Дискретная математика (90

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

200. В огороде у бабушки растут 3 белые, 2 алые и 4 чайные розы. Сколькими различными способами можно составить букет из трех роз разного цвета?

Обозначим белые – Б1, Б2, Б3, алые – А1, А2, чайные – Ч1, Ч2, Ч3, Ч4. Перечислим возможные варианты:

Б1-А1-Ч1, Б1-А1-Ч2, Б1-А1-Ч3, Б1-А1-Ч4, Б1-А2-Ч1, Б1-А2- Ч2, Б1-А2-Ч3, Б1-А2-Ч4.

Б2- А1-Ч1, Б2-А1-Ч2, Б2-А1-Ч3, Б2-А1-Ч4, Б2-А2-Ч1, Б2-А2- Ч2, Б2-А2-Ч3, Б2-А2-Ч4.

Б3-А1-Ч1, Б3-А1-Ч2, Б3-А1-Ч3, Б3-А1-Ч4, Б3-А2-Ч1, Б3-А2- Ч2, Б3-А2-Ч3, Б3-А2-Ч4.

Ответ: 24 варианта.

1.Задачи на использование принципов умножения

исложения

201.Сколькими способами могут восемь человек стать в очередь к театральной кассе?

Решение задачи.

Существует 8 мест, которые должны занять 8 человек. На первое место может стать любой из 8 человек, т. е. способов занять первое место – 8. После того как один человек стал на первое место, осталось 7 мест и 7 человек, которые могут быть на них размещены, т. е. способов занять второе место – семь. Аналогично для третьего, четвертого и т. д. места. Используя принцип умножения, получаем произведение: 8 7 6 5 4 3 2 1. Такое произведение обозначается как 8! (читается 8 факториал) и

называется перестановкой P8.

Ответ: P8 = 8!

202.Позывные радиостанции должны начинаться с буквы W.

а) Скольким радиостанциям можно присвоить различные позывные, если позывные состоят из трех букв, причем эти буквы могут повторяться?

31

б) Если позывные состоят из четырех букв, которые не повторяются?

Решение задачи.

В современном латинском алфавите 26 букв. На первом месте всегда должна стоять одна буква, следовательно, существует только один способ занять первое место.

а) На оставшиеся два места может претендовать любая из 26-ти букв, т. к. буквы в позывных могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1 26 26 = 262.

б) На второе место можно поставить любую из 25 букв, т. к. в позывных буквы не должны повторяться. На третье место – 24 буквы, на четвертое место – 23 буквы. Используя принцип умножения, получаем произведение: 1 25 24 23.

Ответ: а) 262; б) 25 24 23.

203. В автомашине 7 мест. Сколькими способами семь человек могут усесться в эту машину, если занять место водителя могут только трое из них?

Решение задачи.

Действие, которое должно быть выполнено особым способом, необходимо выполнять первым. Итак, на место водителя можно посадить только одного из трех человек (умеющего водить машину), т. е. существуют 3 способа занять первое место. Второе место может занять любой из 6 человек, оставшихся после того, как место водителя будет занято, и т. д. Используя принцип умножения, получаем произведение:

3 6 5 4 3 2 1 = 3 6! = 3 P6. Ответ: 3 P6 = 3 6!.

204. Алфавит некоторого языка содержит 30 букв. Сколько существует шестибуквенных слов (цепочка букв от пробела до пробела), составленных из букв этого алфавита, если:

а) буквы в словах не повторяются? б) буквы в словах могут повторяться?

Решение задачи.

Существует шесть мест, на которые нужно разместить 30 букв. а) Буквы не должны повторяться. Используя принцип умножения, получаем произведение: 30 29 28 27 26 25. Такое

произведение достаточно сложно использовать в дальнейшем, и

32

информация задачи представлена в ней в скрытой форме. В комбинаторике используют для таких произведений формулу размещений. Чтобы получить формулу размещений, умножим это произведение на единицу, которую представим следующим

размещений с повторениями. Ответ: а) А306 ; б) Ã306 .

205. Из цифр 1, 2, 3, 4, 5 составляются всевозможные числа, каждое из которых содержит не менее трех цифр. Сколько таких чисел можно составить, если повторения цифр в числах запрещены?

Решение задачи.

Необходимо посчитать, сколько существует трехзначных, четырехзначных и пятизначных чисел, составленных из этих пяти цифр. Трехзначных чисел – 5 4 3 = А35 , четырехзначных –

5 4 3 2 = А54 , пятизначных – 5 4 3 2 1 = А55 . Используем принцип сложения: А35 + А54 + А55 = 60 + 120 + 120 = 300.

Ответ: 300.

2. Задачи на использование формул для перестановок и размещений

206. Сколько слов можно образовать из букв слова «фрагмент», если слова должны состоять:

а) из восьми букв; б) из семи букв; в) из трех букв?

Решение задачи.

В слове «фрагмент» 8 букв алфавита.

а) Всевозможные перестановки 8 букв по восьми местам:

б) Размещения 8 букв по 7 местам: А87 .

33

в) Размещения 8 букв по 3 местам: А83 .

Ответ: а) P8, б) А87 , в) А83 .

207. Сколько существует различных автомобильных номеров, которые состоят из пяти цифр, если а) первая из них не равна нулю; б) номер состоит из одной буквы латинского алфавита, за которой следуют четыре цифры, отличные от нуля?

Решение задачи.

а) Всего существует 10 цифр. На первом месте не может быть цифры 0, поэтому способов поставить цифру на первое место существует 9. На втором месте может стоять любая из 10-ти цифр (цифры могут повторяться), т. е. способов поставить цифру на второе место существует 10, и т. д. Используя принцип умно-

жения, получаем: 9 10 10 10 10 = 9 104 =9 Ã104 .

б) На первом месте может стоять любая из 26 букв. На остальных местах – любые из девяти цифр, причем они могут повторяться. Используя принцип умножения, получаем: 26 9 9 9 9=26 Ã 94 .

Ответ: а) 9 Ã104 , б) 26 Ã 94 .

208. Сколькими способами можно расставить на полке семь книг, если: а) две определенные книги должны всегда стоять рядом; б) эти две книги не должны стоять рядом?

Решение задачи.

а) Книги, которые должны стоять рядом, считаем за одну книгу. Тогда нужно расставить 6 книг по шести местам. Применяя формулу перестановок, получаем: P6 = 6!. Мы учли перестановки шести книг, не учитывая порядок внутри тех книг, которые мы посчитали за одну. А так как две книги по двум местам можно разместить только двумя способами (P2), то получаем окончательно следующеепроизведение: P2 P6 =2 6! = 1440.

б) Способов переставить 7 книг существует P7= 7!. Из них – 2 6! способов поставить определенные книги вместе. Следовательно, способов поставить книги так, чтобы 2 заданные книги не стояли вместе существует: 7! – 2 6!.

Ответ: а) 1440; б) 7! – 2 6!

34

3. Задачи на использование формул для сочетаний

209. Сколькими способами из восьми человек можно избрать комиссию, состоящую из пяти членов?

Решение задачи.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулу для сочетания элементов, т. к. здесь не имеет значения порядок элементов в выборке. Запишем формулу для сочетаний и произведем вычисления:

Ответ: 56.

210. Компания из двадцати мужчин разделяется на три группы, в первую из которых входят три человека, во вторую – пять и в третью – двенадцать. Сколькими способами они могут это сделать? (Ответ записать в виде произведения сомножителей, не вычисляя его.)

Решение задачи:

Из 20-ти элементов необходимо сделать три выборки, причем порядок внутри выборок значения не имеет. Поэтому используем формулу для сочетаний. Чтобы выбрать из 20-ти элементов 3, существует С320 способов. Остается 17 элементов, из которых

выбирается 5 элементов – С175 способами. Остается 12 элементов, из которых выбирается 12 элементов. Это можно сделать С1212 = 1,

т. е. одним способом. Используя принцип произведения, полу-

чаем: С320 С175 С1212 . Ответ: С320 С175 С1212 .

211. Сколькими способами можно отобрать несколько фруктов из семи яблок, четырех лимонов и девяти апельсинов? (Мы считаем, что фрукты одного вида неразличимы.)

Решение задачи.

Так как фрукты одного вида неразличимы, то существует один способ взять одно яблоко, один способ взять 2 яблока, один способ взять три яблока и т. д., т. е. всего семь способов выбрать несколько яблок (несколько – это не менее одного). Необходимо также

35

прибавить один способ не взять ни одного яблока. Следовательно, существует 8 способов взять яблоки. Аналогично существует 5 способов выбрать лимоны и 10 способов выбрать апельсины. Следуя принципу умножения, получим все способы отбора

фруктов: 7 5 10. Но среди этих способов существует один способ, когда не выбирается ни один фрукт. Следовательно, решением данной задачи будет следующее выражение: 7 5 10 – 1 = 349.

Ответ: 349.

4. Задачи на использование формул для перестановок и сочетаний

212. а) Сколько четырехбуквенных слов можно образовать из букв слова «сапфир»? б) Сколько среди них таких, которые не содержат буквы р? в) Сколько таких, которые начинаются с буквы с и оканчиваются буквой р?

Решение задачи:

а) Из шести букв составляются четырехбуквенные слова, причем порядок букв важен для образования новых слов. Поэтому используется формула для размещений:

в) На первое место поставить букву с можно только одним способом. На последнее место поставить букву р можно тоже только одним способом. Остаются 4 буквы, которые необходимо

Ответ: а) 360, б) 120, в) 12.

213. Сколько пятибуквенных слов, каждое из которых состоит из трех согласных и двух гласных, можно образовать из букв слова «уравнение»?

Решение задачи.

В слове «уравнение» 3 согласных и 4 гласных буквы русского алфавита. Чтобы посчитать количество требуемых пятибуквенных слов, необходимо посчитать количество соче-

36

таний трех согласных из трех заданных и двух гласных из четырех заданных: С33 и С24 . После того как 5 букв выбраны,

необходимо посчитать все возможные перестановки этих букв:

С33 С24 P5.

3

Ответ: С3 С24 P5.

5. Задачи на использование формул для перестановок и сочетаний с повторениями

214. Сколько различных перестановок можно образовать изо всех букв слова «перестановка»? Сколько из них начинается с буквы п и оканчивается буквой а?

Решение задачи.

В слове «перестановка» 12 букв, из них повторяются 2 буквы е и две буквы а. Число перестановок из 12 элементов вычисляется с помощью формулы P12. Но среди этих перестановок будут повторяющиеся, в которых буквы е или а меняются местами. Чтобы не считать такие перестановки, используется формула для перестановок с повторениями: P~212,2 =

12! 12 11! 3 11!. 2! 2! 4

Чтобы посчитать количество перестановок, начинающихся на букву п и оканчивающихся на букву а, необходимо исключить эти элементы и места, на которых они стоят из рассмотрения. Остается 10 букв и десять мест, причем остается только одна повторяющаяся буква е. Применяем формулу для перестановок с повторениями:

Ответ: 3 11! , 5 9! .

37

Теория графов

215.Спортивное соревнование проводится по круговой схеме: каждая пара игроков встречается между собой ровно один раз. Докажите, что в любой момент времени найдутся хотя бы два игрока, проведшие одинаковое число встреч.

216.В соревнованиях по круговой схеме с пятью участниками только Ваня и Леша сыграли одинаковое число встреч, а все остальные различное. Сколько встреч сыграли Ваня и Леша?

217.Каждый из 17 ученых переписывается с остальными. В их переписке речь идет лишь о трех темах. Каждая пара ученых переписывается друг с другом только по одной теме. Доказать, что не менее 3 ученых переписываются друг с другом по одной теме.

218.В футбольном турнире 20 команд сыграли 8 туров: каждая команда сыграла с восьмью разными командами. Докажите, что найдутся три команды, не сыгравшие между собой ни одного матча.

219.В некотором государстве система авиалиний устроена так, что любой город соединен авиалиниями не более чем с тремя другими и из любого города в любой другой можно перелететь, сделав не более одной пересадки. Какое наибольшее число городов может быть в этом государстве?

220.У каждого из депутатов парламента не более трех противников. (Если депутат А – противник депутата В, то депутат

В– противник депутата А.) Докажите, что депутатов можно разбить на две палаты так, что каждый депутат будет иметь не более одного противника в своей палате.

221.В теннисном турнире каждый игрок команды «синих» встречается с каждым игроком команды «красных». Число игроков в командах одинаково и не больше восьми. «Синие» выиграли в четыре раза больше встреч, чем «красные». Сколько человек в каждой из команд?

222.Каждый из семи мальчиков имеет не менее трех братьев. Докажите, что все мальчики – братья.

223.В каждой из трех школ учится по 300 человек. Любой ученик имеет в сумме 301 знакомого из двух других школ. Дока-

38

жите, что можно выбрать по одному ученику из каждой школы так, чтобы выбранные ученики были знакомы между собой.

224.Летом Иван отдыхал в молодежном лагере «Восход», где вместе с ним находилось 53 школьника. После окончания отдыха некоторые пары обменялись адресами, причем у каждого из отдыхающих оказалось не менее 26 адресов. Через некоторое время Ивану понадобился адрес Николая, с которым он адресом не обменивался. Докажите, что Иван может узнать адрес Николая, т. е. существует цепочка из школьников, которая начинается

сИвана и оканчивается Николаем и в которой каждая пара соседей обменялась адресами.

225.Маша отдыхала в молодежном лагере «Росинка», где вместе с ней находилось 45 школьников. После окончания отдыха 950 пар обменялись адресами. Через некоторое время Маше понадобился адрес Ирины, с которой она не обменивалась адресами. Докажите, что с помощью отдыхающих в лагере Маша может найти адрес Ирины (см. предыдущую задачу).

226.Докажите, что в группе из шести человек всегда найдутся три человека, знакомые между собой, или три человека, не знакомые между собой.

227.В международном фестивале участвовало несколько сотен делегатов из разных стран мира. Выяснилось, что из трех любых делегатов, по крайней мере, двое могут объясниться между собой на каком-то языке. Докажите, что найдется тройка делегатов, в которой каждый может объясниться с каждым.

228.В некоторой компании любые два знакомых не имеют общих знакомых, а любые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых. Докажите, что в этой компании все имеют одинаковое число знакомых.

229.Про некоторую компанию известно, что если два человека из нее знакомы, то они имеют одинаковое в этой компании число знакомых, а если незнакомы – то разное. Докажите, что в компании из семидесяти человек обязательно найдется один, имеющий не менее одиннадцати знакомых.

230.Про некоторую компанию известно, что каждый человек знаком в ней ровно с шестью людьми, и для любой группы из

39

шести человек найдется член компании, знакомый с каждым из этой шестерки. Сколько человек в компании?

231.В лагере отдыхают 50 школьников. Известно, что среди любых четырех школьников найдется, по крайней мере, один, знакомый с тремя остальными. Докажите, что найдется школьник, знакомый со всеми остальными школьниками.

232.На конгресс собрались ученые, среди которых есть знакомые. Оказалось, что никакие двое ученых, имеющих на конгрессе равное число знакомых, не имеют общих знакомых. Докажите, что найдется ученый, который имеет только одного знакомого.

233.В трехмерном пространстве 9 точек расположены так, что никакие три из них не лежат на одной прямой. Каждая точка соединена отрезками ровно с четырьмя другими. Докажите, что найдутся три отрезка, образующие треугольник.

234.Может ли в государстве, в котором из каждого города выходят ровно три дороги, быть ровно 100 дорог?

235.Группа, в составе которой Петр совершил туристскую поездку, состояла из пятнадцати человек. Вернувшись из путешествия, Петр рассказал, что каждый участник группы был ранее знаком ровно с пятью другими участниками. Возможно ли это?

236.Одиннадцать школьников, уезжая на каникулы, договорились, что каждый из них пошлет открытки трем из остальных. Может ли оказаться так, что каждый получит открытки именно от тех, кому напишет сам.

237.Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четное.

238.Можно ли на плоскости так нарисовать 9 отрезков, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими?

239.Города страны соединены авиалиниями. Из столицы выходит 21 линия, из города Дальний – одна, а из каждого из остальных городов – по двенадцать линий. Докажите, что из столицы можно долететь до города Дальний (возможно с пересадками).

240.Среди 9 мушкетеров некоторые поссорились и вызвали друг друга на дуэль. Оказалось, что нет ни одной такой тройки мушкетеров, в которой все должны драться между собой.

40