2.4. Статистические оценки параметров распределения случайной величины и их свойства
Статистической
оценкой
неизвестного параметра теоретического
распределения
называется функция от наблюдаемых
значений случайной величины
.
Для того, чтобы оценки были надежными, к ним предъявляются требования несмещенности, состоятельности и эффективности.
Оценка называется несмещенной, если её математическое ожидание равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки n, т.е.
.
Оценка должна быть несмещенной для того, чтобы при замене этой оценкой истинного значения параметра распределения не допускалась систематическая погрешность.
Оценка называется эффективной, если при заданном объеме выборки n она имеет наименьшую возможную дисперсию, т.е.
.
Оценка называется состоятельной для параметра , если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру при неограниченном возрастании объема выборки, т.е.
,
где
– малое положительное число.
Для того, чтобы
несмещенная оценка была состоятельной,
достаточно, чтобы
.
Статистические оценки, определяемые одним числом, называются точечными.
Интервальной называется статистическая оценка, которая задается двумя числами – концами интервала (в котором может лежать её значение).
Точностью
статистической оценки
называется величина, определяемая из
неравенства
.
Чем меньше значение , тем точнее оценка описывает параметр .
Надежностью
(доверительной вероятностью)
оценки параметра
по значению
называется вероятность
,
с которой осуществляется неравенство
,
т.е.
или
.
Выражения и
представляют собой вероятность того,
что интервал
заключает в себе (покрывает) неизвестный
параметр
с надежностью
Этот интервал называется доверительным интервалом и является интервальной оценкой параметра .
Существует 2 вида
интервальных оценок: односторонние и
двусторонние. При двусторонней оценке
задаются обе границы доверительного
интервала, зависящие от доверительной
вероятности
:
верхняя
и нижняя
,
такие что
При этом вероятности
выхода значения параметра
за границы доверительного интервала
и
связаны соотношением
.
Если вероятности
выхода значения параметра
за границы доверительного интервала
раны
,
то доверительный интервал называется
симметричным.
Для симметричного интервала границы
задаются так, чтобы
.
Для одностороннего доверительного интервала границы интервалов задаются так, чтобы
Уровень значимости – это величина, определяемая соотношением
.
Доверительная
вероятность или уровень значимости
задаются в зависимости от уровня
ответственности результатов. Чем выше
уровень ответственности, тем больше
уровень доверительной вероятности
.
На практике наиболее часто задают
равным
.
2.5. Статистические гипотезы
Проверка статистических гипотез является инструментом принятия статистических решений, который позволяет с нужной вероятностью сделать выводы о параметрах генеральной совокупности по выборке экспериментальных данных.
При этом выдвигают некоторое предположение о каком-то параметре (или параметрах) генеральной совокупности. Это предположение называется нулевой (основной) гипотезой. Противоположное утверждение называется альтернативной (конкурирующей) гипотезой.
Для проверки гипотез существуют различные критерии. Статистические критерии являются случайными величинами.
Областью принятия нулевой гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значения критерия, при которых гипотезу принимают.
Критической называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.
Область принятия
гипотезы и критическая область
разделены точками, которые называются
критическими
значениями критерия
.
Для каждого критерия существуют таблицы
критических значений или правила, по
которым их можно рассчитать.
Для каждого критерия
существуют также правила вычисления
его значения по экспериментальным
данным. Значение критерия, вычисленное
по экспериментальным данным, называется
наблюдаемым
значением критерия
.
Область непринятия гипотезы может быть односторонней (правосторонней или левосторонней) и двусторонней.
Правосторонней
называют критическую область,
определяемую неравенством
,
где
– положительное число.
Левосторонней
называют критическую область,
определяемую неравенством
,
где
– отрицательное число.
Двусторонней
называют критическую область,
определяемую неравенствами
и
,
где
.
Если критические точки симметричны
относительно нуля, двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
,
или
равносильным неравенством
.
Основной принцип проверки статистических гипотез формулируется следующим образом: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают, а если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.
При выдвижении и принятии гипотезы могут иметь место следующие четыре случая:
1) гипотеза принимается, причем и в действительности она правильная;
2) гипотеза верна,
но ошибочно отвергается. Возникающую
при этом ошибку называют ошибкой
первого рода,
а вероятность ее появления − уровень
значимости
;
3) гипотеза отвергается, причем в действительности она неверна;
4) гипотеза неверна, но ошибочно принимается. Возникающую при этом ошибку называют ошибкой второго рода, а вероятность ее появления обозначают β .
Величину
,
т. е. вероятность того, что гипотеза
будет отвергнута, когда она ошибочна,
называют мощностью
критерия.
Проверку
статистической гипотезы проводят для
принятого уровня значимости
(принимается равным 0.1; 0.05; 0.01 и т. д.).
Так принятый уровень значимости
означает, что выдвинутая нулевая
гипотеза может быть принята с доверительной
вероятностью
.
Или есть вероятность отвергнуть эту
гипотезу (совершить ошибку первого
рода), равная
.
Следует отметить, что критерий не доказывает справедливость гипотезы, а лишь устанавливает на принятом уровне значимости ее согласие или несогласие с данными наблюдений.