Методические указания к решению задач первого тура 40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению материалов (120
..pdfЗадача 8. Найдем силу F*, при которой зазор между пружинами * закрывается. Поскольку
* |
8F*D3i |
, |
1 |
||
то |
Gd 4 |
|
|
|
F* |
*Gd 4 |
|
0,06 8 1010 5 10 3 4 |
37,5 Н. |
|
8 0,13 10 |
|||||
|
8D3i |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
Внешняя сила F F* , поэтому зазор перекроется и сила F будет восприниматься двумя пружинами. Пусть F1 иF2 – силы, вос-
принимаемые наружной и внутренней пружинами соответственно. Тогда
F1 F2 F.
Осадка наружной пружины больше осадки внутренней пружины на величину *:
1 2 *.
Используя формулу для подсчета осадки пружины
|
|
8FD3i |
, |
|
(4) |
||
получаем |
|
|
|
Gd 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8F D3i |
|
8F D3i |
*. |
||||
1 |
1 |
|
2 2 |
|
|||
Gd 4 |
|
|
Gd 4 |
|
|
|
|
С учетом того, что сила F2 F F1 , запишем |
|||||||
8F D3i |
|
8(F F )D3i |
*. |
||||
1 1 |
|
|
1 |
|
2 |
||
Gd 4 |
|
|
|
Gd 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
Тогда
|
|
|
|
1 |
|
|
FD3 |
|
Gd 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
F |
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
8i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
D1 |
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
5 |
10 |
3 |
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0,06 8 10 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
400 |
0,06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102 Н, |
|||
|
3 |
0,06 |
3 |
|
8 10 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F2 400 102 298 Н.
Вычислим осадку каждой пружины по формуле (4):
1 |
|
|
8 102 0,13 10 |
|
0,163 м; |
|
8 1010 5 10 3 |
4 |
|
||||
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
8 298 0,063 10 |
|
0,103 м. |
|
|
8 1010 5 10 3 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Найдем работу силы F. Для этого построим график изменения силы F в зависимости отперемещенияточки ее приложения (рис. 25). РаботасилыF равна площади, ограниченнойэтимграфиком:
Рис. 25
22
W |
1 |
37,5 0,06 |
37,5 400 |
0,163 0,06 23,6 Дж. |
|
2 |
|
2 |
|
Задача 9. Кривизна балки связана с линейной деформацией соотношением
1 |
|
|
, |
(5) |
|
|
y |
||||
|
|
|
где – радиус кривизны окружности, R. Для верхнего слоя балки y H
2.
Тогда
2HR const.
Найдем нормальное напряжение в наружном слое балки, используя закон Гука для одноосного напряженного состояния и величину ε, вычисленную выше:
max E |
EH |
const. |
(6) |
|
2R |
||||
|
|
|
Иначе можно записать
max M x ,
wx
где M x – изгибающий момент симметрично нагруженной балки,
M x F2 z ; wx – момент сопротивления изгибу,
wx |
B z H 2 |
. |
|
6 |
|||
|
|
Выполнив соответствующие подстановки, запишем
23
|
|
|
max |
3Fz |
|
const. |
(7) |
|||||||
|
|
|
B z H 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При |
z |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
3Fl |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
max |
|
|
|
|
const. |
(8) |
|||||
|
|
|
|
l |
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
2B |
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Приравняв выражения (7) и (8), получим |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
2B |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
B z |
|
|
|
z. |
|
||||||
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из (8) следует, что значение ширины в сечении приложения нагрузки
l |
|
|
3Fl |
|
|||
B |
|
|
|
|
|
|
. |
2 |
2H |
2 |
max |
||||
|
|
|
|
|
|||
C учетом (6) окончательно получим
l |
|
|
3FRl |
|||
B |
|
|
|
|
3 . |
|
2 |
EH |
|||||
|
|
|
|
|||
Задача 10. В кольце возникает одноосное напряженное состояние (рис. 26).
Напряжение
t |
pD |
. |
(9) |
|
|||
|
2h |
|
|
Из закона Гука для одноосного напряженного состояния выразим линейную деформацию:
t |
t |
. |
(10) |
|
|||
|
E |
|
|
24
Рис. 26
Удельная потенциальная энергия для одноосного растяжения
U0 t2 .
2E
Потенциальная энергия, накопленная в кольце,
U U0v,
где v объем кольца, |
v Dhb. |
|
|
|||
С учетом подстановок получим |
|
|||||
U |
1 |
pD 2 |
Dhb |
p2 D3b |
||
|
|
|
|
8Eh |
||
|
|
|||||
|
2E |
2h |
|
|||
Работа элементарной силы pbRd (рис. 27)
dw 12 pbRd R.
Изменение радиуса кольца
R t R,
где R радиус кольца, R D
2.
.
равна
(11)
25
Рис. 27
С учетом (9) и (10) получим |
|
|
|
|
R |
pD2 |
. |
(12) |
|
4Eh |
||||
|
|
|
Проинтегрировав (11) с учетом (12), найдем работу давления
2 |
1 pbR Rd |
|
2 |
3 |
b . |
W |
p |
|
D |
||
0 |
2 |
8Eh |
|
||
|
|
|
|
|
|
Сравнивая значение работы с полученным выше значением потенциальной энергии деформации, убеждаемся в их равенстве:
U W.
26
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
Условия задач |
............................................................................................... 3 |
Решения задач .............................................................................................. |
8 |
27
Учебное издание
Подкопаева Татьяна Борисовна
Методические указания к решению задач первого тура
40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению материалов
Редактор С.А. Серебрякова Корректор О.В. Калашникова
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой
Подписано в печать 10.06.2011. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 1,63. Тираж 100 экз. Изд. № 132. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.