ВОЛНЫ
Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, увлекает за собой и приводит в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Благодаря наличию упругих связей между частицами колебания распространяются с характерной для данной среды скоростью по всей среде.
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется
волной.
Различают два основных типа волн: продольные и поперечные. В продольных волнах частицы среды колеблются вдоль
направления распространения волны, а в поперечных – перпендикулярно к направлению распространения волны. Не во всякой упругой среде возможно распространение поперечной волны. Поперечная упругая волна возможна лишь в таких средах, в которых имеет место упругая деформация сдвига. Например, в газах и жидкостях распространяются только продольные упругие волны (звук).
Геометрическое место точек среды, до которых к данному моменту времени дошло колебание, называется фронтом волны. Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникали. В зависимости от формы фронта различают волны плоские, сферические, цилиндрические и т.д.
Уравнение плоской волны, распространяющейся без потерь в однородной среде, имеет вид
ξ(X ,t) = ACos(ωt −ω |
x |
) , |
(16) |
|
|||
|
v |
|
|
где ξ(x,t) – смещение частиц среды с координатой x от положения равновесия в момент времени t, А – амплитуда, (ωt −ω vx) - фаза волны,
ω= 2Tπ - круговая частота колебания частиц среды, v – скорость распространения волны.
Длиной волны λ называется расстояние между точками, колеблющимися с разностью фаз 2π, другими словами, длиной волны
10
называется путь, проходимый любой фазой волны за один период колебаний:
λ = vT, |
(17) |
Фазовая скорость, т.е. скорость распространения данной фазы:
v =λ / Т |
(18) |
Волновое число – число длин волн, укладывающихся на длине 2π единиц:
k = ω / v = 2π / λ. |
(19) |
Подставляя эти обозначения в (16), уравнение плоской бегущей монохроматической волны можно представить в виде
ξ(x,t) = ACos(ωt − |
2π x) = ACos(ωt −kx). |
(16а) |
|
λ |
|
Отметим, что уравнение волны (16а) обнаруживает двойную периодичность по координате и времени. Действительно, фазы колебаний совпадают при изменении координаты на λ и при изменении времени на период Т. Поэтому изобразить графически волну на плоскости нельзя.
Часто фиксируют время t и на графике представляют зависимость смещения ξ от координаты x, т.е. мгновенное распределение смещений частиц среды вдоль направления распространения волны (рис. 6). Разность фаз Δφ колебаний точек среды зависит от расстояния x =x2 – x1 между этими точками:
∆φ = |
2π |
(x2 −x1). |
(20) |
|
λ |
|
|
Если волна распространяется противоположно направлению Х, то уравнение обратной волны запишется в виде
ξ (x,t) = АСos(ωt + kx). |
(21) |
11
СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ – это результат особого вида интерференции волн. Они образуются при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.
Уравнения двух плоских волн, распространяющихся вдоль оси Х в противоположных направлениях, имеют вид
ξ1 =АСos(ωt – kx) |
|
ξ2 = AСos(ωt + kx). |
(22) |
Складывая эти уравнения по формуле суммы косинусов и учитывая, что k = 2π / λ, получим уравнение стоячей волны:
ξ =ξ1 +ξ2 |
= 2ACos |
2π |
x Cos ωt . |
(23) |
|
||||
|
|
λ |
|
|
Множитель Сos ωt показывает, что в точках среды возникает колебание той же частоты ω с амплитудой
2ACos 2λπ x ,
зависящей от координаты x рассматриваемой точки. В точках среды, где
2π |
x = ±nπ |
(n =0,1,2,3 ), |
(24) |
|
|||
λ |
|
|
|
амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. Эти точки называются пучностями.
Из выражения (51) можно найти координаты пучностей:
|
xn = ±n |
λ |
|
|
|
|
(25) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
В точках, где |
2π |
x = ± |
|
1 |
|
π |
(26) |
|
λ |
n + |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
12
амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются
узлами.
Координаты узлов: |
|
1 |
|
λ |
. |
(27) |
xузл. = ± n + |
2 |
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
Расстояния между соседними пучностями и соседними узлами одинаковы и равны λ/2. Расстояние между узлом и соседней пучностью равно
λ / 4.
При переходе через узел множитель
2ACos 2λπ x
меняет знак, поэтому фазы колебаний по разные стороны от узла отличаются на π, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Точки, заключенные между двумя соседними узлами, колеблются с разными амплитудами, но с одинаковыми фазами.
Распределение узлов и пучностей в стоячей волне зависит от условий, имеющих место на границе раздела двух сред, от которой происходит отражение. Если отражение волны происходит от среды более плотной, то фаза колебаний в месте отражения волны меняется на противоположную или, как говорят, теряется половина волны. Поэтому в результате сложения колебаний противоположных направлений смещение на границе равно нулю, т.е. имеет место узел (рис. 7). При отражении волны от границы менее плотной среды фаза
колебаний в месте отражения остается без изменения и у границы складываются колебания с одинаковыми фазами – получается пучность.
В стоячей волне нет перемещения фаз, нет распространения волны, нет переноса энергии, с чем и связано название такого типа волн.
13