Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ТЫ БУДЕШЬ СТРАДАТЬ.doc
Скачиваний:
757
Добавлен:
09.02.2015
Размер:
3.97 Mб
Скачать

Теорема (связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами).

(1) Если α (x) – бесконечно малая, то 1/ α (x) бесконечно большая.

  1. Если β (x) – бесконечно большая, то 1/ β (x) бесконечно малая.

Доказательство. (1) Выберем M > 0 и обозначим 1/ M = ε. Так как α (x) бесконечно малая, то числу ε > 0 соответствует δ > 0 такое, что при 0 < |x-a| < δ выполняется неравенство: Следовательно, Эта величина является бесконечно большой. (2) Выберем ε > 0 и обозначим 1/ε = М. Так как β(х) бесконечно большая, то числу M соответствует δ > 0, такое, что при 0 < |x-a| < δ выполняется неравенство:Следовательно, Эта величина является бесконечно большой.

  1. Теорема о пределе суммы, произведения и частного функции (доказательство для функции и последовательности).

1)Предел суммы двух функций равен сумме их пределов:Доказательство: Пусть ,. Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать: и . Следовательно, , где - бесконечно малая функция (по свойству бесконечно малых функций). Тогда по теореме о связи функции, её предела и бесконечно малой функции можно записать , или .

2)Предел произведения двух функций равен произведению их пределов:.

Доказательство: Пусть ,. Тогда и . Следовательно

, .

Выражения в скобках, по свойствам бесконечно малых функций, - бесконечно малая функция. Тогда , т.е. .

3)Предел частного двух функций равен пределу делимого, деленного на предел делителя, если предел делителя не равен:. Доказательство: Пусть ,. Тогда и . Тогда . По свойствам бесконечно малых функций, второе слагаемое – бесконечно малая функция.

Поэтому , т.е.

  1. Теорема о пределе сложной функции (с доказательством).

  1. Теорема о знакопостоянстве функции, имеющей ненулевой предел ( с доказательством).

Теорема: Если , то существует окрестность точки а, в которой и знак совпадает со знаком значения b.

Доказательство: по условию , т.е., или справедливы неравенства . Возьмём за число . Тогда , , являются числами одного знака. Следовательно, в силу неравенства , и имеет знак числа b в указанной -окрестности точки а.

  1. Теорема о предельном переходе в неравенстве (доказательство для функции и последовательности).

  1. Теорема о пределе промежуточной функции (доказательство для функции и последовательности).

Теорема Пусть функции и имеет конечный предел А при и пусть тогда Доказательство:

,

,

Рассмотрим , начиная с некоторого номера N и , будут одинакого выполняться . Значит,

Предел промежуточной последовательности

  1. Первый замечательный предел (с выводом). Второй замечательный предел (вывод для функций с использованием теоремы Вейерштрасса для последовательностей).

Вывести 1 замечательный предел:

Пусть , .Проведем геометрическое доказательство, основанное на очевидном соотношении между тремя площадями: Ясно, что , s2(сектор оab) но

, т.е.

, т.к. .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]