Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110
..pdfξ = |
1 |
( y2 |
− 3x2 ), η = |
1 |
( x2 |
+ y2 ). |
(III) |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Примечание. При рассмотрении уравнения (I) в областях Ω1 |
и Ω3 ис- |
пользуется замена переменных (1.2), в которой ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – левые части формул, задающих общие интегралы уравнений
d y |
= |
a12 |
( x, y ) + d( x, y ) |
(IV) |
d x |
|
a 11 ( x, y ) |
||
|
|
|
||
и |
|
|
|
|
d y |
= |
a12 |
( x, y ) − d( x, y ) |
(V) |
d x |
|
a 11 ( x, y ) |
||
|
|
|
соответственно. При рассмотрении уравнения (I) в областях Ω2 и Ω4 используется замена переменных (1.2), в которой ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – левые части формул, задающих общие интегралы уравнений (V) и (IV) соответственно. В результате, учитывая, что d( x, y ) = 4x2 y2 и d( x, y ) = 2 x y , получаем во всех случаях для переменных ξ и η одни и те же выражения
(III).
Если использовать замену (III) в случае областей Ω1 и Ω3 , а в случае областей Ω2 и Ω4 использовать замену переменных
ξ = 12 ( x2 + y2 ) , η = 12 ( y2 − 3x2 )
(то есть замену (1.2), в которой ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – левые части формул,
задающих общие интегралы уравнений (IV) и (V) соответственно), то в областях Ω2 и Ω4 уравнение (I) приводится к каноническому виду
|
ξ +η |
3ξ −η |
||
vξη − |
|
vξ + |
|
vη = 0 |
6ξ 2 − 2η2 − 4ξη |
6ξ 2 − 2η2 − 4ξη |
(левая часть этого уравнения получается из левой части уравнения (II) при замене ролями переменных ξ и η ).
5. Уравнение параболического типа при x ≠ 0 , y ≠ kπ , k = 0, ±1, ± 2,…;
vηη + |
4 |
− 4ξ 2 + |
2η3 +η4 − |
4ξη |
vξ + |
2η2 − 4ξ |
vη = 0 |
, |
||
|
4 − 4ξ 2 |
−η4 + 4ξη2 |
4 − 4ξ 2 −η4 + 4ξη2 |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
ξ = |
x2 |
|
− cos y , η = x . |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31
6. Уравнение эллиптического типа на всей плоскости xOy ;
vξξ + vηη = 0,
ξ = |
y |
y2 + 1 + |
1 ln ( y + y2 |
+ 1 ), |
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
) |
|
|
x |
x |
2 |
+ 1 |
|
1 |
( |
x + x |
2 |
+ 1 |
. |
|
η = − 2 |
|
− 2 ln |
|
|
|
7. Уравнение гиперболического типа при x ≠ 0 ;
vξη + 2(ξ1− η) vη = 0 , ξ = y , η = x2 + y . 8. Уравнение эллиптического типа при y > 0 ,
vξξ + vηη + |
1 |
vξ |
= 0 , ξ = |
2 |
y3 2 |
, η = −x ; |
|
3ξ |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
уравнение гиперболического типа при y < 0 ,
vξη − 6(ξ1− η )(vξ − vη ) = 0 ,
ξ = x − 23 ( −y )32 , η = x + 23 ( −y )32 .
Литература
1.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : в 3 т. / Л. Д. Куд-
рявцев. – М. : Высш. шк., 1988. – Т. 2. – 576 с.
2.Ильин В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин. – М. : Наука, 1984. –
295 с.
3.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – М. : Наука, 1982. – 332 с.
4.Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной / А. Г. Свешников. – М. : Наука, 1974. – 320 с.
5.Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций / А. И. Маркушевич. – М. : Наука, 1978. – 416 с.
6.Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1964. – 412 с.
7.Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Вла-
димиров. – М. : Наука, 1976. – 528 с.
32
8.Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высш. шк., 1970. – 712 с.
9.Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. – М. : Физматгиз, 1961. – 400 с.
10.Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 736 с.
11.Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний : учеб.-метод. пособие / сост. А. А. Куликов. – Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2011. – 71 с.
33
Учебное издание
КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ
ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ
СЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Учебно-методическое пособие для вузов
Составитель Куликов Александр Александрович
Корректор В. П. Бахметьев
Компьютерная верстка Н. А. Сегида
Подписано в печ. 28.08.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,9. Тираж 50 экз. Заказ 491.
Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru
Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.
394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33
34