Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 6 «Векторная алгебра» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

505.6 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Задание 27

Найдите объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A, B, C, D

и высоту, опущенной из вершины D на грань ABC , если:

а)		A (2; 1;1), B (5; 5;																							4),			C (3; 2; 1), D (4;1; 3);
б)		A (2;1; 1), B (3; 0;1),																									C (2; 1;3), D (0; 7; 0).
Решение.
а)		A (2; 1;1), B (5; 5;																							4),			C (3; 2; 1), D (4;1; 3);
Объем параллелепипеда,																											построенного на векторах																	,				и				,			как на ребрах,
Объем параллелепипеда,																											построенного на векторах															a		,	b			и		c		,			как на ребрах,
равен модулю												смешанного													произведения трех													векторов										,							и		:V
равен модулю												смешанного													произведения трех													векторов								a		,			b				и	c	:V	abc
V							1							,V				1					,			,								.
							1			abc								1	AB						AC					AD
										abc									AB						AC					AD
Тетраэдра		6												6
		6												6
Найдем координаты векторов:																																				(3;6;3),			(1;3; 2),															(2;2;2).
Найдем координаты векторов:																																			AB	(3;6;3),		AC	(1;3; 2),										AD					(2;2;2).
Найдем смешанное произведение трех векторов																																									,						,						.
Найдем смешанное произведение трех векторов																																								AB	,		AC				,		AD				.
																	3			6					3							1			2	1	6 3 1 4 3 2 2 18.
																	3			6					3							1			2	1
				,							,						1 3								2				61						3 2
	AB			,				AC			,	AD					1 3								2				61						3 2
																	2			2					2			1							1	1
V					1						,				,						1			18							1		18 3 ед3 .
					1				AB				AC			AD					1										1
									AB				AC			AD
		6																		6									6
		6																		6									6
Из										школьного															курса											известно,			что								объем									тетраэдра
равен:V			1			S H H													3V			.
равен:V						S H H																.
		3																		S

Найдем площадь основания. В основании лежит ABC. Используя геометрический смысл векторного произведения двух векторов, найдем площадь

грани ABC : S 1 AB AC . 2

Найдем векторное произведение двух векторов AB и AC :

i j k

AB AC 3 6

3 12i 9k 3j 6k 9i 6 j 21i 9 j 3k ,

1 3 2

AB AC ( 21;9;3). Найдем длину векторного произведения:

										, т.к. S	1			, то S	1		ед2 .
					21 2 92 32
AB		AC							531			AB	AC			531
AB		AC							531			AB	AC			531
									2					2
H			3 3				18	ед .	2					2
			3 3				18


	1					531
	1			531
2				531
2

б) A (2;1; 1), B (3; 0;1), C (2; 1;3), D (0; 7; 0).

_____________________________________________________________

Ответ. а) V 3 (ед3),	H		18	ед ; б) V 5 (ед3), H 3		ед
			18		5

		531
		531

3 Домашнее задание

Задание 1

Будет ли система векторов линейно зависимой?

а) a1 (2; 3;	5), a2 ( 4; 5; 7), a3	(10;	7; 9);
б) a1 (1; 2;	3; 0), a2 ( 1; 0; 3; 2)	, a3	( 1; 3;12; 5).
Ответ. а) да;	б) да

Задание 2

Образуют ли векторы a1 (1;2;3),a2 (0;1; 1),a3 (2;4;5) базис пространства

R3, если образуют, то найти координаты вектора a4 (5;13;9) относительно нового базиса.

Задание 3

Найдите угол между векторами a (2; 1;3; 2) и b (3;1;5;1) в евклидовом пространстве V4.

Ответ. 4

Задание 4

Является ли линейным подпространством соответствующего векторного пространства каждая из следующих совокупностей векторов:

а) все векторы n- мерного векторного пространства, координаты которых – целые числа;

б) все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат Oxи Oy;

в) все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой;

г) все векторы плоскости трехмерного пространства, концы которых не лежат на данной прямой.

Ответ. а) не является; б) не является; в) является; г) не является

Задание 5
Является ли линейным пространством множество			систем векторов
x1; x2; 0; 0 ,	y1; y2; 0; 0 ,	z1; z2; 0; 0 , где x1, x2, y1, y2, z1, z2	- всевозможные

действительные числа? Сложение элементов и умножение на действительное число определены обычно.

Ответ. Да

Задача 6

Образует ли линейное пространство множество векторов x1; x2;1;1 ,

y1; y2;1;1 , z1; z2;1;1 ?

Ответ. Нет, так как сумма двух элементов множества не является элементом

данного множества

Задача 7

Образует ли линейное пространство множество всевозможных многочленов второй степени 0t2 1t 2, 0t2 1t 2, 0t2 1t 2 , …?

Ответ. Нет, так как сумма двух многочленов второй степени может быть многочленом первой степени или постоянной величиной

Задача 8

Образует ли линейное пространство множество всех многочленов не выше третьей степени?

Ответ. Да

Задание 9
Найдите орт-вектор для векторов: 1)												2;1;2 ;			2)		3;4; 12 .
											a					a
	2		1		2				3		4			12
Ответ. 1) a0		;		;		;	2)	a0		;			;

	3				3
			3						13		13			13

Задание 10
Может ли	a	составлять с двумя координатными осями следующие углы:
а) 30 ; 45 ; б) 60 ; 60 ; в) 150 ; 30 .
Ответ. а) нет;		б) да;	в) нет
Задание 11
Вектор составляет с осями			Oxи Oz следующие углы 120	и 45 .
Какой угол он составляет с осью Oy?
Ответ. либо 60 , либо 120
Задание 12
Даны точки		A(3; 2;2);B(1;2; 1);C( 1;1; 3);D(3; 5;3). Образуют ли точки: А,
B, C, D трапецию?
Ответ. нет

Задание 13

Проверить коллинеарность векторов AB,CD , если A( 1;5; 10);B(5; 7;8)

C(2;2; 7);D(5; 4;2).

Задание 14


Известно, что (					a		,		)				,	(	a	,	c	)			, (			,		c		)						,	a	3,					5,		c			8.
Известно, что (					a		,	b	)				,	(	a	,	c	)			, (		b	,		c		)						,	a	3,				b	5,		c			8.
											2			3																	3
											2			3																	3
Найдите: а) 3	a	2				3			c	; б) 2					a					a		3			c		; в)						a					c	2 ; г)			a		2					3	c	2.
Найдите: а) 3	a	2	b	b		3			c	; б) 2					a				b	a		3			c		; в)						a			b		c	2 ; г)			a		2				b	3	c	2.
Ответ. а) – 62; б) – 114;															в) 162;											г) 373
Задание 15
Даны вершины треугольника																						A (3; 2; 3),															B(5;1; 1)										и		C(1; 2;1).
Определите внутренние угла треугольника АВС.
											2																		1																8
Ответ. A arccos														; B arccos																		;			C arccos
Ответ. A arccos														; B arccos																		;			C arccos
								3				5											3							29																145

Задание 16

Найдите

координаты вектора

, если

(2;1; 1) и вектор

удовлетворяет условию

Ответ. c

;

Задание 17

Вектор c , перпендикулярный к векторам a (3;2;2) и b (18; 22; 5), и

образует с осью OY тупой угол. Найти координаты c , зная, что c 14.

Ответ. c 4; 6;12

Задание 18

Найти векторное произведение

двух векторов, если

j 2k и

2 j 4k .

Ответ.

10 j 7k

Задание 19

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b .


	a	2	p	3	q	,	b	5	p	q	,	q	3,			p	2, (		p	,	q	)			.
	a	2	p	3	q	,	b	5	p	q	,	q	3,			p	2, (		p	,	q	)			.
																							2
				Ответ. S 102 ед2																			2
				Ответ. S 102 ед2
				Задание 20
Найдите площадь треугольника																		с вершинами в точках A (1; 2; 1), B (3; 3; 2),
C (2; 1;1).
				Ответ. Sтреугольника										1				(ед2)
														1	171
															171
2
				Задание 21
				Даны вершины тетраэдра														A (2; 3;1),					B (4;1; 2), C (6; 3; 7),			D ( 5; 4;8).
Найти длину высоты, опущенной из вершины																								D.
				Ответ. Н 11(ед)

Задание 22

Компланарны ли вектора a (2;3; 1), b (1; 1;3), c (1;9; 11)?

Ответ. да

Задание 23

Найти смешанное произведение a,b,c трех векторов a, b и c, если a 2i 3j k , b 5 j 3k ,c 7k .

Ответ. 70

Задание 24

Выяснить какова ориентация тройки векторов a (3; 1;1), b (5;2; 2),

c (1; 3;1).

Ответ. левая

4 Самостоятельная работа

УРОВЕНЬ 1
Задача 1
Коллинеарны ли векторы a 2p 4q ,	b p 3q, если	p (1; 2;3)и

q (3;0; 1)?

Задача 2

Определить при котором векторы a ( 2 ;2;3), b (4;8;0) ортогональны.

Задача 3

Найдите площадь треугольника с вершинами в точках A(1;2;0), B(3;0; 3),

C(5;2;6).

Задача 4

Даны вершины треугольника A (3; 2; 3), B(5;1; 1), C(1; 2;1). Определите внешний угол при вершине В.

Задача 5

Даны вершины треугольника A (1; 2;3), B(0; 1;2), C(3;4;5). Найдите

площадь треугольника.

Задача 6

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках A(0;0;1),

B(2;3;5), C(6;2;3), D(3;7;2) и высоту, опущенной из вершины D на граньABC .

	Задача 7
	При каком значении параметра t векторы	a	(1;3;2t),		(0;2;t),
				b
c	(2;1;t)будут компланарны?
	Задача 8

Выяснить, линейно зависимы или нет три вектора, если 1) a 2i 2j 4k ,

b j 3k , c 2i j k ; 2) a j k , b i 3j 2k , c 2i k .

Задача 9

Показать, что точки A(5;7; 2), B(3;1; 1), C(9;4; 4), D(1;5;0) лежат в одной

плоскости.

Задача 10

Вектор c , коллинеарный вектору a (1; 3;2) образует тупой угол с осью OZ.

Зная, что c 56 , найдите его координаты.

УРОВЕНЬ 2

Задача 1

Дана сила F (4;4; 42). Найдите величину и направление силыF.

Задача 2

Три силы F1,F2,F3 приложены к одной точке, имеют взаимно перпендикулярные направления. Найдите величину их равнодействующей F, если

известны величины их сил:

10,

11.

Задача 3

Найти работу равнодействующей сил

F1 i

j k

и F2 2i j 3k

при

перемещении точки приложения из начало координат в точку M(2; 1; 1).

Задача 4

Найдите угол между

векторами

(

)

Задача 5

Определите t,если площадь параллелограмма, построенного на векторах a

и b a (t;0;6), b ( 2;2;3)как на сторонах, равна 28.

Задача 6

Найдите модуль смешанного произведения векторов

, если

ортогонален векторам

,угол между

равен 450,а модули векторов

соответственно равны 4,

2,3.

Задача 7

Лежат ли в одной плоскости

линии действия

сил

(3;1;2)

( 1;2;3),приложенных в точках A(1;2;1)и B(3;5;3)?

Задача 8

Какому условию должны удовлетворять векторы a, b, чтобы векторы

3a b , a 3b были коллинеарны ?

Задача 9

Найдите координаты вектора c , зная, что он перпендикулярен к оси OZ и

удовлетворяет условию c a 9, c b 4, где a (3; 1;5) и b (1;2; 3).

Задача 10

В треугольнике ABC вершины имеют координаты A(1;1; 1), B(2;3;1),

C(3;2;1).Найдите острый угол между медианой BDи стороной AC.

5Тест

1.Точка С являющейся серединой отрезка АВ, где А(3;-1) и В(5;-3)имеет координаты:

а) С(8;-4);

б) С(4;-2);

в) С(2;-2);

г) С(1;-1).

2.Даны точки А(2;-3) и В(4;1), где В – середина отрезка АС. Точка С имеет координаты:

а) С(6;-2);

б) С(3;-1);

в) С(1;2);

г) С(6;5).

Скалярное произведение векторов

, если

(2;1;0),

(1;1; 3)равно:

а)-3;

б)1;

в)2;

г)3.

Угол между

векторами

, если

( 2; 3;1),

( 3; 1; 2) равен:

а) 600;

б) 300;

в) 900;

г) 00.

5.Скалярное произведение векторов aи b, где φ – угол между векторами aи b,

если a 3, b 4, 600равно:

а)5;

б)6;

в)4;

г)2.

Угол между векторами

если

(12;18; 6),

( 4; 6;2) равен:

а) 600;

б) 300;

в) 1800 ;

г) 00.

Векторное произведения двух векторов

(1; 3;4)

(3;5; 1)равно:

а) (4;2;3);

б) (3; 15; 4);

в) ( 17;13;14);

г)-16.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]