Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 1 «Комплексные числа» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

б)

(1 i)(z 5)

z2 2z 5

________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Ответ: а)

( 1 i)z 11 5i

3i 2

1 2i

;

z2 2z 5

z 1 2i

б)

(1 i)(z 5)

i 2

1 2i

z 1 2i

z2 2z 5

z 1 2i

Задание 15

Найти многочлен второй степени f (z), если:

а) f (0) 2,	f ( i) 4 i, f (2 i) 6 7i;
б) f (0) 4,	f (1 2i) 5 3i, f (2 i) 8 8i.

Решение.

а) f (0) 2, f ( i) 4 i, f (2 i) 6 7i;

f (z) az2 bz c. f (0) c,

f ( i) a( i)2 b( i) c ai2 bi c a bi c,
f (2 i) a(2 i)2 b(2 i) c a(4 4i i2 ) b(2 i) c
a(4 4i 1) b(2 i) c a(3 4i) b(2 i) c.
c 2,		c 2,

a bi c 4 i,		a bi 2 i,

a(3 4i) b(2 i) c 6 7i, ( bi 2 i)(3 4i) b(2 i) 4 7i.

c 2,		3(1 3i)(3 i)	3(3 i 9i 3)		310i
		3(1 3i)(3 i)	3(3 i 9i 3)		310i
a bi 2 i, b						3i
a bi 2 i, b			9 i2			3i
	3(1 3i)	(3 i)(3 i)	9 i2	10
	3(1 3i)

b

3 i

c 2,

a bi 2 i, a 1 i,


b 3i,	b 3i.
б) f (0) 4,	f (1 2i) 5 3i,	f (2 i) 8 8i
f (z) az2 bz c

f (0) ______________________________________________________________

f (1 2i) ___________________________________________________________

____________________________________________________________________

f (2 i) ____________________________________________________________

____________________________________________________________________

Ответ: а) f (z) (1 i)z2

3iz 2; б)

f (z) iz2

(2i 1)z 4

Задание 16

а) Выразить cos5 и sin5 через cos и sin ;

б) Выразить cos3 и sin3 через cos и sin .

Решение.

а) Выразить cos5 и sin5 через cos и sin ;

Воспользуемся формулой Муавра при n 5:

cos i sin 5 cos5 isin5 cos5 5cos4 isin 10cos3 i2 sin2

10cos2 i3 sin3	5cos i4 sin4 i5	sin5 cos5 isin5
Учитывая, что i2 1,	i3 i2 i i, i4 i2	i2 1, i5 i3 i2 i,

последнее соотношение можно переписать в виде:

cos5 i 5cos4 sin 10cos3 sin2 i 10cos2 sin3

5cos sin4 i sin5 cos5 i sin5

Отделив действительную и мнимую части, окончательно получим:

cos5 cos5 10cos3 sin2 5cos sin4

sin5 sin5 10sin3 cos2 5sin cos4

б) Выразить cos3 и sin3 через cos и sin .

Воспользуемся формулой Муавра при n __________________________________:

cos i sin 3 _________________________________________________________

________________________________________________________________________

	Ответ.
а)	cos5 cos5 10cos3 sin2 5cos sin4 ,
а)	,

sin5 sin5 10sin3 cos2 5sin cos4

б) cos3 4cos3 3cos ;sin3 3sin 4sin3

Задание 17

Найти решение системы линейных уравнений:

(1 i)z

1 i,

; б)

(1 i)z

2 2i,

а)

(1 i)z1 (1 i)z2 1 3i.

2iz1 (3 2i)z2 5 3i.

Решение.

(1 i)z (1 i)z

1 i

;

а)

;

1 i

(1 i)z1 (1 i)z2 1 3i.

1 i

1, z

1 i

;

1 i

; 1

1 i

; 1

i 1.

1 i

(1 i)(

z2 1) (1 i)z2 1 3i.

(1 i)z2 i.

i 1.

1 i

б) iz1 (1 i)z2 2 2i,

2iz1 (3 2i)z2 5 3i.

________________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Ответ. а)z1 i,z2

1 i;

б) z1 2,z2

1 i.

Задание 18

Найти вещественные числа x,y удовлетворяющие уравнению:

а) (2 i)x (1 2i)y 1 4i; б) (3 2i)x (1 3i)y 4 9i.

Решение.

а)(2 i)x (1 2i)y 1 4i 2x ix y 2iy 1 4i

y i(x 2y) 1 4i			2x y 1	y 1 2x		y 1 2x
y i(x 2y) 1 4i				;	;	;
			x 2y 4	x 2y 4	x 2(1 2x) 4
y 1 2x	; y 1 2x; y 3.
2 4x 4		x 2	x 2

б) (3 2i)x (1 3i)y 4 9i.

________________________________________________________________________

Ответ: а) y 3	; б) y 5.
x 2	x 3

Задание 19

Выполнить действия. Результат представить в алгебраической форме:

							2														4
									i)3 ; б) 3 е										i			i .
а) (				е 9														5			4е5
а) (		2		е 9														5			4е5
					Решение.
							2		i)3								2			i				2		2
а) (				е			9									е	3				2		2(cos		isin		)
			2												8
			2												8											3
																						3				3
					1								i)
2										3
	2(									3						2( 1 3i) 2 i 6.
	2(															2( 1 3i) 2 i 6.
2								2
						i					4	i
						i						i		________________________________________________________
б) 3 е5 4е5														________________________________________________________

_______________________________________________________________________

	Ответ: а)			2 i				6; б) 12.
	Задание 20
	Найдите модуль и аргумент комплексного числа z, если:
											11						(				i
							2				11		3				(			2	i	6)4
а)	z (1 cos		isin			)		(1 ictg				)		;	б) z											.
а)	z (1 cos	5	isin			)		(1 ictg				)		;	б) z								7			.
		5		5							10							(sin	3		icos		7	)	2
																		(sin			icos			)
																	10				10
	Решение.
										2					11		3
	а) z (1 cos				isin				)		(1 ictg					)
	а) z (1 cos			5	isin				)		(1 ictg				10	)
				5				5							10

Представим два данных комплексных числа в тригонометрической форме:

z 1 cos						isin							x 1 cos				,y sin					.
z 1 cos						isin							x 1 cos				,y sin					.
1				5							5					5	5
				5							5					5	5
																		2sin
								(1 cos						)2		sin2
r	x2 y2
r	x2 y2
											5					5	10
			x	1 cos																				2
												sin				cos(				) cos					;
cos									5
cos
			r		2sin						10					2	10							5
			r		2sin						10					2	10							5
							10
		y			sin																2					2
										cos					sin(				) sin
sin							5
sin
		r		2sin							10					2	10						5	5
		r		2sin							10					2	10						5	5
							10

Первое комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:

	z		1 cos								isin			2sin				(cos				2			isin	2	).
	z		1 cos								isin			2sin				(cos							isin		).
1						5							5			10		5								5
						5							5			10		5								5
	z2		1 ictg						11			x 1,y ctg									11			.
	z2		1 ictg									x 1,y ctg												.
										10								10
																		1
												2				2 11
	r x			2		y		2				2	ctg			2 11
												1
												1				10				sin			11
																10				sin
																		10
cos	x	sin			11		cos(								11		) cos		8
cos		sin					cos(										) cos
	r					10						2	10					5
36

	y	ctg	11			11		11		11		11		8		8
sin			10		ctg		sin		cos		sin(		) sin
			11
	r 1/sin			10			10		10		2 10		5		5
			10

Второе комплексное число в тригонометрической форме имеет вид:

z2	1 ictg	11	1			(cos	8	isin	8	).
				11
	10		sin		5			5

			10

Подставим тригонометрические формы в первоначальное выражения:

																						2										11		3														2										2			2
	z (1 cos											isin									)			(1 ictg									)		(2sin									(cos									isin							))
	z (1 cos								5			isin									)			(1 ictg									)		(2sin						10			(cos									isin							))
									5								5														10										10		5										5
				11										8				isin							8					3				2							4			isin							4
(1/sin							(cos																						))		(4sin					(cos																			))
(1/sin			10				(cos																		5				))		(4sin			10		(cos					5											5			))
			10						5																5									10							5											5
			3 11												24											24									2							4												4
(1/sin									(cos											isin												)) 4sin						(cos							isin											)
(1/sin			10						(cos								5			isin						5						)) 4sin			10			(cos							isin								5			)
			10														5									5									10						5												5
	1					(cos				24						isin							24					)			4		(cos				4			isin							4			) (cos							24		isin				24	)
	sin	3							5															5							sin				5								5										5									5

		10
		10																													10
	4				(cos					28						isin							28				)				4		(cos				8		isin							8			).
	sin								5															5							sin				5								5
	sin	10																													sin
		10																													10
			(										i
б) z			(								2		i						6)4
б) z								3												7					2
								3												7					2
					(sin								icos											)
					(sin								icos											)
			10														10

_______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

Ответ. а) r	4		,	8	; б) r 64,	4	.
	sin	5			15
	sin
	10

3 Домашнее задание

Задание 1

					1 i		8
						3	8
						3	12
Возведите в степень комплексное число: а)							, б) 1 i .
Возведите в степень комплексное число: а)							, б) 1 i .
					2
					2
	1			i, б) -64
Ответ. а)	1		3
Ответ. а)		2
2		2

Задание 2

Выразить через cos и sin следующие функции:

а) sin4 , б) cos4

Ответ. а)4cos3 sin 4cos sin3 , б) cos4 6cos2 sin2 sin4

Задание 3

Вычислите все значения корней и изобразите на комплексной плоскости:

a) 1 i3 , б) 3 1 i3 , в) 4 1, г) 5 1 i .

			Ответ. а)z													6					2				i,z									6			2		i,
			Ответ. а)z												2						2				i,z									2			2		i,
												1			2						2								2					2			2
										2								2																																								4				4
										2								2																																								4				4
б)z	3			2		cos						isin									,z						3			2			cos				isin									,z					3		2	cos						isin				,
б)z	3			2		cos						isin							9		,z						3			2			cos				isin					9				,z					3		2	cos						isin				,
1							9												9					2										9								9							3							9				9
											i,z																	i,z													i,z																i,
в)z					2				2											2						2									2					2										2					2
в)z		2																																															2
1		2					2						2				2							2								3		2			2						4						2					2

		5					2					2									5										13						13											5								21					21


г)z				2										i		,z	2						2 cos											isin							,z			3						2		cos							isin				,
г)z				2										i		,z							2 cos											isin							,z									2		cos							isin				,
1							2					2																				20					20																			20					20
							2					2																				20					20																			20					20
z4 5								29									29													5						37									37
								29									29																			37									37
		2		cos								isin										,z5										2	cos					isin
		2		cos								isin					20					,z5										2	cos					isin									20
							20										20																	20													20

Задание 4

Решить уравнения:

а) z3 8 0, б) z4 1 0, в) z4 z2 2 0.

Ответ. а)z1 1 i3,z2 2,z3 1 i3,

б)z1 1,z2 i,z3 1,z4 i,

в)z1 1,z2 1,z3 i

2,z4 i 2

Задание 5

Решить уравнение 4z4

8z3

7z2 2z 2 0, если известен один его корень

1 i.

Ответ. z2 1 i, z3

0,5, z4 0,5

Задание 6

Решить уравнения на множестве комплексных чисел:

z4 16 0,

б) z4 z3 2z2 z 1 0,

в) z8 17z4 16 0,

г) z2 (4 i)z 10 2i 0

Ответ. а)z1,2

i, z3,4

;

б) z

i, z

3,4

1,2

в) z1,2 1, z3,4

i, z5,6 2,z7,8 2i;

г) z1 2 3i,z2 2 2i.

Задание 7

Указать на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих

указанному соотношению:

а)

z 1

z i

б)

z 1

z 2i

в)

z 1

г) Rez2 1, д) Imz2 1.

Ответ. а) Прямая y x,

б) Прямая 4y 2x 3 0,

в) Эллипс	x2	y2	1,
		5/4
9/4

г) Гипербола x2 y2 1,

д) Гипербола 2x y 1

Задание 8

Найти вещественные числа x,yудовлетворяющие уравнению:

а) x 1 (y 1)i 1 i;

5 3i

б) (x y)

x 1 y 5(x y)i.

y 9

y 2 y2

Ответ: а)

; б)

x 1

1 x2

Задание 9

Решить уравнение на множестве комплексных чисел:

а) z 3z 12i; б) z2 z 0.

Ответ. а)z					4i;						б) z 0,z					1,z					1	3	i.
				2																	1	3
				2																		2
										1					2				3,4	2		2
Задание 10
Дано:z			1				1			. Найти:				и			1	.
			1				1						z				1
													z
		2(1 i)							i								z
		2(1 i)							i								z
								2е4
					i и	1
Ответ.				2								i.
	z			2							2
	z		2								2
			2				z

4 Самостоятельная работа

УРОВЕНЬ 1

Задание 1

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]