Гипербола.

Определение: Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которыхразностьрасстояний до двух фиксированных точек этой же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Вывод уравнения гиперболы.

Выберем прямоугольную систему координат OXYтак, чтобы центр гиперболы находился в начале координат, а фокусы располагались на оси абсцисс.

F₁,F₂ – фокусы гиперболы

Т. M(x;y) принадлежит гиперболе

F₁, F₂=2c– расстояние между фокусами гиперболы

a<c, т.к.2a– разность двух сторон треугольникаF₁MF₂, а2с– это его третья сторона

Таким образом по определению гиперболы имеем:

Объединив (7) и (8) имеем:

Это и есть уравнением гиперболы в данной системе координат. Получим уравнение гиперболы в более простом виде, рассуждая аналогично пункту (1)

Имеем:

Возведя обе части в квадрат, получим:

Здесь, умножим обе части последнего уравнения на (-1), получим:

;

Здесь, разделим обе части уравнения на, получим:

обозначив, , получим каноническое уравнение гиперболы

Примечание 3:

Оно аналогично примечанию 1, смотри Н. В. Ефимов (краткий курс аналитической геометрии, М, 2005, стр. 83-84).

Таким образом уравнение (12) , определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение 2-ой степени относительно “x” и “y”.

Форма гиперболы

1. , т.е.

2. Аналогично рассуждая(смотрите пунтк1(2) ) получим, что оси координат x=0 иy=0 – оси симметрии гиперболы, следовательно достаточно построить гиперболу вI– четверти. Точка пересечения осей симметрии т. О(0;0) называется центром гиперболы.

3. Построим гиперболу для I-четверти. ДляI-ой четверти уравнение гиперболы, для

Или после преобразования , для.

При , таким образом т.гиперболе.

При возрастании “x”, возрастает “y”, причём “y” стремится к, так как разностьмежду ординатами прямойи гиперболыимеет вид:

если “x” неограниченно возрастает и геометрически гипербола вI-ой четверти неограниченно приближается к прямой, называемой асимптотой гиперболы.

Примечание 4: Строгое доказательство существования 2-х асимптотосновано на приложении производной к исследованию и построению графиков функций.

Строим гиперболу в Iчетверти:

4. Строим гиперболу , используя пункты 3(1) – 3(4).

Точки и- называются вершинами гиперболы.

Та ось, с которой у гиперболы есть пересечения и на которой лежат её вершины, называется действительной осью(в нашем случае ось ОХ). Ось OY– мнимая ось.

Замечание:Таким образом для построения гиперболынеобходимо:

1. От центра симметрии гиперболы (т. О(0;0) ) отложить по оси ОХ вправо и влево по “a”, а по осиOYвверх и вниз по ”b”, то есть построить прямоугольник с центром в т. О(0;0) и со сторонами2aи2b.

2. Провести диагонали прямоугольника и продолжить их (получим асимптоты гиперболы).

3. Правильно расположить вершины гиперболы. Они всегда лежат на действительной оси. Это видно из уравнения: . Знак “-” передуказывает на то, что ось симметрии – осьOY(х=0) – мнимая ось.

Знак “+” перед указывает на то, что ось симметрии - ось ОХ (y=0) – действительная ось.