ИЗБРАННЫЕ ВОПРОСЫ АЛГЕБРЫ ПОЛИНОМОВ (110

ВВЕДЕНИЕ

Одним из важных и сложных разделов алгебры является решение систем уравнений высших степеней. Чаще всего при их решении применяют метод подстановки, однако нередко он приводит к уравнениям высоких степеней, для решения которых нет общих приемов. Поэтому системы уравнений высших степеней решаются, как правило, различными искусственными приемами, которые трудно найти.

В данном пособии рассматривается один достаточно общий метод решения систем уравнений высших степеней, использующий понятие симметрического многочлена. Этот метод, конечно, не столь универсален как метод подстановки, его нельзя применить к любой системе уравнений, но этим методом может быть решен довольно широкий класс систем уравнений высших степеней. Кроме того, теория симметрических многочленов имеет и другие многочисленные приложения, рассмотренные в пособии.

Наряду с симметрическими многочленами, в пособии рассмотрено и решение алгебраических уравнений 3-й и 4-й степени в радикалах.

Учебно-методической литературы по этим вопросам практически нет,

а потому данное пособие будет полезно студентам педуниверсита и педколледжа, учителям и учащимся средних школ и всем, кто интересуется математикой.

2

Определение 4.

а) Произведением членов ах1 1 х2 2 ... хп п и bх1 1 х2 2 ... хп п называется

многочлена f (х1, х2 , х3 ) равны соответственно 6, 3, 3, 9;

в) степенью многочлена от п переменных называется наибольшая из степеней его членов.

Степень многочлена f (х1, х2 , х3 ) равна 9.

Многочлены от одной переменной принято располагать по убыванию или возрастанию степени переменной, при этом член многочлена,

записанный на первом месте, называется старшим членом многочлена. Многочлены от нескольких переменных так располагать нельзя, как нельзя говорить и о старшем члене такого многочлена, так как в таких многочленах могут встретиться несколько членов одной степени, а в некоторых многочленах степени всех членов могут оказаться равными (такие многочлены называются формой от п переменных, см. многочлен h(х1, х2 , х3 ) ).

4

Существует вполне определенный способ расположения членов многочлена от п переменных, называемый лексикографическим. Сущность его состоит в следующем. Пусть даны два члена многочлена от п переменных:

выше второй. Расположим члены многочлена так: напишем высший член многочлена, затем следующий по высоте член и т. д. Получим лексикографическое расположение членов многочлена. Пример:

g х1, х2 , х3 , х4 х1 х23 х32 х4 2х13 х24 х3 7х13 х24 х32 х47х13 х24 х32 х4 2х13 х24 х3 х1 х23 х32 х4 .

Подчеркнут высший член.

Лемма (о высшем члене произведения многочленов). Высший член произведения двух многочленов равен произведению высших членов перемножаемых многочленов.

5

Пусть к l . При нахождении произведения f g встретятся

следующие произведения их членов: высший высший (в в) , высший

л л вв' хv1 1 хv2 2 ... хvl l хvl 1 l 1 ... хvп п . 1 2 l l 1 п

Сравним их по высоте. Учитывая соотношения (3) и (4), получим:

1 1 v1 12 2 v2 2

........................................

к к vк k

к 1 к 1 vк 1 k 1

Следовательно, (в в) выше, чем (л л) .

Аналогично доказывается, что (в в) выше, чем (в л) и ( л в) .

Следовательно, (в в) – высший член произведения.

Эту лемму можно распространить на любое число сомножителей.

§ 2. Симметрические многочлены от п переменных

Рассмотрим два многочлена от двух переменных:

f (х, у) х2 у ху2 ; g(х, у) х3 3у2 .

Поменяем в этих многочленах х на у , а у на х :

f ( y, x) у2 х ху2 f (x, y) ;

g( y, x) у3 3х2 g(x, y) .

Многочлен f (x, y) не меняется при замене х на у и у на х . Такие многочлены называют симметрическими.

Многочлен g(x, y) симметрическим не является.

6

Определение 1. Многочлен от х и у называется симметрическим,

если он не меняется при замене х на у и у на х .

Рассмотрим простейшие примеры симметрических многочленов от двух переменных.

Из законов коммутативности сложения и умножения следует, что

х у у х и ху ух , т. е. х у и ху – симметрические многочлены. Их называют элементарными симметрическими и используют для них специальные обозначения:

1 х у ,

2 х у .

Примерами симметрических многочленов от двух переменных являются,

так называемые, степенные суммы:

s1 х у

s2 х2 у 2 s3 х3 у3

....................

Определение 2. Многочлен от трех переменных f (х, у, z)

называется симметрическим, если он не меняется ни при одной перестановке этих переменных, т. е., если

f (х, у, z) f (х, z, у) f ( у, х, z) f ( у, z, х) f (z, х, у) f (z, у, х) .

Примеры симметрических многочленов от трех переменных можно строить по аналогии со случаем двух переменных. Наиболее простыми являются симметрические многочлены:

х у z ; х у хz уz ; х у z .

Их также называют элементарными симметрическими многочленами и обозначают так:

1 х у z,

2 х у хz у z,

3 х у z.

7

Степенные суммы:

s1 х у z

s2 х2 у2 z 2 s3 х3 у3 z3

...........................

Другие примеры симметрических многочленов от трех переменных:

х3 у3 z3 3х уz,

(х у)(x z)( y z) ,

х( у4 z4 ) у(х4 z4 ) z(х4 у4 ) .

Существует простой прием построения симметрических многочленов от двух и трех переменных. Для этого достаточно взять любой многочлен 1 и 2 (или 1 , 2 , 3 в случае трех переменных) и

подставить в него вместо элементарных симметрических многочленов их

симметрический многочлен:

(х у z)3 3(х у z)(х у хz уz) х уz х3 у3 z3 4х уz .

Возникает вопрос, является ли этот прием построения симметрических многочленов от двух и трех переменных общим, т. е. можно ли с его помощью получить любой симметрический многочлен? Проиллюстрируем ответ на этот вопрос на примере многочленов от двух переменных. Посмотрим, любой ли симметрический многочлен можно представить как многочлен от 1 и 2 :

s1 х у 1;

s2 х2 у2 (х у)2 2х у 12 2 2 ;

s х3 у3 (х у)(х2 х у у2 ) (х у) (х у)2 3х у 1( 12 3 2 ) .

8

Таким образом, s1 , s2 , s3 без труда выражаются через 1 , 2 .

многочленов от трех переменных. Таким образом, примеры приводят к предположению о том, что справедлива следующая теорема:

Любой симметрический многочлен от двух и трех переменных можно представить в виде многочлена от элементарных симметрических

многочленов.

Обобщим все сказанное на случай многочленов от п переменных и

симметрическим, если он не меняется ни при какой перестановке

многочлены:

1 х1 х2 ... хп ,

2 х1х2 х1х3 ... хп1хп ,

3 х1х2 х3 х1х2 х4 ... хп2 хп1хп ,

...............................................................

п х1х2 ... хп .

9