2. Основы теории вероятностей и математической статистики

• Случайная величина. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины и их свойства.

• Генеральная и статистическая (выборочная) совокупности. Статистический ряд и способы его представления.

• Статистические (эмпирические) функции распределения.

• Статистические оценки параметров распределения случайной величины и их свойства.

• Статистические гипотезы.

2.1. Случайная величина. Интегральная и дифференциальная функции распределения случайной величины и их свойства.

Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принимать заранее неизвестное значение. Принято случайную величину обозначать заглавной буквой, а её значения соответствующей строчной буквой (например, – случайная величина, а – значения этой случайной величины).

Функция распределения (закон распределения) случайной величины – это соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Он может быть задан аналитически, численно или графически.

Интегральная функция распределения (или просто функция распределения) случайной величины Х – это функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньше х

.

Свойства функции распределения

1. Функция распределения – это неотрицательная функция, заключенная между 0 и 1, т.е.

2. Функция распределения – это неубывающая функция, т.е. при

3. Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала , равна приращению функции распределения на этом интервале

4. Вероятность того, что случайная величина примет одно определенное значение равна 0.

5. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то .

В общем случае .

Несмотря на то, что интегральная функция распределения является исчерпывающей характеристикой случайной величины, по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности какой-либо точки числовой оси. Поэтому, наряду с интегральной рассматривают также дифференциальную функцию распределения случайной величины.

Дифференциальная функция распределения (плотность распределения, плотность вероятности) f(x) представляет собой производную от функции F(x).

.

Если функция плотности распределения имеет 1 максимум, то такое распределение называется одномодальным, если 2 максимума – двумодальным.

Свойства плотности вероятности

1. Плотность вероятности – неотрицательная функция, т.е. .

2. Функция распределения равна интегралу от функции плотности вероятности, т.е.

3. Вероятность попадания случайной величины в интервал равна площади под кривой f(x), т.е. .

4. Интеграл от функции плотности вероятности в бесконечных пределах равен 1, т.е.

Квантилем порядка р (р-квантилем) закона распределения случайной величины называется такое значение этой случайной величины, которое с вероятностью р не превзойдут все остальные возможные значения этой случайной величины.

Для описания функций распределения пользуются специальными мерами, которые позволяют охарактеризовать положение, форму и другие их особенности.

Центр распределения характеризуется средним значением случайной величины.

Рассеяние значений случайной величины вокруг центра распределения описывается дисперсией (вторым центральным моментом случайной величины), стандартным отклонением (среднеквадратическим отклонением (СКО) – квадратный корень из дисперсии), коэффициентом вариации (отношение СКО к среднему значению).

Оценка третьего центрального момента характеризует асимметрию закона распределения, т.е. скошенность спадов. Симметричность распределения описывается коэффициентом асимметрии .

Особенности поведения случайной величины в области максимума её плотности описываются эксцессом (коэффициентом эксцесса) . Используется также контрэксцесс .