Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Владимирский государственный университет им. Столетовых

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Метод источников в приложении к расчету обтекания тел вращения (96

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

1.21 Mб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана

В.Г. Богомолов, А.И. Хлупнов

МЕТОД ИСТОЧНИКОВ В ПРИЛОЖЕНИИ К РАСЧЕТУ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

Методические указания

М о с к в а Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана

2 0 0 6

УДК 533.6.013(076) ББК 30.124

Б74

Рецензент В.В. Зеленцов

Богомолов В.Г., Хлупнов А.И.

Б74 Метод источников в приложении к расчету обтекания тел вращения: Метод. указания. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-

мана, 2006. – 24 с.: ил.

Рассмотрен один из численных методов расчета параметров газа на поверхности заостренных тел вращения при малых углах атаки и небольших сверхзвуковых скоростях. С его помощью получена система алгебраических уравнений, позволяющих найти функции распределения источников и диполей вдоль оси обтекаемого тела при выполнении условий непротекания на поверхности тела.

Изложение материала ориентировано на применение вычислительной техники.

Для студентов, обучающихся по специальности «Динамика полета и управление движением летательных аппаратов», а также для студентов и преподавателей других специальностей, занимающихся аэродинамическим проектированием.

Ил. 5. Библиогр. 2 назв.

УДК 533.6.013(976) ББК 30.124

Предисловие

В работе рассмотрен один из численных методов расчета аэродинамических характеристик тел вращения при небольших сверхзвуковых скоростях и малых углах атаки. Эти ограничения позволяют использовать линеаризованное уравнение для потенциала скоростей обтекающего потока, что существенно упрощает поставленную задачу.

Применение в этом случае метода источников и диполей приводит к системе алгебраических уравнений для нахождения функций распределения источников и диполей вдоль оси обтекаемого тела с выполнением граничных условий (непротекания) на поверхности тела.

Изложение материала предполагает предварительное знакомство студента с основными понятиями теории поля, такими как линии тока, линии равного потенциала, источники, стоки, диполи и т. д., а также с аэродинамическими характеристиками летательных аппаратов и их отдельных элементов (корпус, головная часть корпуса, крыло, стабилизатор и др.)

Настоящие методические указания будут полезны студентам при выполнении НИРС, курсовых и дипломных проектов.

РАСЧЕТ ОБТЕКАНИЯ КОРПУСОВ СВЕРХЗВУКОВЫМ ПОТОКОМ МЕТОДОМ ИСТОЧНИКОВ

Для тонких тел вращения и малых углов атаки применяют метод расчета аэродинамических коэффициентов, основанный на предположении о малости возмущений и, следовательно, о линеаризации уравнений газовой динамики.

Линеаризованные уравнения с определенными ограничениями решаются с помощью метода источников [1, 2].

Пусть тонкое заостренное тело вращения (корпус) обтекается

сверхзвуковым потоком со скоростью U∞ под малым углом атаки

α между осью тела и направлением невозмущенного потока. Поместим начало прямоугольной системы координат в носок

тела вращения, ось Ox направим по оси тела, ось Оу – вверх в

плоскости угла атаки, ось Оz		– перпендикулярно осям Оx и Оу.
Для удобства перейдем к цилиндрическим координатам, свя-
занным с	прямоугольной	системой соотношениями x = x,
y = r cosθ,	z = r sin θ. Тогда потенциал φ скоростей обтекающего

потока будет удовлетворять линеаризованному уравнению, записанному в цилиндрических координатах,

(1−Μ2 )∂2ϕ + ∂2ϕ + 1 ∂2ϕ + 1 ∂ϕ = 0, ∞ ∂x2 ∂r2 r2 ∂θ2 r ∂r

и граничному условию (непротекания) на поверхности тела

	∂ϕ	=
		=
	∂n r = R(x)

	∂ϕ		∂ϕ	cos(n, r) +	1 ∂ϕ
=		cos(n, x) +				cos(n,θ)	= 0,
	∂x		∂r		r ∂θ
						r = R(x)

(1)

(2)

гдеr = R(x) – уравнение образующей тела вращения.

Так как уравнение (1) линейно, потенциал скоростей можно искать в виде суммы

ϕ = Φ0 +Φ1 + Φ2 ,	(3)
где Φ0 (x, r, θ) =U∞ (x + dr cosθ) – потенциал скорости	невозму-

щенного потока; Φ1(x, r) – потенциал скоростей возмущения от продольной составляющей; Φ2 (x, r,θ) – потенциал скоростей воз-

мущения от поперечной составляющей возмущенного потока. Подставляя в уравнение (2) значение потенциала φ из (3) и,

учитывая, что для тонкого тела вращения приняты следующие оценки порядка величин:

∂ϕcos(n, x) +

∂ϕ

= 0,

∂х

∂r

∂

(x + 2r cosθ) +

∂Φ

cos(n, x) +

∂x ∞

∂x

∂

(x + 2r cosθ) +

∂Φ1 +

∂Φ2

= 0,

(4)

∂r

∞

∂x

получаем

U∞ cos(n, x)+U∞αcosθ+

∂Φ

∂r

r = R(x)

∂Φ2		= 0.	(5)
+		= 0.	(5)
∂r	r = R(x)
Это выражение можно упростить, если выразить cos(n, x)			из

уравнения образующей тела r = R(x) :

cos(n, x) = −sin(n, r) ≈ − dR(x) dx

и разбить его на два, так как потенциал Ф1 не зависит от угла θ, а

потенциал Ф2 зависит. Тогда получим

∂Φ			dR(x)
1		− U∞		= 0	,	(6)
1		− U∞	dx	= 0	,	(6)
∂r	r=R(x)		dx
						5

∂Φ2			+U∞αcosθ = 0.	(7)
	∂r
		r=R(x)

Аналогично, подставляя выражение (3) в уравнение (1), получаем

(1− M∞2 )

∂2Φ

∂2Φ ∂2Φ ∂2Φ

∂x21 +(1− M∞2

)

∂x22

∂x21

∂x22 +

∂Φ

∂2Φ

= 0.

∂θ

∂r

После разделения данного уравнения на два получим

∂2Φ

∂Φ

(1−Μ∞ )

∂x2

∂r2

∂r

= 0,

(8)

2 ∂2Φ2

∂2Φ2

1 ∂Φ2

1 ∂2Φ2

(1−Μ∞ ) ∂x2

+ ∂r2

∂r

∂θ2

= 0.

(9)

На поверхности конуса возмущений и в области перед ним выполняется условие

Φ1 = Φ2 = 0 при x −kr ≥ 0.

(10)

Таким образом, поставленная задача расчета течения вокруг тонкого тела вращения при малых углах атаки сводится к нахож-

дению потенциалов Ф1 и Ф2 из уравнений (8) и (9) при граничных условиях (6) и (7).

Если представить потенциал возмущения Φ1(x, r) в точке (x, r) меридиональной плоскости при осесимметричном обтекании в виде

x−kr	q(u)du
Φ1(x, r) = ∫			,	(11)
	(x −u)2	− k2r2
0

где k = Μ∞2 −1 = ctg γ; γ – угол Маха; q(u) – функция распределения источников по оси тела, то в такой форме функция Φ1(x, r)

удовлетворяет и уравнению (8) и граничному условию (2). Неизвестная функция распределения источников q(u) определяется из условия (6).

Вычисления с этим потенциалом удобно производить после замены переменных, перейдя от u к ξ по формуле u = x − krchξ.

Тогда

arch		x
arch
Φ1(x, r) =	∫kr q(x − krchξ)dξ.		(12)
	0
Дифференцируя Φ1(x, r)	по переменным x и r, найдем компо-

ненты соответствующих скоростей возмущения υx1 и υr1:

arch

x−kr

∂Φ1

′

υx =

∫

q′(x − krchξ)dξ = ∫

q (u)du

(13)

∂x

(x −u)

− k

arch

υr1 =

∂Φ1

= −k ∫kr q′(x − krchξ)chξdξ =

∂r

x−kr

′

= −

∫

(x −u)q (u)du

(14)

(x −u)2 − k2r2

где dξ = −

(x −u)2 − k2r2

Для нахождения функции распределения источников по оси тела q(u) подставим выражение (14) в граничное условие (6). Тогда

получим интегральное уравнение относительно dqdu(u) :

x−kR

′

U∞R

∫

(x −u)q (u)du

= 0.

(15)

(x −u)

− k

Приближенно это уравнение можно решить, удовлетворяя ему не во всех точках x, а в выбранных точках x1, x2 , …, xN .

Соответственно этому производную	′	искомой функции
	q (u)

распределения источников q(u) можно аппроксимировать на интервалах ]xi − kRi [ ступенчатой функцией:

U K , если

0 < u < x − kR ,

∞

′

U∞K2 , если

x − kR1 < u < x2 − kR2 ,

...............................................................

(16)

q (u) =

xi−1 − kRi−1 < u < xi

− kRi ,

U∞Ki , если

................................................................

, если

− kR

< u < x

−kR

∞

i−1

n−1

где K1, K2 , …, Kn – не известные пока постоянные коэффициенты.

После подстановки значений xi (i = 1, 2, …, N) в уравнение (15) и его интегрирования получим систему N алгебраических уравне-

ний первой степени с N неизвестными коэффициентами Ki. Действительно, рассмотрим воздействие источников, располо-

женных на интервале

]xi−1 − kRi−1,

− kRi [ , на точку (xn , Rn ).

Тогда уравнение (15) примет вид

′

xi −kRi

(xn −u)du

∫

υ∞Rn

+ q

(u)

= 0,

−u)2

− K

2R2

dx x =xn

−kR

−1

i−1

а после интегрирования и замены

′

= υ∞Ki – вид

q (u)

1 dR

= K

ξn,i

−1

−

ξn,i−1

−1 .

(17)

dx x =x

Уравнение

(17)

отражает

воздействие

интервала

]xi−1 − kRi−1, xi − kRi [ источников на точку (xn , Rn ).

Если же рассмотреть общий случай, т. е. воздействие источников, расположенных на всем интервале, начиная от носка (на ин-

тервале ]0, xi −kRi [ ), на точку (xn, Rn), получим

1 dR

= ∑Ki

ξn,i −1

− ξn, i−1

−1 ,

(18)

dx x=x

i=1

где k = Μ∞2

−1 = ctgγ(γ – угол Маха);

ξn, i =

xn − xi + kRi

– новая

kRn

переменная (n = 1, 2, …, N).

Подставляя в уравнение (18) последовательно значения n = 1, n = 2, …, n = N, получим указанную выше систему алгебраических уравнений первой степени относительно неизвестных коэффициентов Ki.

Если коэффициенты Ki найдены, то можно найти и функцию распределения источников q(u) по оси тела.

Например, для интервала ]xn − kRn , xn+1 − kRn=1[ ее можно записать в виде

	n
			+
q(u) = U∞∑Ki (xi −kRi − xi−1		+ kRi−1 )	+
	i=1
	i=1
+ U∞Kn+1 (u − xn + kRn ).			(19)

Давление на поверхности тела вращения в точке (xn, Rn), если ограничиться малыми первого порядка, можно получить из уравнения Бернулли:

U∞υx1 + pρn1 = 0,

откуда pn = −ρU∞υx1 , а с учетом выражения (13) получаем

xn −kRn		′
pn1 = −ρU∞ ∫		q (u)du		,
pn1 = −ρU∞ ∫	(x	−u)2	− k2R2	,
0	(x	−u)2	− k2R2
	n		n

и, если функцию q′(u) представить ступенчатой функцией (16), то давление

	n	xi −kRi	d (xn −u)
pn1	= ρU∞∑Ki	∫			.
			(xn −u)2	−k2Rn2
	i=1	xi−1−kRi−1

После интегрирования получим для расчета давления в точке (xn, Rn) на поверхности тела выражение

2 n

(

)

1∞ i n,i n,i−1 i=1

адля коэффициента давления при осесимметричном обтекании – выражение (20)archξ −archξ ,p = ρU ∑K

2 pn

(

= 2

∑

archξ

n,i

−archξ

(21)

ρU∞2

n,i−1 )

i=1

Приняв линейный закон изменения давления между точками i и i + 1, выведем формулу для коэффициента волнового сопротивления. Если миделевым сечением тела является донный срез, то коэффициент волнового сопротивления запишется в виде

∑ pn

RdR = ∑ pn

n=1

1 R2

а после подстановки выражения (21) – в виде

Cx = 2

∑

− Rn−1

∑Ki (archξn,i

−archξn,i−1 ) .

(22)

n=1

i=1

Следует заметить, что формула (22) справедлива до тех пор,

пока число Маха, а значит, и значение k =

M∞2

−1, невелико.

Потенциал скоростей возмущения, вызванных поперечной составляющей возмущенного потока, исходя из вида граничных условий (7) будем искать в виде

Φ2 = F(x,r)cosθ.

(23)

Таким образом, задача сводится к отысканию функции F от двух переменных.

Подставляя (23) в уравнение (9), получаем

(1− M∞2 )	∂2F	+	∂2F	+	1 ∂F		−	F	= 0.	(24)
	∂x2		∂r2		r	∂r		r2

Граничное условие (7) преобразуется к виду

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]