Изучение собственных колебаний струны (120
..pdfМосковский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
Л.И. Баландина, А.М. Кириллов
ИЗУЧЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
Методические указания к выполнению лабораторной работы М-7Б
по курсу общей физики
Под редакцией Л.К. Мартинсона
Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2011
УДК 534.11 ББК 22.32 Б20
Рецензент С.И. Масленникова
Баландина Л.И.
Б20 Изучение собственных колебаний струны : метод. указания / Л.И. Баландина, А.М. Кириллов ; под ред. Л.К. Мартинсона. — М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. — 14, [2] с. : ил.
Кратко изложены основные теоретические сведения о механических волнах, необходимые для выполнения лабораторной работы. Дано описание лабораторной установки, даны указания по проведению измерений и обработке их результатов.
Для студентов1-гокурсаМГТУ им. Баумана всех специальностей. Рекомендовано Учебно-методческой комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.
УДК 534.11 ББК 22.32
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011
2
Цель работы — определение скорости распространения механических колебаний в слабо натянутой струне по параметрам возбужденной в ней стоячей волны.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Если в каком-либо месте сплошной упругой среды возникает механическая деформация, то благодаря упругим силам изменение этой деформации может иметь колебательный характер. Механические колебания с конечной скоростью будут распространяться от данного участка среды к другим ее участкам.
Процесс распространения механических колебаний (возмущений) в упругой среде с конечной скоростью называется механической волной. Частицы среды, в которой распространяется упругая волна, не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Поэтому основным свойством всех упругих волн является перенос энергии без переноса массы. Волна называется продольной, если частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны, и поперечной, если колебания частиц перпендикулярны этому направлению. Важнейшую роль при изучении волн играют гармонические волны, создающие такое волновое движение в данной точке, которое можно рассматривать как гармонические колебания частиц среды.
Внешние тела, вызывающие возмущение упругой среды, называются источником волн. Геометрическое место точек, до которых от источника доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Расстояние, которое проходит волна за время, равное периоду колебаний частиц среды
3
T, называется длиной волны λ. Если скорость распространения волны υ, то длина волны
λ =υT. |
(1) |
Заменив Т на 1/ν, где ν — частота колебаний, получим |
|
λν =υ. |
(2) |
Точки среды, отстоящие друг от друга на расстояние, равное длине волны λ, колеблются в одинаковой фазе. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Если волновая поверхность имеет форму плоскости, то волна называется плоской.
Уравнением волны называется выражение, которое описывает смещение от положения равновесия ξ колеблющейся частицы, где
ξявляется функцией координат x, y, z и времени t:
ξ= ξ(x, y, z, t).
Для плоской гармонической волны, распространяющейся в направлении оси x,
ξ(x,t) = Acos(ωt −kx +α), |
(3) |
|
где A — амплитуда волны, A = const; ω — круговая (циклическая) частота, ω= 2π/ T; k — волновое число, k = 2π/ λ = ω/υ ; α — начальная фаза волны.
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым уравнением, которое можно записать так:
∂2ξ |
+ |
∂2ξ |
+ |
∂2ξ |
= |
|
1 ∂2 ξ |
|
||||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 . |
(4) |
|||
∂x |
∂y |
2 |
∂z |
υ |
2 |
∂t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x, волновое уравнение имеет вид
∂2 ξ |
= |
1 |
∂2 ξ |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
2 . |
(5) |
|
∂x |
υ |
2 |
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Рассмотрим распространение в среде двух волн. Если в данной точке среды разность фаз колебаний, обусловленных этими волнами, не изменяется во времени, то волны называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции. Важным случаем интерференции является стоячая волна. Она наблюдается при наложении двух плоских волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.
Запишем уравнения двух плоских волн, бегущих вдоль оси x навстречу друг другу:
ξ1 ( x , t ) = A cos( ωt − kx ); |
(6) |
ξ2 ( x, t ) = A cos( ωt + kx ). |
(7) |
Уравнения (6) и (7) не содержат начальной фазы колебаний, что вполне возможно при соответствующем выборе начала отсчета координаты x и времени t.
Сложив уравнение (6) и (7), получим уравнение стоячей волны
|
|
x |
(8) |
|
ξ( x, t) = 2 A cos 2 |
π |
|
cos ωt. |
|
|
||||
|
|
λ |
|
|
Из формулы (8) следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что и частота колебаний встреч-
ных волн, а амплитуда колебаний |
|
x |
зависит от коор- |
|
2 Acos 2π |
|
|
||
|
||||
|
|
λ |
|
|
динаты x.
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
2π λx ± πn (n = 0, 1, 2, …),
амплитуда колебаний достигает максимального значения. Эти точки называются пучностями стоячей волны (рис. 1). Координаты пучностей имеют значения
x =±λn (n = 0, 1, 2, …). |
(9) |
пучн |
2 |
|
|
|
5 |
В точках, координаты которых удовлетворяют условию
|
x |
|
1 |
|
|
2π |
|
= ± n + |
|
π (n = 0, 1, 2, …), |
|
λ |
2 |
||||
|
|
|
амплитуда колебаний равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов имеют значения
|
1 |
λ |
(n = 0, 1, 2, …). |
(10) |
|
xузл = ± n + |
2 |
|
2 |
||
|
|
|
|
||
Из формул (9) и (10) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же как и расстояние между соседними узлами, равно λ/2.
Рис. 1
В закрепленной с обеих сторон натянутой струне при возбуждении поперечных колебаний устанавливаются стоячие волны. На концах струны, в местах закрепления, располагаются узлы. Поскольку расстояние между узлами равно λ/2, то на всей длине струны l укладывается целое число n полуволн (рис. 2):
l = n |
λ |
(n = 1, 2, …). |
(11) |
||
|
2 |
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
λn = |
2l |
. |
(12) |
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Длинам волн λn — см. (12) — соответствуют частоты
νn = |
υ |
= |
υ |
n (n = 1, 2, …), |
(13) |
|
|
||||
|
λn |
2l |
|
||
где υ — фазовая скорость волны, определяемая силой натяжения струны и массой единицы длины струны, т. е. ее линейной плотностью.
Частоты νn называются собственными частотами струны.
Частоту ν1 =υ | (2l) при n = 1 называют основной частотой, остальные — обертонами.
Рис. 2
Гармонические колебания с частотами νn — см. (13) — называются собственными колебаниями, или гармониками.
Найдем зависимость фазовой скорости волны от силы натяжения струны и линейной плотности струны.
Пусть y = ξ(x,t) — уравнение, описывающее в некоторый мо-
мент времени t смещение точек колеблющейся однородной струны, концы которой находятся на оси х. Для малых смещений при слабом натяжении струны можно полагать, что это натяжение
7
неизменно по всей длине струны и не зависит от времени. Рассмотрим малый отрезок струны l, смещенный из положения равновесия в направлении оси y в некоторый момент времени (рис. 3). К концам этого отрезка по касательной к струне приложены равные по модулю силы натяжения F, образующие с направлением оси Оx углы π+ϕ1 и ϕ2 .
Рис. 3
При малых смещениях отрезка l можно считать ϕ1 и ϕ2 малыми углами, разность модулей которых в общем случае не равна нулю. Поскольку при малых углах ϕ1 и ϕ2 имеем sin ϕ1 ≈ tg ϕ1 и sin ϕ2 ≈ tg ϕ2 , то дляпроекций сил натяжения F на ось Оу, учитывая, что y = ξ(x,t) , можнонаписать соотношения:
F sin(π+ϕ ) = −F sin ϕ ≈ −F tg ϕ = −F ∂ξ |
|
|
; |
||||||
|
|||||||||
1 |
1 |
|
1 |
∂x |
|
x |
|
||
F sin ϕ2 |
≈ F tg ϕ2 |
= F |
∂ξ |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∂x |
|
x + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Очевидно, что сумма проекций сил натяжения F на ось Oy является силой, возвращающей отрезок l в положение равновесия. На основании второго закона Ньютона имеем
8
|
∂ξ |
|
|
− |
∂ξ |
|
|
=β x |
∂2ξ |
, |
(14) |
|
|
|
|||||||||||
F |
∂x |
|
|
∂x |
|
|
∂t |
2 |
||||
|
|
x+ x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где β — линейная плотность, численно равная массе отрезка еди-
ничной длины струны, находящейся |
в |
|
положении равновесия; |
||||||||
∂2ξ |
— ускорение, сообщаемое отрезку |
|
l струны возвращающей |
||||||||
∂t2 |
|
||||||||||
|
x получаем |
|
|
|
|
|
|||||
силой. С учетоммалости |
|
|
|
|
|
||||||
|
F |
∂2ξ |
x =β x |
∂2ξ |
, |
(15) |
|||||
|
∂x2 |
∂t2 |
|||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
F ∂2ξ |
= |
∂2 |
ξ |
. |
|
(16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
β ∂x2 |
∂t |
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сопоставляя (16) и (5), находим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
υ = |
F . |
|
|
|
|
(17) |
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
Таким образом, фазовая скорость υ распространения волны в слабо натянутой струне зависит от ее линейной плотности и от того, как она была натянута в положении равновесия, но не зависит явно от упругих свойств струны. Независимость скорости волны от упругих свойств струны в данном случае объясняется тем, что возвращающая сила, действующая на каждый отрезок l струны, является суммой проекций на ось Оу неизменных во времени (по модулю) сил натяжения F.
Линейная плотность струны β связана с обычной плотностью материала струны ρ соотношением
β =ρS =ρ |
πd |
2 |
, |
(18) |
4 |
|
|||
|
|
|
|
где S — площадь поперечного сечений струны; d — диаметр сечения струны.
9
Из формул (17) и (18) получим фазовую скорость распространения волны в слабо натянутой струне:
υ = |
2 |
|
F |
. |
(19) |
d |
|
||||
|
|
πρ |
|
||
Итак, скорость распространения колебаний в струне можно найти либо по силе ее натяжения с помощью формулы (17), либо по частоте ее колебаний, получив расчетную формулу из формул
(2) и (12):
υ = |
2l |
ν. |
(20) |
|
n |
||||
|
|
|
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ
Описание экспериментальной установки
Установка для проведения эксперимента состоит из жесткого основания, на котором закреплены постоянные магниты, между полюсами магнитов натянуты струны. Один конец струны жестко крепится к основанию, а второй прикреплен к тарировочной пружине. Пружина механически связана с винтовым механизмом, с помощью которого осуществляется изменение натяжения струны. Сила натяжения струны измеряется посредством указателя, перемещающегося по шкале при изменении натяжения струны.
К концам струны подводится переменный ток от генератора синусоидальных колебаний. Для измерения частоты генератора служит частотомер. Постоянный магнит создает горизонтальное магнитное поле, в котором находится небольшой участок струны, что вызывает появление периодически меняющейся в вертикальном направлении силы Ампера, приложенной к этому участку струны.
При некотором натяжении струны частота ее собственных колебаний может совпасть с частотой изменения силы Ампера, т. е. частотой переменного тока генератора. В этом случае наступает резонанс, что легко обнаружить по отчетливому появлению узлов и пучностей поперечной стоячей волны в струне. Измерение дли-
10