Методика исследования магнитного поля некругового витка с током в его плоскости (80

Предложены аналитические выражения для вы­ числения напряженности магнитного поля, создан­ ного плоским витком в форме части кольца. При этом плоскость, в которой расположен виток с током, разбивается на девять зон. Указан путь нахождения напряженности магнитного поля в точках, принадлежащих границам зон.

К л ю ч е в ы е с л о в а : некруговой виток с током, напряженность магнитного поля, анали­ тические расчеты

Analytic expressions are proposed for calculating the intensity of the magnetic field developed by planar turn in the form of a partial ring. The plane in which the turn with a current lies is subdivided into nine zones. A way of determining the magnetic field inten­ sity at points belonging to the boundaries of the zones is suggested.

K e y w o r d s : noncircular turn with a current, intensity of magnetic field, analytic calculations

Определение напряженности магнитного поля, создаваемого витком с током, может рас­ сматриваться как начальный и вместе с тем от­ ветственный этап проектирования электромеха­ нических устройств различного назначения. Из­ вестные аналитические методы решения соответ­ ствующих задач позволяют получить решение в замкнутой форме при относительно простой, на­ пример круговой, конфигурации витка [1]. В этой связи заметим, что усложнение геометрической формы витка, связанное с конструктивно-техно­ логическими особенностями проектируемого устройства, приводит к усложнению и аналитиче­ ских зависимостей, а их получение нередко со­ провождается громоздкими выкладками.

Несмотря па это обстоятельство, целесообраз­ ность поиска решений задач по анализу магнитно­ го поля в аналитическом виде представляется до­ статочно очевидной в силу фундаментального ха­ рактера получаемых аналитических зависимостей.

Одной из таких задач, для которых оказыва­ ется возможным найти замкнутое аналитическое решение, является задача определения магнитно­ го поля, создаваемого плоским витком с током, образованным двумя радиальными (АВ, CD) и двумя дуговыми (ВС, DA) участками, в однород­ ной изотропной среде (рис. 1). Эта задача возни­ кает, в частности, при проектировании и-г-фазной обмотки статора торцевого асинхронного двига­ теля. При этом особый интерес, как уже отмеча­ лось, представляют расчетно-аналитические за­ висимости для напряженности магнитного поля в точках, лежащих в плоскости витка, что связано с необходимостью анализа магнитного поля в ко­ льцевом рабочем зазоре электродвигателя. Эти

:вязи с чем они представленыразличными аваля-

тическими выражениями, приводящими к иден­ тичным результатам, что может рассматриваться как обоснование достоверности и тех и других.

Непосредственное использование закона БиоСавара приводит к расчетным формулам, приве­ денным в [3] и имеющим свою область примени­ мости. В связи с этим плоскость, в которой рас­ положен виток с током, должна быть разделена на девять зон (рис. 1) с учетом симметричности магнитного поля относительно плоскости сим­ метрии П, перпендикулярной плоскости витка. Необходимость такой разбивки плоскости витка на зоны связана с тем, что в каждой из зон спра­ ведливы свои аналитические зависимости, испо­ льзование которых в других зонах может привес­ ти к неверному результату.

Другой особенностью зависимостей, получен-

ных на основе закона Био-Савара [3], является их неприменимость к вычислению напряженности магнитного поля в точках, лежащих на границах указанных зон, вследствие того, что слагаемые, входящие в формулы, становятся бесконечными. На это обстоятельство необходимо обратить внимание при организации вычислительного процесса. Ниже будет указан путь преодоления возникающего в связи с этим затруднения.

Изучение структуры полученных в [3] зависи­ мостей позволяет выполнить некоторые их обоб­ щения и представить эти зависимости в виде трех групп формул, каждая из которых может исполь­ зоваться в трех указанных для нее зонах плоскости витка. Это достигается с помощью введения вспо­ могательных переменных £(- ( / = 1 , 2, 3, 4, 5), при­ нимающих значения согласно данным табл. 1.

"^ТгЬ"^1 sin^i +sin^2)

1 /с()

где в обозначениях компоненты напряженности Н магнитного поля нижними индексами отмече­ на исследуемая точка плоскости (на рис. 2 — точ­ ки Р, Р], Р2), а верхними — участок контура, по­ рождающий соответствующую ему компоненту;

к, к0 — модули эллиптических интегралов Е {<р,к) [4],

Рис. 2 метры, относящиеся к точкам Р\, Р2, помечены

Ч— ^ - Г ^ в т б ! + sin<92)-

\-kf

Обозначения геометрических параметров, входящих в (6), приведены на рис. 3. Для точек М\ и М2 они помечены значками (') и (")• При этом для точек М, М\, М2 имеем:

в2=^5п + 0,5л-^2у2.

+ - % £ 1 s i n £ 1 + s i n p 1 2 ) -

1-&2

(10)

-^F^hk2)-F(/32,k2)

+ A r ( s i n 0 2 + £ i s i n 0 1 ) -

I-A:,2

где

ao и bo по-прежнему определяются согласно (2). Входящие в (10) геометрические параметры

приведены на рис. 4. При этом для точек N, N], N2 получаем:

tgyi= £ i[pcos(a - 0,5a T ) - £ 2 ]/ao;

tgy2=^[pcos(a-0,5ar)-Rl]la0;

(12)

tgy3 = ^[pcos(a + Q,5aT)-R]]/b0; tgY4=Zi[pcos(a + Q,5aT)-R2]/bQ;

Рис.3

£2 = ?5tt+0,5jr + £2 y4 ;

(13)

6>,=0,5jr-£,y2;

Заметим, что все значения углов у L (/= 1, 2, 3, 4), входящих в выражения (1), (5), (6), (9), (10), (13), соответственно определяются из (4), (8), (12) через функцию arctgy,-.

Как уже было отмечено, выражения (1), (6), (10) не позволяют вычислить значения напряжен­ ности магнитного поля в точках, принадлежащих границам зон, указанных на рис. 1, так как в точ­ ках соседних зон, расположенных вблизи общей границы, значения компонент напряженностей становятся неограниченными.

Из физических соображений очевидно, что разрывов в значениях напряженностей поля на границах соседних зон быть не может. Поэтому указанную особенность в поведении решения в точках плоскости, принадлежащих граничным кривым, следует рассматривать как неопределен­ ность, которая должна быть раскрыта с исполь­ зованием полученных для соседних зон расчетноаналитических зависимостей.

Луч 0А, проходящий по отрезку АВ контура витка (рис. 1), разделяет зоны 7, 4; 2, 5; 3, 6. Для напряженностей магнитного поля, создаваемых током участка АВ контура, в точках Р, М, N и Р\, М\, N\ справедливы зависимости для Н^ ,

НМВ> Н$в, входящие в (1), (6), (10). При

(17)

(18)

(19)

а = 0,5ат они приводят к неопределенности вида 0/0, которую раскрываем по правилу Лопиталя.

В результате получаем, что во всех точках плоскости, лежащих на луче ОА, должно быть:

5, 6; 8, 9. Для напряженностей магнитного поля, порождаемых участком DA контура витка, в точ­

и содержащие эллиптические интегралы вида [4]:

Легко видеть, что при к= 1 и к2 = 1, т.е. в точ­ ках граничной кривой радиуса p = R2, выражения Нм и HNA не пригодны для вычислений.

Здесь М* и N* — точки, прилегающие к гранич­

можно убедиться, рассмотрев (учитывая правило знаков для // по обе стороны граничной кривой) сумму НмА +Н$Л П Р И P^R2 При этом следует пользоваться общими выражениями. для Н^А (6) и (10). Получаемая при

этом неопределенность раскрывается по правилу Лопиталя.

Подставив (27) и (28) в (26), с учетом выраже­

Это выражение аналогично (21), что позволя­ ет записать:

Заметим, что знаки в правых частях всех рас- четно-аналитических зависимостей для напря­ женности магнитного поля соответствуют ука­ занному на рис. 1 направлению тока /. Магнит­ ное поле, создаваемое током / контура ABCD (рис. 1), симметрично относительно плоскости Я, перпендикулярной плоскости витка. Поэтому

при анализе напряженности поля достаточно рас­ смотреть область, расположенную по одну сторо­ ну от плоскости симметрии.

Результаты вычислений осевой составляющей магнитного поля по предложенным обобщенным зависимостям при тех же данных, что в рассмот­ ренном в [3] примере, совпадают с результатами, приведенными в [3]. Эти зависимости, дополнен­ ные формулами (25) и (30), позволяют найти на­ пряженность поля во всех точках плоскости витка за исключением узловых точек А, В, С, D конту­ ра, которые являются особыми точками. Однако это не имеет существенного значения, поскольку в точках, расположенных вблизи контура витка, напряженность магнитного поля должна опреде­ ляться более точными методами, учитывающими конечные размеры поперечного сечения провод­ ника и радиусов скруглений контура в узловых точках.

Выполненные по предложенным зависимостям результаты расчетов для примера конфигурации витка из [3] представлены на рис. 5 в виде диаграм­ мы напряженности во внутренней области витка с током. Напряженность магнитного поля на этой диаграмме указана в относительных единицах. В качестве базового значения принято минималь­ ное значение напряженности Н= 1,682-10- А/м, полученное для координат а = 0, р=110мм.

Выводы. Предложенные обобщенные раочет- но-аналитические зависимости для определения напряженности магнитного поля, создаваемого витком рассмотренной конфигурации, могут рас­ сматриваться как основа алгоритма вычислений напряженности магнитного поля во всех точках плоскости витка, достаточно удаленных от его контура. Они компактны и удобны для организа­ ции вычислительного процесса на ЭВМ, так как при подготовке входных данных программы не требуется рассматривать геометрические соотно­ шения, соответствующие точке поля, в которой определяется напряженность, достаточно указать полярные координаты этой точки и параметры контура витка. Результаты численного анализа подтверждают справедливость всех полученных расчетно-аналитических зависимостей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1.Нейман Л.Р., Калантаров П.Л. Теоретические основы электротехники. Часть третья. - М.; Л.: Госэнергоиздат, 1954.

2.Загрядцкий В.II., Кобяков Е.Т. Магнитное поле некруго­ вого витка с током в однородной изотропной среде. - Изв. вузов. Электромеханика, 2000, № 4.

3.Загрядцкий В.И., Кобяков Е.Т. К анализу напряженности магнитного поля некругового витка с током в однородной изот-

9,88

Рис.5

ропной среде. - Электричество, 2002, № 3.

4. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. Форму­ лы, графики, таблицы / Пер. с нем. Под ред. Л.И. Седова. - М.: На­ ука, 1968.

[I1.07.03J

Авторы: Загрядцкий Владимир Иванович

окончил электротехнический факультет Горьковского политехнического института в 1954 г. В 1973 г. защитил докторскую диссертацию «Иссле­ дование совмещенных электрических машин (осно­ вы теории машин и устройств с вращающимся магнитным полем и разнополюсными обмотками)» в Харьковском политехническом институте. Про­ фессор кафедры «Электрооборудование и энерго­ сбережение» Орловского государственного техни­ ческого университета (ОрелГТУ).

Кобяков Евгений Тихонович окончил механиче­ ский факультет Всесоюзного заочного института текстильной и легкой промышленности в 1965 г. В 1995 г. защитил кандидатскую диссертацию «Анализ и синтез динамических систем в задачах проектирования испытательных машин осевого циклического нагружения и роторов» в ОрелГТУ. Профессор кафедры «Прикладная механика» этого университета.

Свидченко Сергей Юрьевич окончил электроме­ ханический факультет Ленинградского политехни­ ческого института (ЛПИ} в 1974 г. В 1978 г. за­ щитил кандидатскую диссертацию «Исследование добавочных потерь в обмотке якоря крупных ма­ шин постоянного тока» в ЛПИ. Доцент кафедры «Электрооборудование и энергосбережение» Орел­ ГТУ.