Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Рабочая тетрадь 5 «Системы линейных уравнений» (90

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

444.95 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

1 1 2

Так как M3 0	3	2	12 0	- базисный минор x1, x2, x3 - основные
0	0	4

неизвестные. Так как 4 – количество неизвестных, 3 – ранг матрицы, то 4 – 3 =1, то

1 параметр, обозначаем через x4 a. Теперь от ступенчатой матрицы перейдем к системе линейных уравнений:

x1 x2 2x3 3x4 0,			x1 x2 2x3 3a 0,
				3x2 2x3 7a 0,
	3x2 2x3 7x4 0,
	4x3	0,		x3	0,

		x		7	a 3a,			x			2	a,
x1 x2 3a,			1	3					1	3
x1 x2 3a,				3		7				3
						7				7
	3x2 7a,			x2			a,	x2				a,
	3x2 7a,			x2			a,	x2		3		a,
	x3 0,					3				3
	x3 0,			x3 0,				x3 0.

Мы получили общее решение системы линейных уравнений:

Частное решение: пусть a 3 ( 2; 4; 0; 3).

							2					7 2 0 3 3 0, 0 0,
							2 2 7						4 3 0,
							2 2 7						4 3 0,		0 0,
	Проверка:
					2 ( 2)							7 2 0		3 0,	0 0,
									4 7				0 10 3 0,
					2				4 7				0 10 3 0,		0 0.
x1 2x2 4x3 3x4 0,

б) 3x1		5x2			6x3		4x4 0,
	4x 5x			2	2x	3	3x		4	0,
	1			2		3			4
3x 8x			2		24x		3	19x			4	0.
	1		2				3				4

2	7
	a;	a; 0; a .

3	3

_______________________________________________________________

________________________________________________________________

_______________________________________________________________

Ответ. а)		2	x4	;	7	x4;0;x4	; б) 8x3	7x4; 6x3	5x4;x3;x4

	3			3

Задание 6

Найдите общее и частное решение системы линейных неоднородных уравнений: а)

x1 2x2 x3 2x4 2,

2x1 7x2 3x3 x4 5,

5x2

x4 1,

3x2

5x3 2x4 3,

2x1

3x2

x3 3x4 1,

; б)

5x2

9x3 8x4 1,

3x1

18x

12.

Решение.

x1 2x2 x3 2x4 2,

		5x2		x4		1,
2x1
а)		3x2				;
3x1				x3 3x4 1,
4x x			2	2x x	4	3.
	1			3

	1		2	1

	2		5	0
A		3	3	1
		3	3	1
		4	1	2
		4	1	2

- расширенная матрица.

	1		2	1	2
			5	0	1
A	2		5	0	1	- основная матрица.
A						- основная матрица.
		3	3	1	3
		4	1	2	1
		4	1	2	1

Решим систему линейных неоднородных уравнений используя теорему Кронекера-Капелли. Найдем ранг расширенной матрицы и основной матрицы.

Приведем расширенную матрицу к ступенчатому виду.

			1		2		1			2			2 ( 2) ( 3) ( 4)								1		2	1	2	2
						5		0 1															9	2	5
			2			5		0 1				1								~	0		9	2	5	5 ( 1)	~
A				3		3	1		3					1						~		0	9	2	9	5	~
				3		3	1		3					1								0	9	2	9	5
				4		1	2		1				3									0	9	2	9	5
				4		1	2		1				3									0	9	2	9	5
	1			2		1			2		2				1		2	1	2		2
	1			2		1			2		2
					9		2	5
~	0				9		2	5		5							9	2 5
~		0			0		0	4			0			~ 0			9	2 5		5 .
		0			0		0	4			0
		0			0		0	4			0					0	0	0	4		0
																0	0	0	4		0

Вычеркнем последнюю нулевую строку и вычислим миноры 3-го порядка (т.к.

количество ненулевых строк 3) для расширенной и основной матриц.

	1	2	2
M3(A)	0	5	5	20 0 r(A ) 3.
	0	4	0

	1	1	2
M3(A)	0	2	5
M3(A)	0	2	5	8 0 r(A) 3, т.к. r(A) r(A ),
	0	0	4

то по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

	1	1	2
M3(A)	0	2	5	- базисный	минор. Так	как в матрицу вошли		первая,
	0	0	4
третья и четвертая			столбцы, то		x1, x3, x4 -	основные	неизвестные.	Всего
неизвестных 4 (n r p) 4 – 3 = 1. Один параметр,						x2 - параметр. Для того чтобы,
параметры отличались от неизвестных, обозначим параметр x2							через , т.е.	x2 .
Теперь от ступенчатой матрицы перейдем к системе линейных уравнений.

x1 2x2 x3 2x4 2, x1 2 x3 2x4 2, x1 x3 2 2 ,

	2x3 5x4 5,		5x4 5,		5 9 ,
9x2		9 2x3		2x3
	4x4 0,		x4 0,		x4 0,

									x1					5			9						x				1		5
																				2 2 ,										,


											2						2							1		2 2
x x 2 2 , x1 x3 2 2 ,											2						2									2 2
1	3				5	9							5			9										5		9
					5	9							5			9										5		9
2x3	5 9 ,	x3					,	x3										,					x3								,
2x3	5 9 ,	x3			2	2	,	x3					2			2		,					x3								,
	x4 0,		x		2	2							2			2										2		2
	x4 0,		x	4	0,									x	4	0,							x		4	0.
				4											4										4

	Общее решение системы							1		5		; ;							5	9	; 0	. Найдем частное решение

								2		2									2	2
								2		2									2	2

системы из общего решения, подставив вместо параметра любое действительное

число, пусть 1:		1		5	; 1;		5		9	; 0 , ( 3;1; 7; 0).

	2		2			2		2

Проверка: Подставим частное решение в систему линейных уравнений:

	3 2 1 1 ( 7) 2 0 2,	3 2 7 0 2,		2 2,
			6 5 0 0 1,
2 ( 3) 5 1 0 ( 7) 1 0 1,				1 1,
			9 3 7 0 1,
3 ( 3) 3 1 1 ( 7) 3 0 1,					1 1,
					3 3.
4 ( 3) 1 1 2 ( 7) 1 0 1,		12 1 14 0 3,

равенство верное.

2x1 7x2 3x3 x4 5,

б) x1 3x2 5x3 2x4 3,

x1 5x2 9x3 8x4 1,

5x1 18x2 4x3 5x4 12.

______________________________________________________________

_______________________________________________________________

__________________________________________________________________

_______________________________________________________________

Ответ: а)		1		5	x2	;x2	;	5		9	x2	;0 ,( 3;1; 7; 0);

	2		2				2		2

б) 6 26x3 17x4; 1 7x3 5x4;x3;x4

Задание 7

Найдите фундаментальное решение системы неоднородных линейных уравнений:

	2x1 x2 x3 2x4 3x5 2,																					9x 3x				5x 6x					4,
а)	6x 3x		2		2x			3	4x				4	5x					5		3,		1	2		3		x		4
а)		1	2					3					4						5		; б)	6x 2x			2	3x	3	x	4	5,
		6x 3x			4x				8x					13x							9,		1		2		3		4
		6x 3x	2		4x			3	8x			4		13x				5			9,
		1	2					3				4						5							3x3 14x4 8.
	4x 2x			2	x		3		x			4		2x			5				4.	3x1 x2			3x3 14x4 8.
		1		2			3					4					5
		Решение.
	2x1 x2 x3 2x4 3x5 2,
а)	6x 3x				2x				4x					5x						3,
а)		1	2		4x			3	8x				4				5				;
		6x 3x	2		4x			3	8x				4	13x					5		9,
		1	2					3					4						5
	4x 2x			2	x	3		x		4	2x				5	4.
		1		2		3				4					5

	2		1	1	2	3
			3	2	4
A	6		3	2	4	5
A							- основная матрица.
		6	3	4	8	13
		4	2	1	1	2
		4	2	1	1	2
	2		1	1	2	3	2
	2		1	1	2	3	2
			3	2	4	5
	6		3	2	4	5	3	- расширенная матрица.
A								- расширенная матрица.
		6	3	4	8	13	9
		4	2	1	1	2
		4	2	1	1	2	4

Найдем ранг расширенной матрицы и основной матрицы.

2				1 1			2 3			2 ( 3) ( 2)					2		1 1			2		3		2
			3 2				4 5										0 1		2		4
6			3 2				4 5			3				~	0		0 1		2		4			3 1 ( 1)	~
	6		3 4				8 13		9					~		0 0		1		2		4		3	~
	6		3 4				8 13		9							0 0		1		2		4		3
	4		2 1				1 2		4							0	0 1		3		4			0
	4		2 1				1 2		4							0	0 1		3		4			0
		2		1			1	2				3	2	2		1 1			2		3		2
		2		1			1	2				3	2
							1	2			4
~		0 0					1	2			4		3				0 1 2			4
~			0	0			0	0				0	0	~ 0			0 1 2			4		3 .
			0	0			0	0				0	0
			0	0			0	1				0	3	0			0	0 1			0		3
			0	0			0	1				0	3
M3(A)						2	1	2						ранг			расширенной				матрицы равен				3, т.е.
						2	1	2
						0	1	3			6 0
						0	0	3

r(A ) 3.
M3(A)					2		1	2			2 0 ранг основной матрицы равен 3, т.е. r(A) 3.
					2		1	2
					0		1	2
					0		0	1

Так как r(A ) r(A) 3, то по теореме Кронекера-Капелли система совместна,

т.е. имеет решение.

	2	1	2
M3(A)	0	1	2	- базисный минор третьего порядка x1, x3, x4 -
	0	0	1

основные неизвестные, т.к. 5 – количество неизвестных (переменных), 3 – ранг матрицы, 5 – 3 =2 имеем 2 параметра – это x2 и x5. Обозначим параметры

x2 ,		x5 .				Составим								систему				линейных				уравнений
2x1 x2 x3 2x4 3x5 2, 2x1 x3 2x4 2 3 , 2x1 x3 6 2 3 ,
	x3 2x4 4x5			3,			x3 2x4					3 4 ,						x3	6 3 4 ,
	x3 2x4 4x5			3,			x3 2x4					3 4 ,						x3	6 3 4 ,
		x4	3,								x4	3,							x4 3,
		x4	3,								x4	3,							x4 3,
																			x		1		1	1	,
																			x					2	,
2x1 x3 8 3 , 2x1 9 4 8 3 , 2x1 1 , 1																				2 2				2
	x3 9 4 ,						x3	9 4 ,								x3 9 4 ,				9 4 ,
	x3 9 4 ,						x3	9 4 ,								x3 9 4 ,			x3	9 4 ,
	x4 3,						x4		3,							x4	3,			3.
	x4 3,						x4		3,							x4	3,		x4	3.

								1		1			1
	Общее решение системы														; ;9 4 ; 3;				.
	Общее решение системы							2		2			2		; ;9 4 ; 3;				.
								2		2			2
	Найдем фундаментальное решение системы:
	0, 0 X0			1									1, 0 X1					1
1)					; 0; 9; 3; 0					; 2)									;1; 0; 0; 0 ,
1)					; 0; 9; 3; 0					; 2)									;1; 0; 0; 0 ,
				2														2

3) 0, 1 X 2				1				X X 0 c X1			X 2
					; 0; 4; 0;1 .				c	2		,
					; 0; 4; 0;1 .				c			,
				2				1
				2
	1			1		1

				2		2
	2			2		2
	0			1		0		и c2 - действительные числа;
X	9	c1 0			c2	4	, где c1	и c2 - действительные числа;
	3					0
	3		0			0
	0			0		1
	0			0		1

9x1 3x2 5x3 6x4 4,

б) 6x1 2x2 3x3 x4 5, .3x1 x2 3x3 14x4 8.

______________________________________________________________

				1				1					1

				2					2			2
				2					2			2
				0					1			0			и c2
Ответ. а) X				9		c1			0	c2		4 , где c1			и c2		- действительные числа;
			3						0
			3						0				0
				0					0			1
				0					0			1
	0						1					0
	0						0					1
							0					1
б) X	0				c		27			c		9		, где c	и c		- действительные числа
б) X		2			c					c				, где c	и c		- действительные числа
		2				1	13				2 13			1		2
							3				1
							3				1
		1
		1					13					13
							13					13

Задание 8

Исследовать систему линейных уравнений при различных значениях параметра :

	x	x		2	x 1,		1 x x		2	x 1,
	1			2		3		1	2	3
а) x1 x2 x3 1, ; б) x1 1 x2 x3 ,
		x				x 1.				2
x		x	2			x 1.				2
	1		2			3	x1 x2 1 x3 .
	Решение.
x1 x2 x3 1,
а) x1 x2 x3 1, ;
		x				x 1.
x		x	2			x 1.
	1		2			3
30

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]