ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (110

829 296 829 1000 296 ). Заметим также, что 7 11 13 1001.

Запишем далее N так:

N n 1001 n Q n 1001 ( n Q) ;

отсюда получим:

Из (4) следует вывод: для того чтобы число N делилось на 7, или на

11, или на 13, необходимо и достаточно, чтобы число n Q (или Q n )

делилось на 7, или на 11, или на 13.

Примеры

1. Делится ли число 56 704 на одно из чисел: 7, 11, 13? Находим:

Q n 704 56 648 .

Но число 648 не делится ни на 7, ни на 11, ни на 13; следовательно, и данное число не делится ни на одно из чисел: 7, 11, 13.

2. Делится ли число 454111 на 7?

454111 343, 343 7 ; следовательно, 454 111 7 .

4.Проверка результатов арифметических действий

Спомощью сравнений легко узнать необходимые признаки правильности и достаточные признаки неправильности результатов выполнения арифметических действий сложения, вычитания и умножения целых чисел.

Результат действий сложения, вычитания и умножения есть целая рациональная функция компонент, а потому если вместо данных чисел взять наименьшие положительные или наименьшие по абсолютной величине вычеты этих чисел по какому-либо модулю, то результат действий над этими вычетами должен быть сравним по тому же модулю

20

с наименьшим вычетом проверяемого результата. Если сравнение не имеет места, то результат получен неверно. В качестве модуля удобнее брать число, наименьшие вычеты по которому легко вычисляются (например, для десятичной системы счисления – 9 или 11). В случае 9 можно брать вместо наименьших вычетов просто сумму цифр, в случае 11 – разность между суммами цифр, стоящих на четных и нечетных местах (считая справа налево).

Следует отметить, что неправильность соответствующего сравнения гарантирует неправильность выполнения действий. Правильность соответствующего сравнения лишь подтверждает, но не гарантирует правильность результата. Дело в том, что проверкой с помощью 9 или 11 не может быть обнаружена ошибка на число, кратное 9 или 11 соответственно.

Поэтому чаще всего проверяют одновременно числами 9 и 11. В этом случае возможна ошибка на число, кратное 99, но вероятность такой ошибки очень мала.

Примеры

1. Проверим правильность выполнения действий (с помощью 9 и 11):

8 740 297 - 561 245 8 179 052 .

а) Проверка девяткой. Заменяем числа суммами их цифр:

37 - 23 32 (mod 9), 14 32 (mod 9) .

Сравнение подтверждает, но не гарантирует правильности выполнения действий.

б) Проверка числом 11.

8 740 297 (7 2 4 8) (9 0 7) 5 (mod 11), 561 245 (5 2 6) (4 1 5) 3 (mod 11),

8 179 052 (2 0 7 8) (5 9 1) 2 (mod 11).

Получим:

5 3 2 (mod 11), 2 2 (mod 11)

Проверка одиннадцатью подтверждает правильность получения

21

результата (хотя абсолютной гарантии нет, так как возможна ошибка на число, кратное 99).

Проверим правильность выполнения действий (с помощью 9):

375 426 3846 1 443 888 276.

Заменяем числа суммами их цифр:

27 21 51(mod 9) ,

т. к. 0 3 6 (mod 9) . Следовательно, действие выполнено неправильно.

Результат деления проверяется с помощью контроля умножения (делимое равно делителю, умноженному на частное, плюс остаток). Вообще следует иметь в виду, что соблюдение контроля при неверных вычислениях связано, по меньшей мере, с двукратной ошибкой в вычислениях, поэтому следует признать контроль (даже одним числом) действенным.

2.Найдите последние три цифры числа 243 402 .

3.Методом сравнений докажите такие утверждения:

а) 25n 1 делится на 31;

б) 2222 5555 5555 2222 делится на 7 ; в) 4323 24 43 делится на 66.

4. Проверьте правильность результата вычислений числом 9 :

а) 12 376 (809 - 745 934) 432 97 215 964 907 727;

б) (3783 7 298 348) 10 (427 019 - 4512 ) 50 578 298 940 .

5. Проверьте правильность результата вычислений числом 11:

а) 437 86 16 384 54 866;

б) 8264 5201 42 981 064;

в) (27082 8 513 874) 18 373 179 276 181 597 .

22

Основная литература

1.Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979.

2.Казачек Н.А. и др. Алгебра и теория чисел (под общей редакцией Н.Я. Виленкина). – М.: Просвещение, 1979.

3.Михелович Ш.Х. Теория чисел. – М.: Высшая школа, 1962.

4.Бухштаб А.А. Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966.

5.Кудреватов Г.А. Сб. задач по теории чисел. – М.: Просвещение,

1966.

6.Грибанов В.У., Титов П.И.Сборник упражнений по теории чисел. – М.: Просвещение, 1964.

Дополнительная литература

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. – М.: Просвещение, 1972. 2. Солнцев Ю.К., и др. Арифметика рациональных чисел. Изд. 3. –

М.: Просвещение, 1971.

3. Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И. Контрольные работы и методические указания по арифметике рациональных чисел. – М.: Учпедгиз, 1960.

24

Содержание

Предисловие…………………………………………………………………...3

§1. Сравнение по модулю……………………………………………………4

§2. Свойства сравнений……………………………………………………...5

§3. Арифметические приложения теории сравнений……………………9

1.Обращение несократимой обыкновенной дроби в десятичную…...9

2.Нахождение остатков при делении на данное число……………...13

3.Признаки делимости………………………………………………...17

4.Проверка результатов арифметических действий………………...21

Литература……………………………………………………………………24

25