Избранные задачи теории делимости (110

21

одинаковых цифр a, делится на 3k:

A = aa : : : aa .3k; a = 1; 2; : : : ; 9: k | {z }

3k раз

Покажем, что при этом допущении и число Ak+1, составленное из 3k+1 одинаковых цифр a, также будет делиться на 3k+1. Для этого найдем

Ak+1 =

=aa : : : a =

| {z }

3k+1 раз

= aa : : : a aa : : : a aa : : : a =

| {z }| {z }| {z }

3k раз 3k раз 3k раз

= aa : : : aa £ 10 : : : 0 0 : : : 01

| {z } | {z } | {z }

3k раз 3k цифр 3k цифр

Первый сомножитель, в силу предположения индукции, делится на 3k, а второй делится на 3 по признаку делимости (сумма цифр равна 3); поэтому все произведение, а с ним и число Ak+1, делится на 3k+1.

Теперь, согласно методу математической индукции5, утверждение задачи доказано для любого натурального n. ?

5Поясним метод математической индукции на примере решаемой задачи. Согласно п.2 доказательства, если утверждение (о делимости An на 3n) справедливо для какого-нибудь натурального числа k, то оно справедливо и для следующего натурального числа k + 1; а раз утверждение справедливо для числа 1 (что было проверено в п.1 доказательства), то оно справедливо и для числа 2; раз утверждение справедливо для числа 2, то оно справедливо и для числа 3 и т.д. Таким образом, последовательно получаем, что утверждение справедливо для всех натуральных n.

22

2КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

При оформлении работы привести тексты всех решенных задач

1.Для некоторого натурального числа известны сумма цифр, стоящих на нечетных местах 1357, и сумма цифр, стоящих на четных местах 2468. Показать, что это число делится на 99.

2.Доказать обобщенный признак делимости на 9: склейка нескольких натуральных чисел делится на 9 тогда и только тогда, когда делится на 9 сумма этих же чисел.

3.Натуральное число при делении на 8 дает в остатке 7, а при делении на 7 дает в остатке 6. Найти остаток деления этого числа на 56.

4.Доказать, что при всяком целом n значение выражения 7n3 ¡ 4n делится на 3.

5.Может ли сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом? Ответ обосновать.

6.Найти натуральное число, начинающееся с цифры 1, такое, что при перестановке этой цифры в конец оно увеличится втрое.

7.Доказать, что среди членов арифметической прогрессии 5; 11; 17; : : : найдется бесконечно много простых чисел.

8.Выяснить, при каких значениях целого параметра k будут взаимно простыми числа

m = k3 + k2 + 2k ¡ 1 и n = 2k3 + 3k2 + 4k ¡ 3:

9. Существуют ли нечетные натуральные числа x, y, z, при которых окажутся точными квадратами числа

xy + 1; yz + 1; zx + 1 ?

10. Решить в целых числах уравнение

x3 + 2y3 + 4z3 = 0:

23

3ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ

Эти задачи не включаются в контрольную работу ЗФМШ

1.Доказать, что сумма нескольких натуральных чисел и их десятичная склейка дают одинаковые остатки при делении на 9.

2.Число A получено последовательным склеиванием квадратов всех натуральных чисел от 1 до 1000: A = 1491625 : : : 100000: Найти остаток при делении этого числа на 9.

3.Склеиваются все двузначные (в десятичной записи) числа от 10 до 99. Найти остаток деления полученного числа на 11.

5.Склеиваются все трехначные в десятичной записи числа от 100 до 999. Найти остаток деления полученного числа на 11.

6.Склеиваются последовательно все натуральные числа от 1 до 2010. Найти остаток деления полученного числа на 11.

7.Пусть каждое из натуральных чисел A1; : : : ; An содержит

вдесятичной записи нечетное число цифр. Доказать сравнение:

AnAn¡1 : : : A1A0 ´ (A0¡A1+: : :+(¡1)n¡1An¡1+(¡1)nAn)(mod 11):

8.Пусть каждое из натуральных чисел A1; : : : ; An содержит в десятичной записи по четному числу цифр. Доказать сравнение:

AnAn¡1 : : : A1A0 ´ (A0 + A1 + : : : + An¡1 + An)(mod 11):

9. Назовем оборачиванием натурального числа n и обозначим n~ число, которое записывается теми же десятичными цифрами, что и n, но в обратном порядке. Доказать справедливость теорем:

1)если n записано нечетным числом цифр, то n¡n~ делится на 11,

2)если n записано четным числом цифр, то n + n~ делится на 11.

24

10.Cуществует ли натуральное число, которое от перестановки первой цифры в конец увеличивается в два раза?

11.Cуществует ли натуральное число, которое от перестановки первой цифры в конец уменьшается в два раза?

12.Существуют ли не равные между собой и не равные нулю цифры a; b; c; такие, что ab делится на c, bc делится на a и ca делится на b?

13.Доказать, что при всех натуральных m и n будут взаимно просты числа

p = 2mn2 + 3n и q = 2m2n2 + 4mn + 1:

14.Доказать следующие утверждения для натуральных k:

a)при всяком k и целых m и n разность mk ¡ nk кратна числу m ¡ n; b) при всяком нечетном k и целых m и n сумма mk + nk

кратна m + n; c) при всяком четном k и целых m и n разность mk ¡ nk кратна m + n.

15.Доказать, что делится на 3 разность квадратов, не делящихся на 3.

16.Доказать, что число 2n¡1 + 2n + 2n+1 при всяком натуральном n делится на 7.

17.Доказать, что делится на 7 число 22225555 + 55552222:

18.Доказать, что число 62n+2 ¡2n+3 ¢3n+2 + 36 делится на 900 при всяком натуральном n.

19.Доказать, что если p простое число, большее трех, то p2 ¡ 1 делится на 24 .

25

20. Найти все простые числа, десятичная запись которых читается одинаково слева направо и справа налево.

21. Доказать, что остаток деления всякого простого числа на

30 есть простое число или единица.

22. Доказать, что (m + n)! делится на m!n!.

23. Решить в натуральных числах уравнение

h p i h p i

2008 n 10042 + 1 = n 2008 10042 + 1 ;

где [x] целая часть x.

24.Решить в натуральных числах уравнение k1 + 1l + m1 + n1 = 1.

25.Решить в целых числах уравнение x2 + y2 + z2 = 2xyz.

26.Решить в целых числах уравнение x2 +x = y4 +y3 +y2 +y.

27.Решить в рациональных числах уравнение xy = yx.

28.Решить в рациональных числах (относительно a; b; c; d) уравнение (a + bp2)1234 + (c + dp2)5678 = (7 + 5p2)9999:

29.В предложении “ужо:я=бы,вас(ребяты)”, бытовой смысл которого нам безразличен, зашифрован правильно выполненный (в десятичной системе счисления) арифметический пример. Расшифровать его, считая, что одинаковые буквы обозначают одну

иту же цифру, но одна и та же цифра может скрываться под разными буквами; знакам “:”, “=”, “,” при этом придать обычный арифметический смысл: “:” знак деления, “=” знак равенства, “,” десятичная запятая; в скобках записан период десятичной дроби, причем, с минимальным числом знаков.

26

30. В декартовой плоскости взяли прямоугольник размерами m £ n (m; n 2 N) с вершинами в точках целочисленной решетки и сторонами на линиях целочисленной сетки: например, прямоугольник KMLN, где K = (0; 0); M = (m; 0); L = (m; n); N = (0; n). Найти число единичных квадратов с вершинами в точках целочисленной решетки и сторонами на линиях целочисленной сетки, составляющих прямоугольник KMLN, которые оказываются пересеченными по внутренним областям одной фиксированной диагональю прямоугольника, например, KL.

31. Доказать, что для любого простого нечетного числа p де-

¿k количество натуральных делителей натурального числа k.

¾k сумма всех натуральных делителей натурального числа k.

:

Учебное издание

Соболева Лариса Петровна Гузаиров Гафур Мустафович

ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ДЕЛИМОСТИ

издание пятое, переработанное

Оригинал-макет представлен авторами

Подписано в печать 01.02.2010

Усл. печ. листов 1,5 Тираж 100 экз.

Изд-во Оренбургского государственного педагогического университета 460844, г. Оренбург, ул. Советская, 19