Избранные задачи теории делимости (110

УДК 512.1 (075.3) ББК 22.141 я 72 С 73

Рецензенты:

С.А. Герасименко кандидат физико-математических наук, доцент А.С. Ракитянский кандидат физико-математических наук, доцент

Л.П. Соболева, Г.М. Гузаиров.

Избранные задачи теории делимости. Изд-е 5-е, переработанное. Оренбург: Издательство ОГПУ, 2010. 28 с.

УДК 512.1 (075.3) ББК 22.141 я 72

°c Соболева Л.П., 2010 °c Гузаиров Г.М., 2010 °c Изд-во ОГПУ, 2010

3

Содержание

4

0ПРЕДИСЛОВИЕ

Это пособие рассчитано на старшеклассников, обучающихся в заочной физико–технической школе ОЦДНТТ (Оренбургского областного центра детского научно–технического творчества). Оно состоит из нескольких частей; рекомендуем начать с части 2 контрольной работы ЗФМШ возможно, некоторые задачи удастся решить сразу, но в любом случае полезно ознакомиться

схарактером этих задач, а затем перейти к методической части 1.

Вчасти 1 изложены основные понятия теории делимости; здесь же приведены примеры задач с решениями, по аналогии

скоторыми можно решить и контрольные задачи.

Вчасти 2 (на с.22) содержится контрольная работа из десяти задач, которую следует выполнить, оформить и выслать в сроки, установленные в ЗФМШ.

Вчасти 3 собраны дополнительные задачи, предназначенные для самостоятельного решения; эти задачи в число контрольных не включаются.

Вчасти 4 приведены решения контрольных задач: эта часть включается только в специальные издания для учителей.

При оформлении контрольной работы следует привести текст каждой решенной задачи (тексты нерешенных задач не следует воспроизводить). Работу можно считать успешно выполненной при правильном решении хотя бы половины контрольных задач.

При составлении пособия использовались разные сборники задач, ссылка на которые не приводится по понятным причинам. В качестве дополнительной литературы, помимо содержащейся в работе методической части и школьных учебников, по нашей теме и другим разделам школьной математики можно рекомендовать следующие книги:

5

Задачники по элементарной математике:

1.В.В. Прасолов. Задачи по алгебре, арифметике и анализу. http: //www.mccme.ru/prasolov

2.Д.О.Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом. Избранные задачи и теоремы элементарной математики, ч.1. Арифметика и алгебра. 5-е.изд. М.: Наука, Физматлит, 1976. – 384 с.

Справочники и энциклопедии по элементарной математике:

3.М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. М.: Наука, 1966.

4.А.Я. Хинчин. Элементы теории чисел. Энциклопедия элементарной математики, кн. I, Арифметика. Гостехиздат, 1951.

Книги из серии “Популярные лекции по математике”:

5.Н.Н. Воробьев. Признаки делимости. – 4-е изд. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988. – 96 с. Выпуск 39.

6.С.В. Фомин. Системы счисления. – 5-е издание. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. – 48 с. Выпуск 40.

7.Л.А. Калужнин. Основная теорема арифметики. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969. – 32 с. Выпуск 47.

Большинство этих книг, а не только [1], имеют электронные версии в интернете, но некоторые из них, возможно, имеются и в ваших школьных библиотеках.

6

1ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ

Здесь мы напомним некоторые факты из теории делимости целых чисел и приведем примеры решения задач на делимость.

1.1 Делимость целых чисел

Определение 1. Говорят, что целое число m делится на целое же, отличное от нуля, число n или, что число n делит число m и пишут m.n или njm, если существует такое целое число k, что m = nk.

В этом случае m называют кратным числа n, n делителем числа m. Итак, говоря, что m делится на n и записывая m.n, мы всегда подразумеваем выполнение трех условий: 1) m; n 2 Z, 2) n =6 0, 3) m = nk при некотором целом k. Приведем основные свойства делимости:

0.Согласно условию n 6= 0 в определении, число 0 не может выступать делителем никакого числа, даже нуля (хотя 0 = 0 ¢ k при всяком k); с другой стороны, 0 делится на любое целое число, кроме самого нуля.

1.m.1 (всякое целое число делится на единицу).

2.n.n при n 6= 0 (всякое целое, кроме нуля, делится на себя).

3.Если m.n и l любое целое число, то ml.n.

4.Если m.n и n.k, то m.k.

5.Если m.n и k.n, то (m § k).n.

6.Если m.n и n.m, то jmj = jnj (m; n 6= 0).

7.Если m.n, то jmj ¸ jnj.

Предлагаем самим привести доказательства свойств 1 7.

В отличие от этих общих свойств делимости, частные признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 11 привязаны к десятичной системе счисления. Эти признаки изучают в школьном курсе математики, но мы напомним признаки делимости на 9 и 11 (остальные вспомните самостоятельно):

7

Натуральное число

an10n + an¡110n¡1 + : : : + a110 + a0 = anan¡1 : : : a1a0

делится на 9 тогда и только тогда, когда на 9 делится сумма цифр этого числа в десятичной записи, т.е.

anan¡1 : : : a2a1a0.9 () (a0 + a1 + a2 + : : : + an¡1 + an).9: (1)

Натуральное число

an10n + an¡110n¡1 + : : : + a110 + a0 = anan¡1 : : : a1a0

делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится разность суммы цифр, стоящих на четных местах в десятичной записи этого числа, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, т.е.

anan¡1 : : : a1a0 .11 () (a0 ¡ a1 + : : : + (¡1)n¡1an¡1 + (¡1)nan).11:

(2) Известные нам признаки делимости часто допускают те или иные модификации. Приведем, например, обобщение признака делимости на три. Для его формулировки договоримся об обозначениях: если A и B натуральные числа, то под AB будем понимать натуральное число, которое получается выписыванием сначала цифр числа A (в том же порядке, как они следуют в A), затем цифр числа B. Назовем операцию составления числа AB склеиванием чисел A и B, а число AB (результат склеивания) склейкой этих чисел. Склеивание можно выразить через арифметические операции следующим образом: если a число знаков в десятичной записи A, b число знаков в десятичной записи B,

то

AB = A ¢ 10b + B; BA = B ¢ 10a + A:

Операция склеивания может быть определена по аналогии для любого набора натуральных чисел, например, A = 12, B = 345,

C = 6789, тогда ABC = 123456789, CBA = 678934512.

8

В этих терминах и обозначениях мы сформулируем в виде задачи обобщенный признак делимости на 3:

Задача 1. Доказать, что склейка натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма этих же чисел, т.е.

Решение. ? Для случая склеивания двух чисел:

AB.3 () (A ¢10b + B).3 () (A ¢9 : : : 9 + A + B).3 () (A + B).3;

т.к. отбрасывание или добавление слагаемого, делящегося на 3, не нарушает делимости суммы на 3 (у нас такое слагаемое это произведение A на число, записанное с помощью b девяток, где b число знаков в десятичной записи B).

Случай склеивания k чисел ничем не отличается от этого. ?

Заметим, что если A1; A2; : : : ; Ak цифры (т.е. однозначные целые неотрицательные числа), то (3) примет вид школьного признака делимости. Но к следующей задаче школьный признак трудно было бы применить.

Задача 2. Доказать, что делится на 3 число

P = 123 : : : 91011 : : : 99100101 : : : 99910001001 : : : 199920002001;

склеенное из натуральных чисел от 1 до 2001 включительно.

Решение. ? Согласно обобщенному признаку делимости на 3, указанное число делится на 3, если делится на 3 сумма S всех натуральных чисел от 1 до 2001 включительно. Сумма же S находится как сумма 2001 членов арифметической прогрес-

сии с первым членом a1 = 1 и 2001-ым членом a2001 = 2001: S = 1+20012 ¢ 2001 = 1001 ¢ 2001: Очевидно, что S делится на 3,

поэтому и исходное число делится на 3. ?

10

Приведем примеры использования этого предложения к решению задач на делимость.

Задача 3. Доказать, что при всяком целом m число m3 ¡m делится на 3.

Решение. ? Найдем M = m3 ¡ m = m(m2 ¡ 1) = (m ¡

1)m(m + 1); таким образом, при всяком целом m число M представляется в виде произведения трех подряд идущих целых чисел: m ¡ 1; m; m + 1. Одно из чисел m ¡ 1; m; m + 1 делится на 3, поэтому и их произведение делится на 3. ?

Задача 4. Доказать, что сумма кубов трех последовательных целых чисел делится на 9.

Решение. ? Обозначим n, n + 1, n + 2 три последовательных целых числа и P (n) сумму их кубов. Найдем

P (n) = n3 + (n + 1)3 + (n + 2)3 =

= n3 +(n3 +3n2 +3n+1)+(n3 +6n2 +12n+8) = 3n3 +9n2 +15n+9 =

=9(n2 + 2n + 1) + 3(n3 ¡ n) = 9(n + 1)2 + 3(n ¡ 1)n(n + 1):

Вполученном выражении для P (n) первое слагаемое делится на 9, т.к. содержит сомножитель 9; второе слагаемое делится на 9, т.к. содержит в явном виде сомножитель 3, кроме того, на 3 делится один из сомножителей (n ¡ 1); n; (n + 1). Таким образом, вся сумма P (n) делится на 9 при всяком натуральном n. ?

Определение 3. Если целые числа m1 и m2 при делении на натуральное число n дают один и тот же остаток r, то их называют сравнимыми по модулю n и пишут m1 ´ m2 (mod n):

Определение 4. Множество всех тех целых чисел, которые при делении на натуральное n дают один и тот же остаток r, обозначают r и называют r¡тым классом вычетов по модулю n.