Дискретная математика (90

113.Сколькими способами можно составить вес в 78 г, пользуясь восьмью разновесками в 1, 1, 2, 5, 10, 10, 20, 50 г? При этом считается, что применение двух различных разновесок, хотя бы и имеющих одинаковый вес, дает различные комбинации.

114.Сколькими способами можно получить по восьми разным предметам оценки 3, 4 или 5 так, чтобы их сумма равнялась 30?

115.Сколькими способами можно составить 6 «слов» из всех 32 букв, если в совокупности этих 6 слов каждая буква используется один и только один раз?

116.Компания, состоящая из 10 супружеских пар, делится на 5 групп по 4 человека для лодочной прогулки так, чтобы в каждой лодке оказались двое мужчин и две женщины.

а) Сколькими способами можно их разделить?

б) Во скольких случаях данный мужчина окажется в одной лодке со своей женой?

в) Во скольких случаях данные двое мужчин окажутся каждый в одной лодке со своей женой?

117.Сколькими способами можно расставить 12 белых и 12 черных шашек на черные поля доски так, чтобы:

а) это положение было симметрично относительно центра доски;

б) при симметрии относительно центра доски цвета всех шашек менялись?

118.Горизонтали шахматной доски обозначаются обычно цифрами от 1 до 8, а вертикали — буквами от а до h. Занумеруем по вертикали числами от 1 до 8, причем в произвольном порядке. Теперь напишем на каждом поле произведение чисел, означающих соответствующие горизонталь и вертикаль, и расставим произвольным образом 8 ладей так, чтобы они не били друг друга. Найдите произведение чисел, закрытых этими ладьями.

119.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске двух коней – белого и черного, так, чтобы они не били друг друга?

120.Поставьте на шахматную доску 5 ферзей так, чтобы они держали под ударом все ее поля.

21

121.Поставьте на шахматную доску 8 фигур (короля, ферзя, двух ладей, двух слонов, двух коней) так, чтобы они держали под ударом наибольшее число полей.

122.Какое наименьшее число слонов надо поставить на шахматную доску, чтобы они держали под боем каждое поле доски

икаждый слон был защищен другим?

123.Расставьте на шахматной доске наименьшее число ладей так, чтобы каждое поле было бито, по крайней мере, два раза. Решите задачу в двух вариантах:

а) считая, что ладья не бьет полей, заслоненных от нее другими ладьями;

б) считая, что она бьет такие поля.

124.Какое наименьшее число коней нужно расставить на шахматной доске, чтобы все поля были под ударом (поле, где стоит конь, считается под ударом)?

125.На плоскости проведены n прямых так, что никакие три из них не пересекаются в одной точке. На сколько частей делится плоскость?

126.1000 точек являются вершинами выпуклого тысячеугольника, внутри которого расположено еще 500 точек так, что никакие три из этих 1500 точек не лежат на одной прямой. Данный тысячеугольник разрезан на треугольники так, что все указанные 1500 точек являются вершинами треугольников и никаких других вершин эти треугольники не имеют. Сколько получится треугольников при таком разрезании? А если дан n-угольник и внутри m точек?

127.а) На сколько частей делят плоскость n прямых линий, из которых никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну и ту же точку?

б) На сколько частей делят пространство n плоскостей, из которых никакие 4 не содержат одну и ту же точку, никакие 3 не содержат одну и ту же прямую и никакие 2 не параллельны?

128.а) На сколько областей делят плоскость n окружностей, каждые две из которых пересекаются и никакие три из которых не проходят через одну и ту же точку?

22

б) На сколько областей делят пространство n попарно пересекающихся сфер, из которых никакие 4 не проходят через одну и ту же точку и никакие 3 – через одну и ту же окружность?

129.Можно ли представить число 1958 в виде суммы нескольких последовательных натуральных чисел? А 2004? 2005?

130.Пять человек играют несколько партий в домино (двое на двое), причем каждый играющий играет с каждым один раз в паре

идва раза – в качестве противников. Найдите количество сыгранных партий и все способы распределения играющих.

131.В выражении (1 x)56 раскрыты скобки и приведены

подобные слагаемые. Найти коэффициенты при x12 и x48 .

132.Что больше: 9950 10050 или 10150 ?

133.На плоскости проведены m параллельных прямых и n прямых, пересекающих их и друг друга. Никакие три не проходят через одну точку. На сколько частей они разбивают плоскость?

134.В начале координат находится частица. Через 1 секунду она распадается на две частицы, одна сдвигается на единицу длины влево, а другая — вправо. Этот процесс повторяется через каждую секунду, причем две частицы, оказавшиеся в одной точке, взаимно уничтожаются (так что, например, через две секунды остается две частицы). Сколько частиц будет через 129 секунд? Через n секунд?

135.Сеть метро имеет на каждой линии не менее 4 станций, из них не более 3 пересадочных. Ни на какой пересадочной станции не пересекается более двух линии. Какое наибольшее число станций может иметь такая сеть, если с любой станции можно проехать на любую другую, сделав не более двух пересадок?

136.Можно ли проложить в городе 10 автобусных маршрутов

иустановить на них остановки так, что какие бы 8 маршрутов ни были взяты, найдется остановка, не принадлежащая ни одному из этих маршрутов, а любые 9 маршрутов проходят через все остановки?

137.Сторона куба равна 3 см. Найдите наименьшее количество распилов, которые нужно сделать, чтобы распилить его на 27 кубиков со стороной 1 см (части куба после распиливания можно перекладывать).

138.В коробке находятся 50 деталей, из которых 10 бракованных. Из коробки наудачу берут 5 деталей. Найти число различ-

23

ных способов взятия 5 деталей, среди которых ровно 3 бракованных.

139. На корабле имеется 7 флажков семи основных цветов. Для передачи команды на другой корабль на мачту поднимают k (1 k 7 ) флажков. Эти флажки располагают по вертикали сверху вниз. Каждому способу расположения к таких флажков соответствует свое слово – своя команда, различным способам расположения k флажков соответствуют разные слова-команды.

Сколько существует различных команд, которые можно передать при помощи k флажков? Сколько существует различных команд, которые можно передать этими флажками?

140. Найти сумму:

Cn1 2Cn2 3Cn3 ... nCnn .

141.Сколько можно образовать 7-значных чисел из цифр 1, 2, …, 8 с тем, чтобы цифра 2 входила в каждое число не менее чем 3 раза?

142.Пусть p1, p2, …, pn – различные простые числа. Сколько

делителей имеет число q = p1 p2 …pn, включая 1 и q?

143. Каким числом способов можно разделить колоду из 36 карт пополам так, чтобы в первой и во второй пачке было по

2туза?

144.В вещевой лотерее разыгрывается 8 предметов. Первый человек вынимает из урны 5 билетов. Каким числом способов он может их вынуть, чтобы: а) было ровно два выигрыша; б) по крайней мере два выигрыша. Всего билетов 50.

145.Даны 2n элементов. Рассматриваются всевозможные разбиения их на пары, причем их разбиения, отличающиеся только порядком элементов внутри пар и порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько таких разбиений?

146.Сколькими способами можно выбрать 3 пары из n шахматистов?

147.Из колоды в 36 карт наудачу без возвращения вынимают по одной карте 3 раза. Сколько существует различных способов получения 3-х карт, среди которых на первых двух местах – бубна, а на третьем – пика?

24

148. На полке наудачу располагаются 10 книг: а) сколько существует различных способов расположения 10-ти книг? б) сколько существует различных способов расположения 10-ти книг, при которых 2 заранее помеченные книги окажутся рядом? в) сколько существует различных способов расположения 10-ти книг, при которых 3 заранее помеченные книги окажутся рядом?

149.В кондитерском магазине продавались четыре сорта пирожных: наполеоны, эклеры, песочные и слоеные. Сколькими способами можно купить семь пирожных?

150.За круглый стол садятся n мужчин и n женщин. Два лица одного пола не могут сидеть рядом. Сколькими способами можно их рассадить?

151.Группа из 41 студентов успешно сдала сессию из трех экзаменов. Возможные оценки – 3, 4, 5. Доказать, что по крайней мере 5 студентов сдали сессию с одинаковыми оценками.

152.Сколько существует n-значных чисел, у которых сумма

цифр равна k (k 9) ?

153.Сколько существует n-значных натуральных чисел, у которых цифры располагаются в неубывающем порядке?

154.Какова вероятность, купив один билет, угадать в спортлото (из 49): ровно k номеров (k = 1, 2, …, 6)?

155.Какова вероятность, купив один билет, угадать в спортлото (из 49) хотя бы k номеров?

nn1 n2 ... nk .

157.Доказать с помощью комбинаторных рассуждений

тождество:

n C kn (m 1)n k mn k 0

158. Сколько существует чисел от 0 до 10n , в которые не входит две идущие друг за другом одинаковые цифры?

159. Сколькими способами можно выбрать 6 карт из 52 так, чтобы были карты каждой масти?

25

160.Доказать, что произведение последовательных натуральных k чисел делится на k!

161.Доказать, что число последовательностей длины n с элементами из k-элементного множества, содержащих каждый элемент этого множества по крайней мере 1 раз, равно k!S(n, k).

162.Доказать, что число бинарных последовательностей длины n, не содержащих единиц ни в каких двух соседних позициях, равно числу Фибоначчи Fn+1.

163.Найти производящую функцию следующей последовательности:

1, n 0,1,...N f (n) 0, n N

Найти производящие функции:

0, n 0

f (n) n / n!, n 1,2,...

n 1, n 0,1,...N f (n) 0,n N 1

165. Доказать, что nCnk 11 kCnk .

166. Доказать, что Cnk 1 Cnk Cnk 11 Cnk 22 ... Cn0 k .

167. Каких чисел больше среди первого миллиона: тех, в записи которых есть 1 или где ее нет?

168.Доказать, что (3n)! делится на (n!) без остатка.

169.Сколькими способами n-элементное множество делится на два непустых подмножества?

170.Доказать, что в треугольнике Паскаля сумма чисел, сто-

ящих в n 1 строке, равна 2n .

171.В каких строках треугольника Паскаля все числа нечет-

ные?

172.Найти количество 6-значных чисел, в десятичной записи которых есть хотя бы одна четная цифра.

26

173.Сколько существует бинарных симметрических матриц порядка n?

174.50 человек пришли на банкет. Найти вероятность того, что обратно хотя бы один из них уйдет в своей шляпе (подразумевается, что банкет удался и шляпы будут разбираться случайным образом).

175.Определить число различных бинарных квадратных матриц порядка n, содержащих в каждой из первых m строк по r единиц, а в каждой из остальных строк по q единиц.

176.Определить число различных бинарных квадратных матриц порядка n, в каждой строке и в каждом столбце которых стоит по одной единице.

177.Из чисел от 1 до п составлены всевозможные произведения, состоящие из k различных сомножителей (k фиксировано). Сколько полученных произведений делится на простое число р<=n?

178.При условии, что никакие три диагонали выпуклого n- угольника (n 5 ) не пересекаются в одной точке, найти число отрезков, на которые разбиваются диагонали точками пересечения.

179.На плоскости даны пять точек. Среди прямых, соединяющих эти точки, нет параллельных, перпендикулярных и совпадающих. Проводим через каждую точку перпендикуляры ко всем прямым, которые можно построить, соединяя попарно остальные четыре точки. Каково максимальное число точек пересечения этих перпендикуляров между собой, не считая данных пяти точек?

180.На окружности дано п точек и проведены всевозможные хорды, соединяющие эти точки. Известно, что никакие три из проведенных хорд не пересекаются в одной точке. На сколько частей разбивается круг?

181.В розыгрыше первенства страны по футболу участвуют 20 команд. Какое наименьшее число игр должно быть сыграно, чтобы среди любых трех команд нашлись две, уже игравшие между собой?

182.На шахматную доску произвольным образом поставили две ладьи (черную и белую). Что вероятнее: эти ладьи могут побить друг друга или нет?

27

183.Шахматная доска размером 6x6 покрыта 18 костями домино размером 2 x 1 (таким образом, что каждая кость покрывает две клетки). Доказать, что при любом таком покрытии доску можно разрезать на две части по горизонтальной или вертикальной прямой, не повредив ни одной кости домино.

184.Клетки шахматной доски занумерованы по порядку числами от 1 до 64: первый горизонтальный ряд слева направо — числами от 1 до 8, второй горизонтальный ряд слева направо – числами от 9 до 16 и т. д. На доске расставлены 8 ладей так, чтобы они не били друг друга. Какое значение может принимать сумма номеров клеток, на которых стоят ладьи?

185.В каждой клетке шахматной доски размером n n поставили число, указывающее количество прямоугольников, в которые входит эта клетка. Чему равна сумма всех поставленных чисел?

186.Доказать, что из любых пяти грибов, растущих в лесу и не расположенных на одной прямой, всегда можно найти четыре таких, которые служат вершинами выпуклого четырехугольника.

187.В городе N живет человек, совершающий ежедневно прогулку и проходящий при этом путь длины п. Расстояние между соседними перекрестками равно 1. Этот человек никогда не движется на северо-запад или северо-восток. На каждом перекрестке он с вероятностью 1/2 поворачивает или на юго-восток, или на юго-запад. Если путь начинается в точке А, то какова вероятность этому человеку в конце прогулки попасть в k-й перекресток n-го ряда?

188.Доказать, что вероятность попасть в четные перекрестки n-го ряда равна вероятности попасть в нечетные перекрестки n-го ряда (см предыдущую задачу). Какое свойство сочетаний Спk из этого следует?

189.В уравнении ах = b параметры a и b выбираются наудачу соответственно из сегментов l<a<m, 1 < b< п. Какова вероятность того, что корень этого уравнения будет больше 1, при условии, что т, п, а, b — натуральные числа?

190.(т, п) — точка с целыми неотрицательными координатами

ти п. Найти число различных путей длины т+п, ведущих из начала координат в точку (т, п) и состоящих из отрезков, параллельных осям координат, при условии, что концами отрезков служат точки с целочисленными координатами.

28

Задачи с решениями

191. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети: C74 =35, число четверок у Вали из 9 дисков – C94 = 126.

По правилу умножения находим число обменов: 35х126=4410.

192. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров,

8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний C52 =10 способами, из 8 сержантов 4 – C84 =70, из 70 рядовых 15 – C7015 . По правилу умножения находим число выбора отряда:

9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать C63 =20 способами, из 9 алмазов 5 – C95 =126, из 7 сапфиров 2 – C72 =21. По правилу

умножения находим число вариантов: 20 х 126 х 21 = 52920.

194. На выборах победили 9 человек – Сафонов, Нестеров, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Можно было решать по-другому. На должность председателя выбираем из 9 человек, на заместителя – из 8, на профорга – из 7. По правилу умножения получаем: 9 х 8 х 7 = 504.

195. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

29

На должность директора выбираем из 25 человек, на завуча начальной – из 24, завуча среднего звена – из 23, завуча по воспитательной работе – 22. По правилу умножения получаем: 25 х 24 х 23 х 22 = 303600. Или, зная формулу размещения,

196. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6 х 8 х 10 = 480 способами, для Васи – 5 х 7 х 9 = 315, для Коли – 4 х 6 х 8 = 192. По правилу умножения получаем: 480 х 315 х 192 = 29030400 способами.

197. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв – а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно C92 = 36 способами. Из 10 цифр выбрать

3 можно C103 = 120 способами. Применяя правило умножения,

получаем: 36 х 120 = 4320.

198. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?

Другой способ решения: 1 цвет выбирается из 8 тканей 8 способами, 2 цвет выбирается 7 способами, 3 цвет – 6 способами.

Используя правило умножения, получаем: 8 х 7 х 6 =

336способов.

199.В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

30