Моделирование процессов с нелинейностями гистерезисного типа (110
..pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ С НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ ГИСТЕРЕЗИСНОГО ТИПА
Составители: М. Б. Зверева, М. И. Каменский, Е. В. Рачинский
Учебно-методическое пособие
Воронеж Издательский дом ВГУ
2016
Утверждено научно-методическим советом математического факультета 27 ноября 2016 г., протокол № 5000-08
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. В. А. Костин
Учебно-методическое пособие подготовлено на кафедрах математического анализа и функционального анализа математического факультета Воронежского государственного университета.
Рекомендуется для студентов и аспирантов математического факультета, а также для специалистов.
Для направлений 02.03.01, 02.04.01 – Математика и компьютерные науки
Содержание
§1. Функции ограниченной вариации |
4 |
§2. Некоторые сведения из выпуклого анализа |
7 |
§3. Опорные функции |
12 |
§4. Sweeping процессы |
18 |
Список литературы |
25 |
3
§1. Функции ограниченной вариации
Пусть H гильбертово пространство (ГП), т.е. в H определено скалярное произведение, и H является полным по норме, порождаемой
u: [a; b] H. |
k |
|
k |
|
p |
|
|
скалярным произведением, т.е. |
|
x |
|
= |
|
(x; x). Рассмотрим функцию |
!
Функция u(t) называется функцией ограниченной вариации, если существует константа C такая, что для любого разбиения отрезка [a; b]
|
|
|
|
|
|
|
|
N 1 |
точками a = t0 < t1 < : : : < tN |
= b выполняется i=0 ku(ti+1) u(ti)k 6 C. |
|||||||
|
(u) |
функции |
u(t) называется |
|||||
Полной вариацией Var |
|
|
|
P |
||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
sup |
Xi |
u t |
|
|
u t |
|
; |
|
|
=0 |
k |
( |
i+1) |
( |
i)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где sup берется по всевозможным разбиениям отрезка [a; b].
Пример 1.1. Если функция u: [0; T ] ! H удовлетворяет условию Липшица с константой L > 0, т.е. для любых t; s 2 [0; T ] верно ku(t) u(s)k 6 L jt sj, то u(x) является функцией ограниченной вариации,
причем Var(u) 6 L T .
В самом деле, для любого разбиения отрезка [0; T ] верно
N 1 |
N 1 |
|
X |
Xi |
ti) = L T: |
ku(ti+1) u(ti)k 6 L |
(ti+1 |
|
i=0 |
=0 |
|
N 1 |
|
|
P
Следовательно, Var(u) = sup ku(ti+1) u(ti)k 6 L T .
i=0
Заметим, что непрерывная функция, вообще говоря, не является функцией ограниченной вариации. В качестве примера рассмотрим функцию
|
8 x sin |
|
; |
если 0 < x 6 2; |
|
f(x) = |
|
||||
x |
|||||
|
< |
0; |
|
|
если x = 0; |
|
: |
|
|
|
|
4
которая, как нетрудно видеть, непрерывна на отрезке [0; 2]. Для разбие-
ния, состоящего из точек |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0; |
|
|
; |
|
|
; : : : ; |
|
; |
|
; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
2n 3 |
5 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
соответствующая в определении вариации сумма равна |
2 |
+ 3 |
+: : :+ n; |
|||||||||||||||
2 + 3 + |
3 |
+ 5 +: : :+ |
2n 3 |
+ 2n 1 + 2n 1 > |
||||||||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
1 |
1 |
1 |
|
a это число может быть сделано сколь угодно большим за счет выбора
достаточно большого n, так как ряд |
1 1 |
|
расходится. Таким образом, |
||||
|
|
|
|||||
n=1 n |
|||||||
f(x) |
|
|
|
||||
не является функцией |
ограниченной вариации. |
||||||
|
|
P |
|
Из определения следует, что множество функций ограниченной ва-
риации образует линейное пространство, т.е. верны следующие свойства.
1.Если постоянное число, то V ar( f) = j jV ar(f):
2.Если f, g функции ограниченной вариации, то f + g тоже является функцией ограниченной вариации, и V ar(f + g) 6 V ar(f) + V ar(g):
Теорема 1. Пусть H ГП, un последовательность функций un : [0; T ] ! H таких, что 8 n 2 N kun(t)k 6 M1, Var(un) 6 M2. Тогда существует подпоследовательность unk , слабо сходящаяся в H для
|
! |
|
|
!1! |
|
всех t к некоторой функции u: [0; T ] |
|
H |
unk |
(t) слабо |
u(t) , т.е. |
|
|
|
|
k |
|
hunk (t); zi ! hu(t); zi при k ! 1. При этом Var(u) 6 M2.
Предлагаем доказать в качестве упражнения.
Про слабую сходимость нам в дальнейшем потребуется следующий
факт. (Предлагаем доказать в качестве упражнения.)
слабо
Лемма 1. Пусть un ! u. Тогда
n!1
а) kuk 6 lim kunk.
n!1
б) Если un 2 C + B"n (0), где B"n (0) замкнутый шар с центром
в 0 и радиусом "n, C H замкнутое выпуклое множество,
"n ! 0, то u 2 C.
n!1
5
Упражнения.
1.1Докажите, что всякая функция ограниченной вариации ограничена.
1.2u(t) = const , Var(u) = 0.
1.3Пусть u: [0; T ] ! R, u(t) монотонная функция. Докажите, что u(t) является функцией ограниченной вариации, причем Var(u) = ju(T ) u(0)j.
1.4Пусть u: [0; T ] ! R является функцией ограниченной вариации. Тогда u(t) = u1(t) u2(t), где функции u1(t) и u2(t) не убывают на
[0; T ].
1.5Пусть функция u(t) представляет собой ломаную в гильбертовом
пространстве, т.е. существуют точки 0 = t0 < t1 < : : : < tN =
|
|
+ |
|
t |
t |
i |
|
(ui+1 ui), t 2 [ti ; ti+1], где |
|
T такие, что u(t) = ui |
|
|
|
||||||
ti+1 |
|
|
ti |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui = u(ti ). Тогда u(t) является функцией ограниченной вариации, |
|||||||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
причем Var(u) = |
kui+1 uik. |
|
|
|
|
|
|||
|
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iP |
|
|
|
|
|
|
|
|
1.6 Докажите, что непрерывная функция |
|||||||||
|
|
8 t |
cos |
|
; t 2 (0; 1] |
||||
|
|
|
|||||||
|
u(t) = |
2t |
|||||||
|
|
< |
|
0; |
|
|
|
t = 0 |
:
не является функцией ограниченной вариации на [0; 1].
1.7Покажите, что произведение двух функций f и g ограниченной вариации есть снова функция ограниченной вариации, причем
V ar(fg) 6 sup kf(x)kV ar(g) + |
sup kg(x)kV ar(f): |
x2[a;b] |
x2[a;b] |
6
§2. Некоторые сведения из выпуклого анализа
Пусть C H(ГП) замкнутое выпуклое множество.
Напомним, что множество C называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Множество C выпуклое, если 8 x, y 2 C : отрезок [x; y] C, где отрезок [x; y] в ГП определяется как множество
[x; y] = f x + (1 )y; 2 [0; 1]g:
Пусть x 2 C. Конусом нормалей в точке x ко множеству C будем называть множество
NC(x) = f 2 H : h ; c xi 6 0 8c 2 Cg:
Заметим, что если x 2 H, и C H замкнутое выпуклое множество, то существует единственный y 2 C, минимизирующий расстояние от точки x до множества C: (dist(x; C)), где
dist(x; C) = inffkx ck : c 2 Cg:
Такой элемент y называется проекцией элемента x на множество C и
обозначается y = proj(x; C). Таким образом,
y = proj(x; C) , kx yk = dist(x; C):
Пусть C1 и C2 выпуклые замкнутые множества в H ГП. Тогда хаусдорфовым расстоянием h(C1; C2) между C1 и C2 называется
h(C1; C2) = maxfsup dist(x; C1); sup dist(x; C2)g:
x2C2 x2C1
Теорема 2. Пусть [x1; x2] отрезок в H (ГП). Функция l : [a; b]
R1 ! H непрерывная и имеет ограниченную вариацию, причем Var(l) 6
7
kx1 x2k + , где > 0. Пусть l(a) = y1; l(b) = y2, и ky1 x1k 6 ; ky2 x2k 6 , > 0; > 0 и + + 6 1. Тогда хаусдорфово расстояние удовлетворяет неравенству
p
h(l; [x1; x2]) 6 (3 + kx1 x2k) + + :
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда = = 0. Тогда y1 = x1, y2 = x2. Покажем, что для любой точки z 2 l расстояние до [x1; x2] удовлетворяет неравенству dist(z; [x1; x2]) 6 (1+kx1 x2k)p .
Введем обозначения: [x1; x2] = S, kx1 x2k = jSj. Требуется доказать, что dist(z; S) 6 (1+jSj)p для всех z 2 l. Предположим противное, т.е. что найдется z0 2 l такой, что dist(z0; S) > (1 + jSj)p .
Рассмотрим следующие случаи:
а) Пусть на S ближайшей к точке z0 окажется x1. Заметим, что Var(l) > kx1 z0k + kz0 x2k > (1 + jSj)p + jSj > + jSj, поскольку
0 6 6 1. Но по условию Var(l) 6 + jSj. Получили противоречие. Аналогично может быть рассмотрен случай, когда x2 ближайшая к z0.
б) Пусть x0 проекция z0 на множество S. Тогда dist(z0; S) = kz0 x0k, и следовательно, kz0 x0k2 > (1+jSj)2 > +2jSj > 2 +2 kxi x0k.
Поскольку
2 |
2 |
XX
Var(l) > i=1 kxi z0k > i=1 p |
kxi x0k2 + kx0 z0k2 |
> |
||
2 |
2 |
|
||
Xp |
|
|
Xi |
|
> |
( + kxi x0k)2 = ( + kxi x0k) = 2 + jSj; |
|||
i=1 |
=1 |
|
то получаем противоречие с тем фактом, что Var(l) 6 + jSj, > 0.
p
Таким образом, sup dist(z; [x1; x2]) 6 (1 + kx1 x2k) .
z2l
С другой стороны, заметим, что любой элемент x0 2 S является
ортогональной проекцией некоторого z0 2 l. Более того, dist(x0; l) 6 kx0
p z0k = dist(z0; S) 6 (1 + jSj) .
8
Рассмотрим теперь общий случай, когда ky1 x1k 6 6= 0, ky2 x2k 6 6= 0. Воспользовавшись неравенством параллелограмма, получим, что
jkx1 x2k ky1 y2kj 6 ky1 x1k + ky2 x2k 6 + 6 1:
Тогда Var(l) 6 kx1 x2k + 6 ky1 y2k + + + . Применим уже полученный ранее результат к отрезку [y1; y2] = S0. Имеем
h(l; S0) 6 (1 + jS0j)p + + 6 (2 + jSj)p + + ;
поскольку jjSj jS0jj 6 1, откуда jS0j 6 jSj + 1.
Воспользуемся неравенством треугольника, получим: h(l; S) 6 h(l; S0)+
p
+h(S0; S). Поскольку h(S0; S) 6 max kxi yik 6 + 6 + + , то
p
h(l; S) 6 (3 + jSj) + + , что и требовалось доказать.
Теорема 3. Пусть отображение S действует из множества D H (ГП) в себя и является сжимающим. Обозначим через P множество неподвижных точек S. Предположим, что P содержит в себе замкнутый шар с центром в точке a и радиусом r > 0, т.е. B(a; r) P . Тогда для всех x 2 D верно
kx S(x)k 6 21r kx ak2 kS(x) ak2 :
Доказательство. Если x = S(x), то последнее неравенство оче-
x S(x)
видно. Пусть x =6 S(x). обозначим y = kx S(x)k.
Заметим, что kyk = 1 и x S(x) = ykx S(x)k. Тогда, очевидно, элемент a+ry 2 B(a; r). Поскольку B(a; r) P , то a+ry неподвижная точка отображения S, т.е. S(a + ry) = a + ry.
Так как S сжимающее, то kS(a + ry) S(x)k2 6 ka + ry xk2, откуда ka + ry S(x)k2 6 ka + ry xk2, и значит
kx ak2 kS(x) ak2
2r
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Пусть C замкнутое выпуклое множество в H
ГП, причем B(a; r) C. Тогда для всех x 2 H верно
kx proj(x; C)k 6 21r kx ak2 kproj(x; C) ak2 :
Доказательство. Рассмотрим отображение S(x) = proj(x; C). Оно является сжимающим (докажите в качестве упражнения!). Применив
предыдущую теорему, получим требуемое.
Теорема 5. Пусть C1; C2; : : : ; Cn замкнутые выпуклые множества в H ГП, причем все они содержат в себе замкнутый шар
B(a; r) (r > 0). Тогда, если x0 2 H и точки x1; x2; : : : ; xn такие, что
xi = proj(xi 1; Ci), то
kx0 ak > kx1 ak > : : : > kxn ak;
n
Xkxi xi 1k 6 21r kx0 ak2 kxn ak2 6 21rkx0 ak2:
i=1
Доказательство. Заметим, что kx1 ak = kproj(x0; C1) proj(a; C1)k 6
6 kx0 ak, поскольку отображение proj является сжимающим. Аналогично, kxn ak 6 kx0 ak. По предыдущей теореме, в силу B(a; r) Ci
для всех i = 1; : : : ; n, имеем
kxi 1 proj(xi 1;C)k = kxi xi 1k 6 |
1 |
(kxi 1 |
ak2 kxi ak2): |
|||
|
||||||
2r |
||||||
n |
1 |
|
|
|
|
|
iP |
|
|
|
|
||
kxi xi 1k 6 |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
2r |
kx0 ak2, что и требовалось доказать. |
||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
Упражнения
Пусть H = R2, C = f(x; 0) : 0 6 x 6 1g (для номеров 2.1 2.3). 2.1 Покажите, что NC((0; 0)) = f( 1; 2) : 1 6 0; 2 2 Rg.
10