2.3. Статистические (эмпирические) функции распределения
В математической статистике (в том числе и метрологической практике) для анализа выборок используются аналоги интегральной и дифференциальной функций распределения, которые называются статистическими (или эмпирическими). Можно сказать, что эмпирические функции распределения выборки служат для оценки теоретических функций распределения генеральной совокупности.
Эмпирической
функцией распределения
(функцией распределения выборки) называют
функцию
,
определяющую для каждого значения
относительную частоту события
.
Эмпирическую функцию распределения изображают в виде лестничного графика, длина каждой ступеньки которого равна длине соответствующего интервала, а высота – отношению накопленной частоты для этого интервала к объему выборки, т.е.
,
где
– накопленная
частота,
т.е. число
вариант, меньших
,
– середина i-ого интервала, n – объем выборки.
Накопленная частота для j-ого интервала определяется последовательным суммированием частот
.
Соответствующая эмпирическая плотность вероятности определяется соотношением
где – середина i-ого интервала, – объем выборки.
Эмпирическую плотность вероятности изображают в виде гистограммы – фигуры, состоящей из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы, а высоты равны отношению частоты для этих интервалов к объему выборки.
Пример Построить графики эмпирической функции распределения и эмпирической плотности вероятности для выборки из предыдущего примера (п.2.2.) 79 58 54 52 73 67 71 63 85 53 73 67 62 53 41 43 61 52 63 80 72 65 65 77 42 67 64 67 70 68 59 61 75 59 32 69 60 60 60 76 Решение: В примере п.2.2. было получено интервальное распределение выборки
Рассчитаем накопленные частоты для каждого интервала по формуле
Значения эмпирической функции распределения для каждого интервала определим по формуле , а значения эмпирической плотности вероятности – по формуле
|
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
