Классификация и приведение к каноническому виду уравнений с частными производными второго порядка (110

пользуется замена переменных (1.2), в которой ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – левые части формул, задающих общие интегралы уравнений

соответственно. При рассмотрении уравнения (I) в областях Ω2 и Ω4 используется замена переменных (1.2), в которой ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – левые части формул, задающих общие интегралы уравнений (V) и (IV) соответственно. В результате, учитывая, что d( x, y ) = 4x2 y2 и d( x, y ) = 2 x y , получаем во всех случаях для переменных ξ и η одни и те же выражения

(III).

Если использовать замену (III) в случае областей Ω1 и Ω3 , а в случае областей Ω2 и Ω4 использовать замену переменных

ξ = 12 ( x2 + y2 ) , η = 12 ( y2 − 3x2 )

(то есть замену (1.2), в которой ϕ ( x, y ) и ψ ( x, y ) – левые части формул,

задающих общие интегралы уравнений (IV) и (V) соответственно), то в областях Ω2 и Ω4 уравнение (I) приводится к каноническому виду

(левая часть этого уравнения получается из левой части уравнения (II) при замене ролями переменных ξ и η ).

5. Уравнение параболического типа при x ≠ 0 , y ≠ kπ , k = 0, ±1, ± 2,…;

31

6. Уравнение эллиптического типа на всей плоскости xOy ;

vξξ + vηη = 0,

7. Уравнение гиперболического типа при x ≠ 0 ;

vξη + 2(ξ1− η) vη = 0 , ξ = y , η = x2 + y . 8. Уравнение эллиптического типа при y > 0 ,

уравнение гиперболического типа при y < 0 ,

vξη − 6(ξ1− η )(vξ − vη ) = 0 ,

ξ = x − 23 ( −y )32 , η = x + 23 ( −y )32 .

Литература

1.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : в 3 т. / Л. Д. Куд-

рявцев. – М. : Высш. шк., 1988. – Т. 2. – 576 с.

2.Ильин В. А. Линейная алгебра / В. А. Ильин. – М. : Наука, 1984. –

295 с.

3.Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения / Л. С. Понтрягин. – М. : Наука, 1982. – 332 с.

4.Свешников А. Г. Теория функций комплексной переменной / А. Г. Свешников. – М. : Наука, 1974. – 320 с.

5.Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций / А. И. Маркушевич. – М. : Наука, 1978. – 416 с.

6.Владимиров В. С. Методы теории функций многих комплексных переменных / В. С. Владимиров. – М. : Наука, 1964. – 412 с.

7.Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. С. Вла-

димиров. – М. : Наука, 1976. – 528 с.

32

8.Кошляков Н. С. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. – М. : Высш. шк., 1970. – 712 с.

9.Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными / И. Г. Петровский. – М. : Физматгиз, 1961. – 400 с.

10.Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М. : Наука, 1977. – 736 с.

11.Смешанные задачи для уравнения теплопроводности и уравнения колебаний : учеб.-метод. пособие / сост. А. А. Куликов. – Воронеж : ИПЦ ВГУ, 2011. – 71 с.

33

Учебное издание

КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ

ККАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ

СЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Учебно-методическое пособие для вузов

Составитель Куликов Александр Александрович

Корректор В. П. Бахметьев

Компьютерная верстка Н. А. Сегида

Подписано в печ. 28.08.2012. Формат 60×84/16.

Усл. печ. л. 1,9. Тираж 50 экз. Заказ 491.

Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, пл. им. Ленина, 10. Тел. (факс): +7 (473) 259-80-26 http://www.ppc.vsu.ru; e-mail: pp_center@ppc.vsu.ru

Отпечатано в типографии Издательско-полиграфического центра Воронежского государственного университета.

394000, г. Воронеж, ул. Пушкинская, 3. Тел. +7 (473) 220-41-33

34