная математика и информатика, 010300 – Фундаментальная информатика и инфор-

мационные технологии, 010500 – Математическое обеспечение и админист-

рирование информационных систем, 080500 – Бизнес-информатика, 010800 – Механика и математическое

моделирование

Введение

Понятие предела последовательности и предела функции лежит в основе современного понимания математического анализа. Умение вычислять пределы используют на протяжении всего курса математического анализа. Задачи с теоретическим содержанием позволяют глубже понимать суть вопроса. Данная методическая разработка предназначена для домашней контрольной работы. Примеры решаются с помощью основных типовых методов, изложенных в [2]. Желаем успехов.

Вариант 1

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

1: lim		sin(2n + 3)		= 0;	2: lim		21	4n	= 4:

n	!1	p			n	!1	3	n
			n

Вычислить пределы последовательностей.

3: lim (n + 1)3 (n 1)3 ; n!1 (n + 1)2 (n 1)2

	: lim np
			√	n n		n	;
5		n			+ 1)(
	n!1(			(			+ 2))

4: lim

3 64n6 + 9

;

n) 11 + n

6: lim

1 2 + 3 4 + 2n

n!1

p3 n3 + 2n + 2

Вычислить пределы функций.

lim

x2 + 2x 3

;

x! 3 x3 + 4x2 + 3x

lim

x sin 2x

;

x!0 1 + cos(x 3 )

11:

lim

2x 1

x+1

;

(2x + 1)

x!1

13:

lim

ln(sin x)

;

(2x )

x! 2

15:

lim

3x+1 3

;

x!0 ln(1 + xp1 + x2)

8: lim

9 + 2x

;

(

x 2)

lim

cos( x=2)

;

x!1

1 px

x!0

ln(x2 + 1)

2 p2x2 + 4

lim

ex e 2x

;

14:

lim

;

x!1 x + sin(x2)

() 1

	1 + x cos 2x	x3
16: lim		:
16: lim	1 + x cos 5x	:
x!0	1 + x cos 5x

17. Доказать, что lim sin(x + 1) не существует.

x!1

Вариант 2

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

cos (1 +

)

1 + 3n

1: nlim

= 0;

2: nlim

= 3:

2n + 3

Вычислить пределы последовательностей.

(n + 2)3 (n 2)3

;

lim

;

lim

n + 6

n2 5

n4 + 2n2 1

n!1

n!1 p3 n3 + 3 + p4 n3 + 1

2n + 7n

lim

n(n

1) ; 6:

lim

n!1

(

√

)

n!1 2n 7n 1

Вычислить пределы функций.

7:	lim		x3 2x 1				;
7:	lim		x4 + 2x + 1				;
x! 1			x4 + 2x + 1
9: lim		tg x sin x					;
x!0 x(1 cos 2x)
					x3 + x + 1			)	2x2
:	lim								;
:	lim								;
11	x!1 ( x3 + 2
13:	lim	35x 2 7x				;
	x!0		2x tg x
				1 + x 3x				1
				1 + x 3x				tg2x
:	lim								;
:	lim	(1 + x 7x )							;
15	x!0	(1 + x 7x )

17. Доказать, что lim sin 1

x!0 x

lim

;

x!16 (√3 (p2x

4)2

10: lim

1 x

;

sin x

x!1

12: lim

ax2 a2 1

;

x!a tg ln (

)

;

14: lim

cos x

x!0

sin2 2x

))

x!0

(tg (

: lim

не существует.

Вариант 3

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

sin

6n + 5

= 3:

lim

n + 1

= 0;

lim

n!1

2n + 1

Вычислить пределы последовательностей.

(3 n)4 (2 n)4

;

n3 + 1

lim

;

lim

n 1

n!1

(1 n)3 (1 + n)3

n!1 p3 n3 + 1 p

n 1

5: nlim (n p3

n3 5)np

1 + 3 + 5 + + (2n

1) 2n + 1

n!1 (

n + 1

)

lim

Вычислить пределы функций.

(x3 2x 1)(x + 1)

8: lim p

;

lim

;

x2 x

x! 1

x4 + 4x2 5

x!1 p3 x2 1

9: lim

3x2 5x

;

10: lim

1 + cos 3x

;

x!0

sin 3x

x!1

sin2 7x

11:

lim

x2 1

;

12:

lim

2cos2 x 1

;

x!1 ( x

)

ln sin x

x! 2

13: lim

62x 7 2x

;

14:

lim

x3 + 1

;

x!0 sin 3x 2x

x! 1 sin(x + 1)

15: lim

1 + x

;

16: lim

2x 1

px 1

x!0

(

)

x!1 (

)

1 + x

17. Доказать, что x

не существует.

lim cos(x

Вариант 4

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

1: lim	cos(n2 1)	= 0;	2: lim	2n 5	=	2	:
	ln n			3n + 1		3
n!1			n!1

Вычислить пределы последовательностей.

3: lim (1 n)4 (1 + n)4 ; n!1 (1 + n)3 (1 n)3

						p
:	lim	n2	+ 1)(	n2	4)	p	n4	;
5	n!1(√(		+ 1)(		4)			9)

Вычислить пределы функций.


			p3			+ 7n2
4:	lim			n2 1				;

	n!1 p4 n8 + +n + 1 n
6:	lim	2n+1			+ 3n+1		:
			2n
	n!1				+ 3n

7: lim	(2x2 x 1)2	;
x!1 x3 + 2x2 x 2

1 cos2x

9: lim ; x!0 cos 7x cos 3x

11: lim		x 1	x+2	;

	(x + 3)
x!1

e5x e3x

13: lim ; x!0 sin 2x sin x

15: lim(2 3x)sin x ;

x!0

17. Доказать, что lim cos 1

x!0 x

8: lim	x + 13 2 x + 1	;
	x2 9
x!3

10: lim 1 sin 2x; x! 4 ( 4x)2

12: lim			tg x tg 2					;
	x!2 sin ln(x 1)
14: lim			tg x tg a			;
	x!a ln x ln a
				cos x	1
:	lim			cos x	x 2		:
:	lim	(cos 2 )					:
16	x!2	(cos 2 )

не существует.

Вариант 5

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

tg (1

)

7n 1

1: lim

= 0;

2: lim

= 7:

!1 n + 1

n + 1

Вычислить пределы последовательностей.

(6 n)2 (6 + n)2

3: lim

;

4: lim

3n 1

125n3 + n

;

n!1

(6 + n)2 (1 n)2

n!1

p5 n n

√

5: lim

(n5 8) n n(n2 + 5)

;

6: lim

1 + 2 + 3 + + n

n!1

p9n4 + 1

Вычислить пределы функций.

(x2 + 2x 3)2

+ 2

;

7: lim

;

8: lim

x 6

x! 3

x3 + 4x2 + 3x

x! 2

x3 + 8

9: lim

;

10: lim

1 + cos x

;

tg2 x

x!0 tg( (2 + x))

x!1

11: lim

2x2 + 2

x2 ;

12: lim

etg 2x e sin 2x

;

x!1 (2x

+ 1)

1 sin x

32x 53x

14: lim

;

1 + sin x

13: lim

;

1 + tg x

x!0 arctg x + x3

x!0

1 + sin x cos x

ctg3 x

2x 7

x 2

15: lim

;

16: lim

(1 + sin x cos x)

( x + 1 )

x!0

x!8

17. Доказать, что lim sgn x не существует.

x!0

Вариант 6

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

4n2 + 1

1: lim

= 0;

lim

n!1

3n + 2

Вычислить пределы последовательностей.

(n + 1)

+ n

3: lim

(n 1)

;

4: lim

27n

;

(n + 1)

!1 (n +

n) 9 + n

5: lim (p

lim

1 + 3 + + (2n 1)

3n + 2

n);

1 + 2 +

+ n

Вычислить пределы функций.

(x3 2x 1)2

7: lim

;

lim

;

x! 1

x4 + 2x + 1

x!16 px 4

9: lim

;

10:

lim

tg 3x

;

x!0 tg(2 (x + 0; 5))

tg x

11: lim

3x2 6x + 7

x+1

;

12:

lim

ln sin 3x

;

x!1 (

+ 20x 1)

(6x

)

13: lim

e2x e3x

;

14: lim

eax ebx

;

x!0 tg x x2

x!0 sin ax sin bx

1 x

15: lim

;

16:

lim (tg x)cos(

x) :

x!1

ln x

17. Доказать, что lim

tg x

не существует.

x!0

jxj

Вариант 7

Пользуясь определением предела последовательности, доказать.

lim

= 0;

lim

9 n3

1 + 2n3

Вычислить пределы последовательностей.

(1 + 2n)3 8n3

;

lim

;

lim

n + 2

n2 + 2

(1 + 2n)2 + 4n2

n!1

n!1 p4 4n4 + 1 p3 n4 1

lim (n + p3

1 + 3 +

+ (2n

n3 ;

lim

n + 3

n!1

)

n!1 (

)

Вычислить пределы функций.

7: lim

(1 + x)3 (1 + 3x)

;

x!0

x + x5

9: lim

1 cos3 x

;

x!0

4x2

x2 3x + 6

11: lim

;

(x2 + 5x + 1)

x!1

13: lim

35x 2x

;

x!0 x sin 9x

15: lim(1 + ln(1 + px))sin

x ;

x!0

8: lim

9 + 2x

;

p3 x 2

x!8

10: lim

sin2 x tg2 x

;

(x )4

12:

lim

2x sin x

;

+ 7

14:

lim

1 + sin

;

x!0

(

x!1

)

2x 1

x 1

16: lim

17. Доказать, что lim x sin x не существует.

x!0

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.02.2023164.36 Кб1610955.pdf
#
15.11.202280.12 Кб2610968.pdf
#
26.02.2023115.02 Кб3633381.pdf
#
26.02.2023155.56 Кб2633411.pdf
#
15.11.2022343.26 Кб1635579.pdf
#
15.11.2022144.22 Кб1635582.pdf
#
15.11.2022200.39 Кб2636878.pdf
#
15.11.2022335.59 Кб4637319.pdf
#
15.11.2022292.74 Кб0637426.pdf
#
15.11.2022326.58 Кб0637429.pdf
#
15.11.2022246.07 Кб1637747.pdf