Методические указания к решению задач первого тура 40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению материалов (120

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

Т.Б. Подкопаева

Методические указания к решению задач первого тура

40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению материалов

Под редакцией В.А. Князевой

Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2011

УДК 539.3 ББК 30.121

П44

Рецензент Н.Л. Нарская

Подкопаева Т.Б.

П44 Методические указания к решению задач первого тура 40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению материалов / Т.Б. Подкопаева ; под ред. В.А. Князевой. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 25, [3] с. : ил.

Приведены условия, а также решения и ответы десяти задач по сопротивлению материалов, предложенных участникам первого тура 40-й Московской городской олимпиады (МГТУ им. Н.Э. Баумана, март 2010 г.).

Для студентов машиностроительных специальностей высших учебных заведений.

Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета РК МГТУим. Н.Э. Баумана.

УДК 539.3 ББК 30.121

МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Определить изменение объема внутренней полости стержня (рис. 1) при сжатии его силой F.

Рис. 1

Дано: F, l, E, .

Задача 2. Для балки постоянного поперечного сечения (рис. 2) получить функцию прогиба, используя дифференциальное уравнение упругой линии.

Рис. 2

Дано: l, q, Ix , E.

3

Задача 3. Для рамы (рис. 3) определить взаимное вертикальное перемещение сечений A иB.

Рис. 3

Дано: F, l, Ix , E.

Задача 4. Определить допускаемую нагрузку рамы (рис. 4), используя теорию наибольших касательных напряжений. Найти работу силы F и потенциальную энергию деформации системы при нагружении ее силой, равной допускаемой. Рама имеет круглое поперечное сечение диаметром d.

Рис. 4

Дано: R, d, , E, 0, 25.

4

Задача 5. Найти перемещение сечения C (рис. 5) в направлении действия силы F, приложенной в центре сечения.

Рис. 5

Дано: a, F, l, , E.

Задача 6. Найти размер диагоналей квадрата ABCD, нанесенного на боковую поверхность тонкостенной трубки (рис. 6), при повороте ее свободного конца на угол 0 . Размер стороны квадрата a значительно меньше размера диаметра трубки D .

Рис. 6

Дано: a, D, l, 0 .

Задача 7. При соединении стального стержня 1, имеющего диаметр d, и стальной трубы 2, имеющей внутренний диаметр d и

5

наружный диаметр D, оси отверстий в них не совместились на угол0 (рис. 7). После принудительного закручивания обеих деталей

Рис. 7

они были собраны так, как показано на рис. 8. Найти максимальные напряжения в стержне и трубе.

Рис. 8

Дано: d 0,02 м, D 0,025 м, l 0,6 м, 0 3 , G 8 104 МПа.

Задача 8. Две пружины, свитые из проволоки одинакового диаметра d и имеющие одинаковое число витков i, вставлены одна в

другую. Средний диаметр витков наружной пружины равенD1 , внут-

6

ренней пружины D2 . Высота наружной пружины в свободном состоянии на величину * больше, чем высота внутренней. Система пружин сжимается силойF. Найтиработу, совершаемую силойF.

Дано: d 0,005 м, i 10 , D1 0,1 м, D2 0,06 м, G 8 104 МПа.

Задача 9. Балка (рис. 9) имеет прямоугольное поперечное сечение с постоянной высотой H и переменной шириной B(z). Изогнутая ось балки представляет собой дугу окружности радиусом R. Установить закон изменения ширины B(z) и ее значение в сечении приложения нагрузки.

Рис. 9

Дано: H , l, R, F, E.

Задача 10. Тонкостенное стальное кольцо (рис. 10) нагружено внутренним давлением p . Найти потенциальную энергию деформа-

ции, накопленнуювкольце, иработу, совершаемуюдавлением p .

Рис. 10

Дано: D, h, b, E, p.

7

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Первоначальный объем внутренней полости

V a2l.

Объем внутренней полости после деформации

V1 a12l1,

где a1 a a; a na; n z ; l1 l l; l l z .

Изменение объема внутренней полости с учетом приведенных выше выражений для V и V1 составит

V V1 V a2l(1 z )2 (1 z ) a2l.

Пренебрегая величинами второго порядка малости и выше, получаем

A (2a)2 a2 3a2 .

Выполнивсоответствующие подстановки, окончательно запишем

V Fl 1 2 .

3E

8

Задача 2. В заделке возникают реактивная сила 54 ql и реак-

тивный момент 34 ql2 (рис. 11). Начало отсчета координаты z выбираем в заделке. Продлим распределенную нагрузку до конца

Рис. 11

балки и введем компенсирующую нагрузку. Дифференциальное уравнение упругой линии имеет вид

Изгибающий момент в текущем сечении второго участка балки

Проведем последовательное интегрирование выражения (3):

9

где θB B – взаимный угол поворота в сечении B (см. рис. 11);

С учетом найденных констант интегрирования окончательно получим

Задача 3. Данная рама является шесть раз статически неопределимой. Поскольку система имеет две оси обратной симметрии,

неизвестным остается один силовой фактор X1 . Основная систе-

ма для рамы показана на рис. 12, эквивалентная система – на рис. 13.

Запишем каноническое уравнение метода сил:

11 X1 1P 0.

10